Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

План урока

  • Повторение определения и основных формул геометрической прогрессии
  • Введение бесконечно убывающей геометрической прогрессии и ее суммы
  • Вычисление суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
  • Запись периодической десятичной дроби в виде обыкновенной с использованием суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Цели урока

  • Знать, какая прогрессия будет геометрической, бесконечно убывающей геометрической, формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
  • Уметь применять знания на практике

Вспомним определение и основные формулы для геометрической прогрессии.


Геометрическая прогрессия – такая числовая последовательность b1,b2,b3,,bn,.., что для всех натуральных n выполняется равенство bn+1=bn·q, b10,q0.

Формула  n-го члена  геометрической прогрессии:

                                                                bn=b1qn-1            (1)

 

Формула  суммы первых n членов  геометрической прогрессии:

                                                               Sn=b1(1-qn)1-q, если q1 b1n, если q=1    (2)                         


Разминка

  1. Продолжите фразу «бесконечная непериодическая десятичная дробь называется…». Приведите пример.
  2. Представьте число 23 в виде периодической дроби.
  3. Вычислить сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если b1=9, q=12

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1.

Поделим каждую сторону на две равные части и соединим полученные точки. Получим второй равносторонний треугольник внутри первого со стороной, равной 12. Вновь поделим пополам каждую из сторон и соединим полученные точки – равносторонний треугольник со стороной 14=122, следующий треугольник со стороной 18=123, и т.д. Стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 12, заметим, что q<1.  Видим, что с ростом n, длины сторон треугольников уменьшаются и приближаются к нулю: bn0 при n. Такая прогрессия будет бесконечно убывающей.


Геометрическая прогрессия  называется бесконечно убывающей , если модуль ее знаменателя меньше 1.


Пример 1
 

Выяснить, является ли геометрическая прогрессия, заданная формулой n-го члена члена как bn=5(-4)-n, бесконечно убывающей.


Решение
 

Определим, будет ли модуль знаменателя этой прогрессии меньше 1. 

q=bn+1bn=5(-4)-(n+1)5(-4)-n=5(-4)-n(-4)-15(-4)-n=(-4)-1=-14
 

|q|=|-14|<1, значит, по определению, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

 

Ответ: является.


Упражнение 1

Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена члена xn=452n


Упражнение 2

Выяснить, является ли последовательность, заданная формулой n-го члена как bn=5n-2×113-n, бесконечно убывающей геометрической прогрессией.


Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

                                                            S=b11-q              (3)                                                       

 

Эта формула выводится из формулы (2), из той части, где q1:

Sn=b1(1-qn)1-q=b11-q-b1qn1-q.

 

|q|<1, значит lim qnn =0.

 

S=limnSn=limn(b11-q-b1qn1-q)=b11-q

 


Пример 2

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b4=45, b7=110.


 

Решение
 

Найдем  b1 и q, используя формулу (1). Так как b4=45, b7=110, составим систему уравнений

                      b4=b1q3b7=b1q6                                      45=b1q3110=b1q6  

Разделим второе уравнение системы на первое, получим  q3=110÷45=18, тогда q=12.
 

Из первого уравнения системы выразим b1 и подставим найденное значение q:
 

b1=45q3=45÷123=325
 

По формуле (3) сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
 

S=325÷(1-12)=645=12,8
 

Ответ: 12,8.

 


Упражнение 3

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) 13;-124;  1192; 
 

б) b4=23; b7=281


Десятичную периодическую дробь можно представить в виде суммы конечной десятичной дроби и суммы бесконечно убывающей десятичной дроби.


Пример 3

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 2,2(3) в виде обыкновенной.


Решение

 

2,2(3)=2,2333333333333..

Это число можно записать в следующем виде:

                                                  2,2+3100+31000+310000.......                  (4)                 

Члены, начиная со второго, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с b1=3100 и q=31000÷3100=110

Найдем сумму этой прогрессии по формуле (3):

 S=b11-q=3100÷(1-110)=3100÷910=130.
 

Тогда сумму (4) можно представить в виде 2,2+130=2730.

         

Ответ: 2730.


Упражнение 4

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

а) 3,(4);           б) 6,03(2);           в) 5,28(35).


Пример 4

Вычислить:

а) limn4-3n3n;

б) limn5n+2+75n;

в) limn7n+3272n.



Решение

 

а) limn4-3n3n=limn(43n-1)=limn(413n-1)=-1;

б) limn5n+2+75n=limn(5n×255n+715n)=limn(25+715n)=25;

в) limn7n+3272n=limn72n+6×7n +972n=limn(1+67n+972n)=1.

 

Ответ: а) -1;          б) 25;                    в) 1.   

 


Итак:
 

  1. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.
  2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле S=b11-q.
  3. limnxn=0, если |x|<1


Контрольные вопросы

  1. Дана последовательность, заданная формулой n-го члена. Опишите алгоритм, по которому вы будете определять является ли эта последовательность геометрической прогрессией, бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
  2. Какие вы знаете способы перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь. Опишите их.


Ответы

Упражнение 1

Является.

 

Упражнение 2

Является.

 

Упражнение 3

а) 827;               б) 27.

Упражнение 4

а) 349;              б) 629900;                 в) 528079900

 


Следующий урок
Показательная функция, её свойства и график
Функции
  • Органические вещества клетки. Углеводы. Липиды

    Биология

  • Одноатомные спирты

    Химия

  • Правописание ь и ъ

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке