Конспект урока: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Вспомним определение и основные формулы для геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

                                                                $b_n=b_1{q}^{n-1}$            (1)

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

                                                               $S_n=\left\{\begin{array}{l}\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, если q\ne 1 \\ b_{1}n, если q=1\end{array}\right.$    (2)                         

Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1.

Поделим каждую сторону на две равные части и соединим полученные точки. Получим второй равносторонний треугольник внутри первого со стороной, равной $\frac{1}{2}$. Вновь поделим пополам каждую из сторон и соединим полученные точки – равносторонний треугольник со стороной $\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$, следующий треугольник со стороной $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$, и т.д. Стороны треугольников образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac{1}{2},$ заметим, что $q<1$.  Видим, что с ростом n, длины сторон треугольников уменьшаются и приближаются к нулю: $b_n\to 0$ при $n\to \infty$. Такая прогрессия будет бесконечно убывающей.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше 1.

Выяснить, является ли геометрическая прогрессия, заданная формулой n-го члена члена как $b_n=5{(-4)}^{-n}$, бесконечно убывающей.

Решение
 

Определим, будет ли модуль знаменателя этой прогрессии меньше 1. 

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{5{(-4)}^{-(n+1)}}{5{(-4)}^{-n}}=\frac{5{(-4)}^{-n}{(-4)}^{-1}}{5{(-4)}^{-n}}={(-4)}^{-1}=-\frac{1}{4}$. 
 

$\left|q\right|=|-\frac{1}{4}|<1$, значит, по определению, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: является.

Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена члена $x_n={\left(\frac{4}{5}\right)}^{2n}$

Выяснить, является ли последовательность, заданная формулой n-го члена как $b_n=5^{n-2}\times {11}^{3-n}$, бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

                                                            $S=\frac{b_1}{1-q}$              (3)                                                       

Эта формула выводится из формулы (2), из той части, где $q\ne 1:$

$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{b_1}{1-q}-\frac{b_1{q}^n}{1-q}.$

$\left|q\right|<1$, значит $\underset{n \to \infty }{\lim q^n}=0.$

$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{b_1}{1-q}-\frac{b_1{q}^n}{1-q})=\frac{b_1}{1-q}$

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если $$\begin{gathered} b_4=\frac{4}{5}, \\ {b}_7=\frac{1}{10} \end{gathered}$$.

Решение
 

Найдем  $b_1 и q$, используя формулу (1). Так как $b_4=\frac{4}{5}, b_7=\frac{1}{10}$, составим систему уравнений

                      $\left\{\begin{array}{l}{b}_4=b_1{q}^3\\ b_7=b_1{q}^6\end{array}\right.$                                      $\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{5}=b_1{q}^3\\ \frac{1}{10}=b_1{q}^6\end{array}\right.$  

Разделим второе уравнение системы на первое, получим  $q^3=\frac{1}{10}÷\frac{4}{5}=\frac{1}{8}, тогда q=\frac{1}{2}$.
 

Из первого уравнения системы выразим $b_1$ и подставим найденное значение q:
 

$b_1=\frac{{\displaystyle \frac{4}{5}}}{q^3}=\frac{4}{5}÷{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{32}{5}$
 

По формуле (3) сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
 

$S=\frac{32}{5}÷(1-\frac{1}{2})=\frac{64}{5}=12,8$
 

Ответ: 12,8.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) $\frac{1}{3};-\frac{1}{24}; \frac{1}{192};\dots$
 

б) $b_4=\frac{2}{3}; b_7=\frac{2}{81}$

Десятичную периодическую дробь можно представить в виде суммы конечной десятичной дроби и суммы бесконечно убывающей десятичной дроби.

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 2,2(3) в виде обыкновенной.

Решение

2,2(3)=2,2333333333333..

Это число можно записать в следующем виде:

                                                  $2,2+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{10000}.......$                  (4)                 

Члены, начиная со второго, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с $b_1=\frac{3}{100} и q=\frac{3}{1000}÷\frac{3}{100}=\frac{1}{10}$. 

Найдем сумму этой прогрессии по формуле (3):

 $S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{100}÷(1-\frac{1}{10})=\frac{3}{100}÷\frac{9}{10}=\frac{1}{30}$.
 

Тогда сумму (4) можно представить в виде 2,2+$\frac{1}{30}=2\frac{7}{30}$.

Ответ: $2\frac{7}{30}$.

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной:

а) 3,(4);           б) 6,03(2);           в) 5,28(35).

Вычислить:

а) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4-3^n}{3^n}$;

б) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5^{n+2}+7}{5^n}$;

в) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(7^n+3\right)}^2}{7^{2n}}$.

а) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4-3^n}{3^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{4}{3^n}-1)=\underset{n\to \infty }{\lim }(4{\left(\frac{1}{3}\right)}^n-1)=-1$;

б) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5^{n+2}+7}{5^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{5^n\times 25}{5^n}+7{\left(\frac{1}{5}\right)}^n)=\underset{n\to \infty }{\lim }(25+7{\left(\frac{1}{5}\right)}^n)=25$;

в) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(7^n+3\right)}^2}{7^{2n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{7^{2n}+6\times 7^{n }+9}{7^{2n}}=\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{6}{7^n}+\frac{9}{7^{2n}})=1$.

Ответ: а) -1;          б) 25;                    в) 1.   

Итак:
 

1. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.
2. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S=\frac{b_1}{1-q}$.
3. $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=0, если \left|x\right|<1$

1. Дана последовательность, заданная формулой n-го члена. Опишите алгоритм, по которому вы будете определять является ли эта последовательность геометрической прогрессией, бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
2. Какие вы знаете способы перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь. Опишите их.