Видеоурок: “Порядковые числительные”

Степень с рациональным и действительным показателем

План урока

Введение понятия степени с рациональным показателем
Формулировка основных свойств степени с рациональным показателем
Решение задач на применение свойств степени с рациональным показателем
Введение степени с действительным показателем
Формулировка теоремы о степени с действительным показателем и следствий из нее
Решение задач на применение свойств степени с действительным показателем, теоремы и следствий из нее

Цели урока

Знать определение степени с рациональным и с действительным показателями, их свойства, теорему и следствия из нее
Уметь использовать свойства степени при преобразовании выражений, сравнении выражений

Разминка

Вычислить

а) $\sqrt[3]{4^{12}}$ ; б) $\sqrt{12 \frac{1}{4}} + \sqrt[3]{- 125}$ ; в) $\sqrt[6]{16} \times \sqrt[3]{\sqrt{4}}$ ; г) $\sqrt[9]{\frac{5^{9} \times 7^{27}}{11^{18}}}$ ; д) $\sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} \times \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}}$ .

2. Упростить выражение $\sqrt[5]{x^{11}} \div {(\sqrt[5]{x})}^{6} п р и x > 0$ .

Степень с рациональным показателем

Начиная с 7-8 класса, мы умеем находить значение выражения $a^{n}$ с любым целым показателем n. Вспомним как это:

Если $n = 0,$ то $a^{0} = 1$ $(a \neq 0)$ .
Если $n = 1,$ то $a^{1} = a$ .
Если $n \in \{2; 3; 4; \dots,\}$ , то $a^{n} = a \times a \times a \times \dots \times a$ (a умножают на себя n раз).
Если $n \in N, a \neq 0,$ то $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Но что делать в том случае, если показатель степени не целое число, а рациональное? Перед математиками вновь стала проблема расширения понятия степени. Пусть, например, нужно возвести $3^{\frac{3}{4}}$ в степень 4. Как это сделать? Было бы хорошо, если бы привычные свойства степени работали и в этом случае, т.е.

${(3^{\frac{3}{4}})}^{4} = 3^{3}$ (1)

(поскольку $\frac{3}{4} \times 4 = 3$ ). Попробуем доказать это равенство.

Пусть $a = 3^{\frac{3}{4}}$ , тогда (1) пример вид $a^{4} = 3^{3}$ , значит, $a = \sqrt[4]{3^{3}}$ . Получили, что

$3^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^{3}}$

Рассуждая аналогичным образом, можно любое выражение $a^{\frac{m}{n}}$ представить в виде $\sqrt[n]{a^{m}}$ .

Напомним, что любое рациональное число r это дробь вида $\frac{m}{n}$ , где $m \in Z, n \in N .$

Тогда для любого рационального r:

Если n – натуральное число, $n \geq 2,$ m – целое число, то при $a > 0$ справедливо равенство:

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ (2)

Если $r = \frac{m}{n} > 0$ , то формула (2) имеет место и в случае $a = 0$ причем $\sqrt[n]{0^{m}} = 0$ . Принято считать, при $r > 0$ верно $0^{r} = 0$ .

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть $p \in Q, q \in Q, a > 0, b > 0$

$a^{p} a^{q} = a^{p + q}$ ;
$a^{p} \div a^{q} = a^{p - q}$ ;
${(a^{p})}^{q} = a^{p \times q}$ ;
${(a b)}^{p} = a^{p} b^{p}$ ;
${(\frac{a}{b})}^{p} = \frac{a^{p}}{b^{p}}$ .

Пример 1

Вычислить:

а) ${(2 \frac{4}{5})}^{- 2}$ ;

б) $- 4 \times 81^{\frac{1}{4}}$ ;

в) ${(125^{- \frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{\frac{1}{3}} - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ ;

г) ${(3^{0, 5} - 5^{0, 5})}^{2} : ((2 - 15^{0, 25}) (2 + 15^{0, 25}))$

Решение

а) ${(2 \frac{4}{5})}^{- 2} = {(\frac{14}{5})}^{- 2} = {(\frac{5}{14})}^{2} = \frac{25}{196}$ ;

б) $- 4 \times 81^{\frac{1}{4}} = - 4 \times 3 = - 12$ ;

в) ${(125^{- \frac{2}{3}} - 16^{\frac{1}{2}} + 343^{\frac{1}{3}} - 3)}^{- \frac{1}{2}} = ({{(5^{3})}^{- \frac{2}{3}} - 4 + 7 - 3)}^{- \frac{1}{2}} = {(\frac{1}{25})}^{- \frac{1}{2}} = 5$ ;

г) ${(3^{0, 5} - 5^{0, 5})}^{2} : ((2 - 15^{0, 25}) (2 + 15^{0, 25})) = \frac{3 - 2 \times 15^{0, 5} + 5}{(2 - 15^{0, 25}) (2 + 15^{0, 25})} = \frac{8 - 2 \times 15^{0, 5}}{4 - 15^{0, 5}} =$

$= \frac{2 (4 - 15^{0, 5})}{4 - 15^{0, 5}} = 2$

Ответ: а) $\frac{25}{196}$ ; б) -12; в) 5; г) 2.

Упражнение 1

Вычислить:

а) $4^{- 3 \frac{1}{2}}$ ;

б) $2^{- 3} \times 64^{\frac{1}{3}}$ ;

в) ${(16^{\frac{1}{2}} - {(\frac{1}{16})}^{- \frac{3}{4}} + {(\frac{1}{2})}^{- 4})}^{- 2}$ ;

г) $(16^{- 0, 25} - 3^{- 0, 5}) (16^{- 0, 25} + {(3^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{3}})$

Пример 2

Представить выражение в виде степени с основанием a.

а) $a^{\frac{1}{8}} \times \sqrt[4]{a^{2}}$ ;

б) ${(\sqrt[5]{a^{3}})}^{10}$ ;

в) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{5}}}$ .

Решение

а) $a^{\frac{1}{8}} \times \sqrt[4]{a^{2}} = a^{\frac{1}{8}} \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{8}}$ ;

б) ${(\sqrt[5]{a^{3}})}^{10} = {(a^{\frac{3}{5}})}^{10} = a^{6}$ ;

в) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{5}}} = \sqrt[5]{a^{\frac{5}{3}}} = a^{\frac{1}{3}}$ .

Ответ: а) $a^{\frac{5}{8}}$ ; б) $a^{6}$ ; в) $a^{\frac{1}{3}}$ .

Упражнение 2

Представить выражение в виде степени с основанием a.

а) $a^{\frac{1}{16}} \times \sqrt[4]{a}$ ;

б) ${(\sqrt[7]{a^{2}})}^{21}$ ;

в) $\sqrt[9]{\sqrt[6]{a^{3}}}$ .

Пример 3

Упростить выражение $\frac{a - 1}{a^{\frac{3}{4}} + \sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \times a^{\frac{1}{4}}$ .

Решение

$\frac{a - 1}{a^{\frac{3}{4}} + \sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \times a^{\frac{1}{4}} = \frac{(a^{\frac{1}{2}} - 1) (a^{\frac{1}{2}} + 1) (a^{\frac{1}{4}})^{2} (a^{\frac{1}{4}} + 1)}{a^{\frac{1}{2}} (a^{\frac{1}{4}} + 1) (a^{\frac{1}{2}} + 1)} = a^{\frac{1}{2}} - 1$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$ .

Упражнение 3

Упростить выражение $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{(a^{2} {(a - b)}^{2})^{\frac{1}{3}}} \times \frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})}{{(a - b)}^{\frac{1}{3}}} \times a^{\frac{2}{3}}$ .

Степень с действительным показателем

Пусть $x \in R, a > 0$ . Степень $a^{x}$ является положительным действительным числом, т.е $a^{x} > 0$ .

В случае, когда $a = 0$ , $0^{x}$ определена только при $x > 0$ , считают, что $0^{x} = 0$ . При $x \leq 0$ выражение $0^{x}$ не имеет смысла.

Для степени с действительным показателем имеют место все свойства степени с рациональным показателем.

Теорема 5.1

Пусть $a > 1, x_{1} < x_{2} .$ Тогда $a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$ .

Следствие 1

Пусть $0 < a < 1, x_{1} < x_{2}$ . Тогда $a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$ .

Следствие 2

Пусть $a > 0, a \neq 1, a^{x_{1}} = a^{x_{2}}$ . Тогда $x_{1} = x_{2}$ .

Следствие 3

Пусть $0 < x_{1} < x_{2}$ . Тогда если $p > 0,$ то ${x_{1}}^{p} < {x_{2}}^{p}$ , а если $p < 0,$ то ${x_{1}}^{p} > {x_{2}}^{p}$ .

Следствие 3 иными словами можно сказать так: «если обе положительные части неравенства возвести в положительную степень, то знак неравенства не меняется; если возвести в отрицательную степень, знак неравенства поменяется на противоположный».

Пример 4

Выполнить действие:

а) ${(a^{\sqrt{5}})}^{\sqrt{5}}$ ;

б) $\frac{a^{\sqrt{2}} (a^{\sqrt{2} + 1})}{a^{1 - \sqrt{2}}}$ .

Решение

а) ${(a^{\sqrt{5}})}^{\sqrt{5}} = a^{5}$ ;

б) $\frac{a^{\sqrt{2}} \cdot a^{\sqrt{2} + 1}}{a^{1 - \sqrt{2}}} = \frac{a^{2 \sqrt{2} + 1}}{a^{1 - \sqrt{2}}} = a^{3 \sqrt{2}}$ .

Ответ: а) $a^{5}$ ; б) $a^{3 \sqrt{2}}$ .

Упражнение 4

Выполнить действие:

а) ${(a^{1 - \sqrt{7}})}^{\sqrt{7} + 1}$ ;

б) $\frac{a^{\sqrt{11}} \cdot a^{\sqrt{11} - 1}}{a^{\sqrt{11} + 1}}$ .

Пример 5

Сравнить:

а) $8, 4^{- 3, 4} и 8, 4^{- 3 \frac{1}{3}};$

б) ${(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} и {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{5}}$ ;

в) $3^{- \sqrt{7}} и 3^{- \sqrt{2}}$ ;

г) $2, 04^{0, 3} и 2, 041^{0, 3}$ ;

д) $17^{- 2, 4} и 19^{- 2, 4}$ .

Решение

а) $8, 4^{- 3, 4}$ и $8, 4^{- 3 \frac{1}{3}}$

Сравним показатели степеней: $- 3, 4 < - 3 \frac{1}{3}$ . Так как основание 8,4 больше 1, то $8, 4^{- 3, 4} < 8, 4^{- 3 \frac{1}{3}};$

б) ${(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}}$ и ${(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{5}}$

$\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$ , основание $\frac{1}{4}$ лежит в промежутке $(0; 1)$ , тогда ${(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} < {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{5}}$ .

в) $3^{- \sqrt{7}}$ и $3^{- \sqrt{2}}$

$- \sqrt{7} < - \sqrt{2}$ , основание 3 больше 1, тогда $3^{- \sqrt{7}} < 3^{- \sqrt{2}}$ .

г) $2, 04^{0, 3}$ и $2, 041^{0, 3}$

Показатели степеней одинаковые, положительные, $2, 04 < 2, 041$ , тогда $2, 04^{0, 3} < 2, 041^{0, 3}$ .

д) $17^{- 2, 4}$ и $19^{- 2, 4}$

Показатели степеней одинаковые, отрицательные, $17 < 19$ , тогда $17^{- 2, 4} > 19^{- 2, 4}$ .

Ответ:

а) $8, 4^{- 3, 4} < 8, 4^{- 3 \frac{1}{3}}$ ;

б) ${(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{3}} < {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{5}}$ ;

в) $3^{- \sqrt{7}} < 3^{- \sqrt{2}}$ ;

г) $2, 04^{0, 3} < 2, 041^{0, 3}$ ;

д) $17^{- 2, 4} > 19^{- 2, 4}$ .

Упражнение 5

Сравнить:

а) $6, 3^{- 1 \frac{1}{4}} и 6, 3^{- 1, 5}$ ;

б) ${(\frac{1}{8})}^{0, 8} и {(\frac{1}{8})}^{0, 9}$ ;

в) $10^{- \sqrt{3}} и 10^{- \sqrt{13}}$ ;

г) $5, 08^{0, 9} и 5, 083^{0, 9}$ .

Итак:

1. Если $m \in Z, n \in N$ , то

$a^{n} = a \times a \times a \times \dots \times a$ (a умножают на себя n раз).
$a^{1} = a$
$a^{0} = 1 (a \neq 0)$
$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}} (a \neq 0)$
$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} (a > 0, n \geq 2)$

2. Если $r > 0, т о 0^{r} = 0$ .

3. Пусть $a > 0, b > 0, x, x_{1}, x_{2} \in R$

$a^{x} > 0$
если $a > 0, x > 0, т о a^{x} > 1$
если $a > 1, x_{1} < x_{2}, т о a^{x_{1}} < a^{x_{2}}$
если $0 < a < 1, x_{1} < x_{2}, т о a^{x_{1}} > a^{x_{2}}$
если $a^{x_{1}} = a^{x_{2}}, a \neq 1, т о x_{1} = x_{2}$
если $0 < x_{1} < x_{2}, p > 0, т о {x_{1}}^{p} < {x_{2}}^{p}$
если $0 < x_{1} < x_{2}, p < 0, т о {x_{1}}^{p} > {x_{2}}^{p}$
$a^{x_{1}} a^{x_{2}} = a^{x_{1} + x_{2}}$ ;
$a^{x_{1}} \div a^{x_{2}} = a^{x_{1} - x_{2}}$ ;
${(a^{x_{1}})}^{x_{2}} = a^{x_{1} x_{2}}$ ;
${(a b)}^{x} = a^{x} b^{x}$ ;
${(\frac{a}{b})}^{x} = \frac{а^{х}}{b^{x}} .$

Контрольные вопросы

Как вычислить $a^{\frac{m}{n}}$ , если $\frac{m}{n}$ – рациональное число и a – неотрицательное число?
Как вычислить $a^{- \frac{m}{n}}$ , если $\frac{m}{n}$ – рациональное число и a – положительное число?
Какая область допустимых значений выражения ${(x - 5)}^{\frac{2}{5}}$ ?
Какая область допустимых значений выражения ${(x + 9)}^{- \frac{1}{7}}$ ?

Ответы

Упражнение 1

а) $\frac{1}{128}$ ; б) $\frac{1}{2}$ ; в) $\frac{1}{144}$ ; г) $- \frac{1}{12}$ .

Упражнение 2

а) $a^{\frac{5}{16}}$ ; б) $a^{6}$ ; в) $a^{\frac{1}{18}}$ .

Упражнение 3

$\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^{2}} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^{2}}}$

Упражнение 4

а) $\frac{1}{a^{6}}$ б) $a^{\sqrt{11} - 2}$ .

Упражнение 5

а) $6, 3^{- 1 \frac{1}{4}} > 6, 3^{- 1, 5}$ ;

б) ${(\frac{1}{8})}^{0, 8} > {(\frac{1}{8})}^{0, 9}$ ;

в) $10^{- \sqrt{3}} > 10^{- \sqrt{13}};$

г) $5, 08^{0, 9} < 5, 083^{0, 9}$ .

Конспект урока: Степень с рациональным и действительным показателями

Степень

Степень с рациональным показателем

Степень с действительным показателем