Конспект урока: Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности

Рис. 1. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса

Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения $h$ и $r$. Возможны три случая:

1) $h<r$. На прямой $m$ отложим отрезки $AE$ и $BE$ по разные стороны от точки $E$ длиной $\sqrt{r^2-h^2}$ (рис. 1). По теореме Пифагора 

$OA=\sqrt{O{E}^2+A{E}^2}=\sqrt{h^2+\left(r^2-h^2\right)}=r$,

$OB=\sqrt{O{E}^2+B{E}^2}=\sqrt{h^2+\left(r^2-h^2\right)}=r$.

Рис. 2. Расстояние от центра до прямой равно радиусу

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности, т.е. являются общими точками для прямой $m$ и окружности. 

Докажем, что других общих точек прямая $m$ и окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$ не имеют. Допустим, что они имеют еще одну общую точку $C$. Тогда $OA=OC$, треугольник $AOC$ равнобедренный. Медиана $OD$ треугольника $AOC$, проведенная к основанию $AC$, является высотой этого треугольника, следовательно $OE\perp m$ и $OD\perp m$, точки $D$ и $E$ не совпадают, т.к. не совпадают точки $B$ и $C$. Тогда из точки $O$ к прямой $m$ проведено более одного перпендикуляра, что невозможно.

Рис. 3. Расстояние от центра до прямой больше радиуса

2) $h=r$. Тогда $OE=r$, следовательно точка $E$ лежит на окружности, значит является общей точкой прямой $m$ и окружности (рис. 2). Прямая $m$ и окружность не имеют других общих точек, поскольку для любой точки $H$ прямой $m$, отличной от точки $E$, $OH>OE=r$ (наклонная $OH$ больше перпендикуляра $OE$), точка $H$ не лежит на окружности.

3) $h>r$. В этом случае $OE>r$, поэтому для любой точки $M$ прямой $m$ $OM\ge OE>r$.  

(рис. 3). Следовательно, точка $M$ не лежит на окружности. 

Рис. 4. К решению примера 1

Поскольку боковая сторона $AB$ наименьшая, то углы $A$ и $B$ прямые (рис. 4). Отрезок $AB$ делится точкой  в отношении 2:3, следовательно 

$OA=6 см$, $OB=4 см$.

Расстояние от центра окружности до прямой $BC$ меньше радиуса, значит $BC$ секущая.

Расстояние от центра окружности до прямой $AD$ равно радиусу, значит $AD$ – касательная. Прямая $AB$ проходит через центр окружности, $AB$ – секущая.

Вычислим расстояние от точки $O$ до прямой $CD$, используя метод площадей.

$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}·AB=110 с{м}^2$,

$S_{\Delta AOD}=\frac{1}{2}·AO·AD=42 с{м}^2$,

$S_{\Delta BOC}=\frac{1}{2}·OB·BC=16 с{м}^2$,

$S_{\Delta COD}=S_{ABCD}-S_{\Delta AOD}-S_{\Delta BOC}=52 с{м}^2$.

$CE$ – высота трапеции, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $CED$ гипотенуза $CD=2\sqrt{34} см$. $S_{\Delta COD}=\frac{1}{2}·h·CD$, где $h$ - высота треугольника $COD$, проведенная к стороне $CD$. Тогда $h=\frac{26\sqrt{34}}{17} см$, что больше 6 см. Следовательно прямая $CD$ не пересекает окружность.

Ответ: $AB$ и $BC$ секущие, $AD$ касательная, $CD$ не пересекает окружность.

Рис. 5. Касательная к окружности

Общая точка касательной и окружности называется точкой касания. На рис. 5 прямая $a$ является касательной к окружности с центром $O$. Иначе говоря, прямая  касается окружности с центром $O$ в точке $A$.

Определим взаимное расположение касательной и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Рис. 6. К доказательству свойства касательной к окружности

Пусть прямая $a$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$ (рис. 6). Докажем, что $OA\perp a$. Применим метод доказательства от противного.

Пусть отрезок $OA$ не является перпендикуляром к прямой $a$. Тогда по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой из точки $O$ можно провести перпендикуляр $OB$ к прямой $a$. 

На луче $AB$ от точки $B$ отложим отрезок $BC$, равный $AB$, и соединим точки $O$ и $C$. Поскольку по построению отрезок $OB$ — медиана и высота треугольника $AOC$, то этот треугольник равнобедренный с основанием $AC$, то есть $OA=OC$. Таким образом, расстояние между точками $O$ и $C$ равно радиусу окружности, и, по определению радиуса, точка $C$ должна лежать на данной окружности. Но это противоречит определению касательной, поскольку $A$ — единственная общая точка окружности с прямой $a$. Из этого противоречия следует, что наше предположение неверно, то есть $OA\perp a$.

Теорема доказана.

Рис. 7. Отрезки касательных, проведенных к окружности из точки A

Пусть $AB$ и $AC$ – отрезки касательных, проведенных к окружности с центром $O$ из точки $A$ (рис. 7). Рассмотрим треугольники $AOB$ и $AOC$. По свойству касательной к окружности $OB\perp AB$, $OC\perp AC$, то есть эти треугольники являются прямоугольными с общей гипотенузой $OA$ и равными катетами 
($OB=OC$ как радиусы окружности). Следовательно, $∆AOB=∆AOC$ по гипотенузе и катету, откуда $AB=AC$ , $\angle OAB=\angle OAC$. 

Теорема доказана.

Рис. 8. К доказательству признака касательной

Пусть прямая $a$ проходит через точку $A$, лежащую на окружности с центром $O$, причем $OA\perp a$. Докажем, что $a$ — касательная к окружности. Согласно определению касательной нам необходимо доказать, что окружность имеет с прямой $a$ единственную общую точку. Снова применим метод доказательства от противного. 

Пусть прямая $a$ имеет с окружностью общую точку $B$, отличную от $A$ (рис. 8). Тогда из определения окружности $OA=OB$ как радиусы, то есть треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB.$ По свойству углов равнобедренного треугольника $\angle OBA=\angle OAB=90°$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. 

Следовательно, точка $A$ — единственная общая точка окружности и прямой $a$, значит, прямая $a$ — касательная к окружности. 

Теорема доказана.

Рис. 9. К решению примера 2

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ радиуса $r$. Через точку $A$ окружности проведена касательная $a$ и хорда $AB=r\sqrt{3}$ (рис. 9). Найдем угол между касательной $a$ и хордой $AB$.

Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA=OB$ как радиусы), $OC$ – высота и медиана данного треугольника, $AC=\frac{r\sqrt{3}}{2}$. В прямоугольном треугольнике $OAC$ $\cos OAC=\frac{AC}{OA}=\frac{r\sqrt{3}}{2}:r=\frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно $\angle OAC=30°$. По свойству касательной угол между радиусом $OA$ и касательной $a$ равен $90°$, тогда угол между касательной $a$ и хордой $AB$ равен $60°$.

Ответ: $60°$.