- Теорема о площади трапеции
- Примеры вычисления площади трапеции
- Знать теорему о площади трапеции
- Уметь вычислять площадь трапеции
- Какой четырехугольник называют трапецией?
- Какими свойствами обладает трапеция?
- Как вычислить площадь прямоугольника и площадь треугольника?
Теорема о площади трапеции
Часто для вычисления площади некоторого многоугольника его разбивают на несколько треугольников и находят искомую площадь как сумму площадей этих треугольников. Именно такой подход можно применить для вывода формулы площади трапеции.
Назовем высотой трапеции перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Теорема
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Доказательство
Пусть дана трапеция с основаниями и и высотой . Диагональ делит ее на два треугольника и (рис. 1). Проведем высоты и этих треугольников. Обе они являются высотами трапеции, т. е. равны . Имеем:
Теорема доказана.
Пример 1
Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна , а острый угол — . Найдите площадь трапеции, если ее периметр равен .
Решение
Рассмотрим трапецию , ,
(рис. 2).
Проведем высоту . Треугольник прямоугольный с углом в , следовательно
, .
Периметр трапеции равен , боковые стороны равны и , следовательно сумма оснований равна .
.
Ответ: .
Упражнения
1. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны и , а высота .
2. Основания равнобедренной трапеции равны и , а острые углы — . Найдите площадь трапеции.
Контрольные вопросы
1. Две равновеликие трапеции имеют равные высоты. Означает ли это, что основания данных трапеций также соответственно равны?
2. Может ли диагональ трапеции делить ее на два равновеликих треугольника? Ответ обоснуйте.
1. .
2. .