Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Площадь ромба (через диагонали). Площадь четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями

План урока

Теорема о площади ромба
Теорема о площади четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями
Вычисление площади ромба

Цели урока

Знать теорему о площади ромба (через диагонали), теорему о площади четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями
Уметь вычислять площадь ромба

Разминка

Какой четырехугольник называют ромбом?
Какими свойствами обладает ромб?
Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Площадь ромба

Рис. 1. Ромб ABCD

По определению ромбом называют параллелограмм, стороны которого равны, следовательно, площадь ромба можно вычислить как произведение стороны на высоту, проведенную к данной стороне. Помимо этого, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, диагоналями ромб делится на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами, равными половине диагонали.

Рассмотрим ромб $A B C D$ , диагонали $A C$ и $B D$ которого пересекаются в точке $O$ (рис. 1),

$A O = O C = \frac{1}{2} A C$ , $B O = O D = \frac{1}{2} B D$ .

$S_{△ A B O} = \frac{1}{2} A O \cdot B O = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} A C \cdot \frac{1}{2} B D =$

$= \frac{1}{8} A C \cdot B D$

$S_{A B C D} = 4 \cdot S_{△ A B O} = 4 \cdot \frac{1}{8} A C \cdot B D = \frac{1}{2} A C \cdot B D$ .

Таким образом мы доказали следующую теорему:

Теорема

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Теорема о площади четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями

Докажем теорему в более общем случае, для произвольного четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Теорема

Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то его площадь равны половине произведения диагоналей.

Доказательство

Рис. 2. Четырехугольник ABCD

Рассмотрим четырехугольник $A B C D$ , диагонали которого $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $O$ , $A C ⊥ B D$ (рис. 2)

$S_{A B C D} = S_{△ A B C} + S_{△ A D C}$

$S_{A B C D} = \frac{1}{2} A C \cdot B O + \frac{1}{2} A C \cdot D O$

$A_{A B C D} = \frac{1}{2} A C \cdot (B O + D O)$

$A_{A B C D} = \frac{1}{2} A C \cdot B D$ .

Теорема доказана.

Пример 1

Найдите площадь ромба, диагонали которого равны $8 м$ и $20 м$ .

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 20 = 80 (м^{2})$ .

Ответ: $80 м^{2}$ .

Упражнения

1. Найдите площадь ромба, диагонали которого равны $15 с м$ и $12 с м$ .

2. Найдите диагонали ромба, если одна из них в два раза больше другой, а площадь ромба равна $64 с м^{2}$ .

3. Найдите площадь ромба с периметром $24 с м$ и тупым углом $150 °$ .

Контрольные вопросы

1. Как вычислить площадь ромба, если известны:

а) длины диагоналей;

б) длина стороны и высота ромба?

2. Как вычислить площадь четырехугольника, если его смежные стороны попарно равны?

Ответы

1. $90 с м^{2}$ .

2. $8 с м$ и $16 с м$ .

3. $18 с м^{2}$ .

Конспект урока: Площадь параллелограмма. Площадь треугольника

Площади

Площадь ромба

Теорема о площади четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями