Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Площадь параллелограмма. Площадь треугольника

Площади

02.03.2024
2215
0

Площадь параллелограмма. Площадь треугольника

План урока

  • Теорема о площади параллелограмма
  • Метод вспомогательной площади
  • Теорема о площади треугольника
  • Следствия из теорем о площади параллелограмма и площади треугольника
  • Теорема о площадях треугольников с равными углами

Цели урока

  • Знать теоремы о площади параллелограмма и треугольника, о площадях треугольников с равными углами
  • Уметь применять теоремы о площади параллелограмма и треугольника для решения задач

Разминка

  • Какими свойствами обладает параллелограмм?
  • Что называют высотой треугольника?
  • Чему равна площадь квадрата, площадь прямоугольника?
  • Какие фигуры называются равносоставленными?

Теорема о площади параллелограмма

 

Одну из сторон параллелограмма назовем основанием, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, — высотой параллелограмма.


Теорема

 

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.


Доказательство

Рис. 1. К доказательству теоремы о площади параллелограмма

Рассмотрим параллелограмм ABCD с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведём высоты BH и CK к стороне AD (рис. 1). Докажем, что S=AD·BH

 

Докажем, что прямоугольник HBCK равновеликий с параллелограммом ABCD, т. е. его площадь равна S. Действительно, прямоугольные треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и катету (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма, BH=CK как расстояния между параллельными прямыми), следовательно площади этих треугольников равны. 

 

SABCD=SABH+SBCDH=SCDK+SBCDH=SHBCK=S.

 

Площадь прямоугольника HBCK равна произведению длин смежных сторон: S=BH·BC. Противоположные стороны параллелограмма равны, тогда S=BH·AD

 

Теорема доказана.


Следствие

 

В параллелограмме большей является высота, проведенная к меньшей стороне, меньшей — высота, проведенная к большей стороне.


Метод вспомогательной площади

 

При решении некоторых задач площадь используется как вспомогательная величина для вычисления линейных элементов фигуры. Такой метод, при котором, выражая площадь фигуры двумя различными способами, удается получить равенство, связывающее основные элементы фигуры, называют методом вспомогательной площади (или методом площадей).


Пример 1

 

Высоты параллелограмма равны 2 см и 3 см, а меньшая сторона равна  6 см. Найдите периметр параллелограмма.


Решение

Рис. 2. К решению примера 1

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательной площади. 

 

Рассмотрим параллелограмм ABCDBH и BK высоты, проведенные из вершины B. Согласно следствию из теоремы о площади параллелограмма, к меньшей стороне параллелограмма проведена большая высота. Пусть BH=2 смBK=3 смCD=6 см (рис. 2).

 

Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту: SABCD=AD·BH=CD·BK=6·3=18 (см2)

Следовательно, AD=SABCD:BH=18:2=9 (см).

 

Противоположные стороны параллелограмма равны, тогда PABCD=2·(9+6)=30 (см).

 

Ответ: 30 см.


Упражнение 1

 

1. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если данная его сторона равна 17 см.

 

2. Стороны параллелограмма равны 12 см и 16 см. Найдите его высоты, если площадь параллелограмма равна 96 см2.

 

3. Сторона параллелограмма и проведенная к ней высота равны соответственно 16 см и 9 см. Найдите сторону квадрата, равновеликого данному параллелограмму.


Теорема о площади треугольника

 

Одну из сторон треугольника назовем его основанием. Если основание выбрано, то словом «высота» назовём высоту треугольника, проведенную к основанию.


Теорема 

 

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.


Доказательство

Рис. 3. К доказательству теоремы о площади треугольника

Пусть S — площадь треугольника ABC 
(рис. 3). Примем сторону AB за основание треугольника и проведем высоту CH. Докажем, что

 

S=12AB·CH.

 

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ACDB (рис. 3). Треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (BC — общая сторона, AB=CDAC=BD как противоположные стороны параллелограмма ACDB), следовательно, площади этих треугольников равны. Тогда площадь S треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ACDB:

 

S=12AB·CH.

 

Теорема доказана.


Следствие 1

 

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.


Следствие 2

 

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.


Пример 2

 

Докажите, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.


Решение

Рис. 4. К решению примера 2

Рассмотрим треугольник ABCCM — медиана этого треугольника, CH — его высота (рис. 4). Докажем, что 

 

SACM=SBCM.

 

Поскольку CM — медиана треугольника ABC, то AM=BM.

 

Отрезок CH — высота треугольников ACM и BCM, значит SACM=12AM·CH, SBCM=12BM·CH. Основания треугольников равны, следовательно, и площади равны SACM=SBCM, что и требовалось доказать.


Теорема о площадях треугольников с равным углом


Теорема

 

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. 


Доказательство

Рис. 5. Треугольники ABC и A1B1C1

Рассмотрим ABC и A1B1C1, у которых A=A1 
(рис. 5). Пусть S — площадь треугольника ABCS1 — площадь треугольника A1B1C1. Докажем, что 

 

SS1=AB·ACA1B1·A1C1.

 

Наложим треугольник A1B1C1 на треугольник ABC так, чтобы вершина A1 совместилась с вершиной A, стороны A1B1 и A1C1 наложились соответственно на лучи AB и AC (Рис. 6). Треугольники ABC и AB1C имеют общую высоту CH, следовательно

 

SSAB1C=ABAB1.

Рис. 6. Наложение треугольников ABC и A1B1C1

Треугольники A1B1C1 и AB1C имеют общую высоту B1H1, тогда                                              

 

SAB1CS1=ACA1C1

 

Перемножим полученные равенства:

 

SS1=AB·ACAB1·A1C1 или SS1=AB·ACA1B1·A1C1.


Пример 3

 

Докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины треугольника (свойство медиан треугольника).


Решение

Рис. 7. К решению примера 3

Пусть дан треугольник ABC, в котором медианы BD и AE пересекаются в точке O. Поскольку OD медиана треугольника AOC, то по доказанному в примере 2 SAOD=SCOD=S1. Аналогично, SCOE=SBOE=S2. Но BD и AE — медианы треугольника ABC, поэтому

 

12SABC=SACE=SBCD,
 

т. е. 2S1+S2=2S2+S1, откуда S1=S2.

 

Треугольники AOC и COE имеют общую высоту CH, проведенную из вершины C, поэтому

 

AOOE=SAOCSCOE=2S1S1=21.
 

Аналогично доказывается, что любая медиана треугольника при пересечении с другой медианой делится в отношении 2:1, считая от вершины. Отсюда следует, что все три медианы пересекаются в одной точке.


Упражнение 2

Рис. 8. К задаче 1

1. Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при вершине 150° (Рис. 8).

 

2. Площадь треугольника равна 150 см2. Найдите периметр треугольника, если его высоты равны 15 см12 см и 20 см.

 

3. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла, если его периметр равен 84 см, а стороны относятся как 3:4:5.


Контрольные вопросы

 

1. Через середины двух противолежащих сторон параллелограмма проведена прямая. В каком отношении она делит площадь параллелограмма?

 

2. Площадь треугольника ABC равна S. Чему равна площадь параллелограмма ABCD, три вершины которого совпадают с вершинами данного треугольника?

 

3. По какой формуле целесообразно вычислять площадь прямоугольного треугольника, если известны:

а) длины гипотенузы и проведенной к ней высоты;

б) длины двух катетов?

 

4. Два равновеликих треугольника имеют равные высоты. Означает ли это, что основания данных треугольников также равны?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 255 см2.

2. 8 см и 6 см.

3. 12 см.

 

 

Упражнение 2

 

1. 9 см2.

2. 60 см.

3. 16,8 см.


Предыдущий урок
Площадь многоугольника, квадрата и прямоугольника
Площади
Следующий урок
Площадь многоугольника, квадрата и прямоугольника
Площади
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Плавление и кристаллизация. Удельная теплота плавления

    Физика

  • Закономерности циркуляции воздушных масс. Атмосферные фронты, циклоны и антициклоны

    География

  • Ионная химическая связь

    Химия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке