Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Применение производной к построению графиков функций

Производная

17.07.2024
3108
0

Применение производной к построению графиков функций

План урока

  • Схема исследования и построения графиков функций;
  • Особенности исследования и построения графиков чётных и нечётных функций.

Цели урока

  • Знать общую схему исследования функции с помощью производной;
  • Уметь применять производную при исследовании функции.

Разминка

Рис. 1.

  1. Какой знак имеет производная функции на промежутке возрастания (убывания)?
  2. Чему равна производная дифференцируемой функции в точке экстремума?
  3. На рисунке 1 изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции fx.

Схема исследования и построения графиков функций

 

С помощью понятия производной мы можем определить промежутки возрастания и убывания функции, найти критические точки, а также точки максимума и минимума функции. Всё это даёт возможность применять производную при построении графиков функций. Перед построением графика функции проводится её исследование и часть сведений об исследуемой функции получают с помощью производной. Однако, помимо этих данных, для более точного построения графиков функции нам необходимы еще некоторые сведения. Приведем схему исследования функций, которой и будем пользоваться в дальнейшем.


Схема исследования функции

 

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти производную функции.
  3. Найти стационарные точки.
  4. Найти промежутки возрастания и убывания функции.
  5. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.


Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы.

Кроме того, желательно найти точки пересечения с осями координат. Для более точного построения графика функции можно найти ещё несколько точек.


Пример 1

Построить график функции y=2x3-x2-4x.


Решение

 

1. Найдём область определения функции: Dy=-;+.

 

2. Найдём производную функции: y'=2x3-x2-4x'=6x2-2x-4.

 

3. Найдём критические точки: 6x2-2x-4=0.

 

D=-22-4·6·-4=4+96=100

 

x1=2-10012=-812=-23

 

x2=2+10012=1

 

Рис. 2.

4. Найдём промежутки возрастания и убывания (рис. 2):

 

функция возрастает на интервалах -; -23 и 1; +.                                           

функция убывает на интервале -23;1.

5. Найдём точки экстремума и значения функции в этих точках (рис. 2): 

 

x=-23 - точка максимума,

 

f-23=2·-233--232-4·-23=4427.

 

x=1 - точка минимума,

 

f1=2-1-4=-3

 

Представим результаты исследования в виде таблицы:

 

x

-; -23

-23

-23;1

1

(1; +)

f '(x)

+

0

-

0

+

f(x)

4427

-3

 

Найдём точки пересечения с осями координат:

(0;0) - точка пересечения с осью Oy;

2x3-x2-4x=0

x·2x2-x-4=0

x1=0; x2=1-334; x3=1+334 - абсциссы точек пересечения с осью Ox.

Таким образом, график функции пересекает координатные оси в точках 0;0; 1-334;0 и 1+334;0.

 

Рис. 3.

Построим график функции (рис. 3).                                                                                                          

 

 

Особенности исследования и построения графиков чётных и нечётных функций

 

Для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график для x>0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).


Пример 2

Построить график функции y=-x4+5x2-4.


Решение

 

1. Найдём область определения функции: Dy=-;+

 

2. Исследуем функцию на чётность, нечётность

 

f-x=--x4+5·-x2-4=-x4+5x2-4=fx данная функция является чётной. Таким образом, исследовать функцию и строить график будем сначала при x0.

 

3. Найдём производную функции: y'=-x4+5x2-4'=-4x3+10x.

 

4. Найдём стационарные точки на промежутке [0; +)

 

-4x3+10x=0

2x·-2x2+5=0

x1=0,x2=2,5

Рис. 4.

5. Найдём промежутки возрастания и убывания (рис. 4):

 

Функция возрастает на интервале 0; 2,5.

Функция убывает на интервале 2,5;+.                                                                               

6. Найдём точки экстремума и значения функции в них:

 

f(0)=-4;

x=2,5 точка максимума, f2,5=-2,54+52,52-4=2,25.

 

Представим результаты исследования в виде таблицы:

 

x

0

0; 2,5

2,5

2,5;+

f '(x)

0

+

0

-

f(x)

-4

2,25

 

Найдём точки пересечения с осями координат на промежутке [0; +):

Если x=0, то y=-4(0; -4) – точка пересечения с осью Oy.

Если y=0, то -x4+5x2-4=0

x1=1; x2=2(1; 0) и (2; 0) – точки пересечения с осью Ox.

Рис. 5.

Используя результаты исследования, строим график функции при x0. График этой функции при x<0 строим с помощью симметрии относительно оси Oy (рис. 5).


Упражнение  

1. Постройте графики функций:

 а) y=x3-3x2+4;  б) y=3x5-5x3; в) y=x2-1x2+1.

Рис. 6.

2. На рисунке 6 изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (3; 9). Найдите:

а) промежутки, в которых производная функции меньше нуля; 

б) промежутки, в которых производная функции больше нуля;

в) точки в которых производная равна нулю.


Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте основные пункты исследования функции.

2. Каковы особенности исследования и построения графиков чётных и нечётных функций?


Ответы

Упражнение 

 

2. а) (-3; -2)(-1; 1)(4; 6)

б) (-2; -1)(1; 4)(6; 9);

в) -2; -1; 1; 4; 6.

Предыдущий урок
Применение производной к построению графиков функций
Производная
Следующий урок
Геометрический смысл производной
Производная
Поделиться:
  • Вероятность события

    Алгебра

  • Рыночные отношения в экономике

    Обществознание

  • Сложносочиненное предложение. Знаки препинания в сложносочиненном предложении

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке