Конспект урока: Производная степенной функции. Правила дифференцирования

Кроме изученных формул нахождения производных существуют правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного функций.

Правила дифференцирования

Докажем формулу (1). Пусть $F\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$. Составим разностное отношение:

$\frac{F(x+h)-F\left(x\right)}{h}=\frac{f(x+h)+g(x+h)-f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h}=\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}+\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}$.

Если $h\to 0$, то предел первого слагаемого равен $f$'$\left(x\right)$, второго слагаемого — 

$g$'$\left(x\right)$. Тогда $F$'$\left(x\right)=f$'$\left(x\right)+g$'$\left(x\right)$, что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать, что производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций, производная разности нескольких функций равна разности производных этих функций.

Найти производную функции  

1. $f\left(x\right)=x^6+x^{\frac{1}{4}}-4$;

2. $f\left(x\right)=\frac{6}{\sqrt[3]{x}}-\frac{2}{x}$.

Решение

1) $f$'$\left(x\right)=\left(x^6\right)$'$+\left(x^{\frac{1}{4}}\right)$'$- \left(4\right)$'$=6x^5+\frac{1}{4}·x^{-\frac{3}{4}}=6x^5+\frac{1}{4}·\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=6x^5+\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$;

2) $f$'$\left(x\right)=(6·x^{-\frac{1}{3}})$'$-(2·x^{-1})$'$=6·(-\frac{1}{3})x^{-\frac{4}{3}}+2x^{-2}=-\frac{2}{x\sqrt[3]{x}}+\frac{2}{x^2}$.

Ответ: 1) $6x^5+\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$;        2) $-\frac{2}{x\sqrt[3]{x}}+\frac{2}{x^2}$.

Найти производную функции $f\left(x\right)=\sqrt{3x-2}(x^4+2)$.

Решение

Перепишем функцию в виде $f\left(x\right)={(3x-2)}^{\frac{1}{2}}·(x^4+2)$. Тогда 

$f$'$\left(x\right)=\left({(3x-2)}^{\frac{1}{2}}\right)$'$·(x^4+2)+(x^4+2)$'$·{(3x-2)}^{\frac{1}{2}}=$

$=\frac{1}{2}·3{(3x-2)}^{-\frac{1}{2}}·\left(x^4+2\right)+4x^3\sqrt[ ]{3x-2}=\frac{3(x^4+2)}{2\sqrt{3x-2}}+4x^3\sqrt{3x-2}$.

Ответ: $\frac{3(x^4+2)}{2\sqrt{3x-2}}+4x^3\sqrt[ ]{3x-2}$.

Вычислить $f$'$\left(4\right)$, если $f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x}}-3x^2$.

Решение

Перепишем функцию в виде $f\left(x\right)=2x^{-\frac{1}{2}}-3x^2$. Тогда 

$f$'$\left(x\right)=2·(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}-6x=-\frac{1}{x\sqrt{x}}-6x$,

$f$'$\left(4\right)=-\frac{1}{4\sqrt{4}}-6·4=-\frac{1}{8}-24=-24\frac{1}{8}$.

Ответ: $-24\frac{1}{8}$.

Найти производную функции $p\left(x\right)=\frac{x^4-x^2}{x^3+2}$.

Решение

Пусть $f\left(x\right)=x^4-x^2$, $g\left(x\right)=x^3+2$. Применим формулу (5)

$p$'$\left(x\right)=\frac{(x^4-x^2)\text{'}·(x^3+2)-(x^3+2)\text{'}·(x^4-x^2)}{{(x^3+2)}^2}=\frac{(4x^3-2x)·(x^3+2)-3x^2·(x^4-x^2)}{{(x^3+2)}^2}=\frac{x^6+x^4+8x^3-4x}{{(x^3+2)}^2}$.

Ответ: $\frac{x^6+x^4+8x^3-4x}{{(x^3+2)}^2}$.

Производная сложной функции

Пусть дана функция $f\left(x\right)=e^{x^2-4}$. Данную функцию можно рассматривать как сложную функцию $f\left(y\right)=e^y$, где $y=x^2-4$, т. е. как функцию $f\left(y\right)$, аргумент которой является функцией от $x$: $y=g\left(x\right)$.

Можно сказать, что сложная функция — это функция от функции $F\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)$.

Найти производную функции $f\left(x\right)={(3-2x)}^4\sqrt{2x-2}$.

Решение

Для нахождения производной вспомним, что $\left(\sqrt{x}\right)$'$=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Воспользуемся формулой (6):

$f$'$\left(x\right)=\left({(3-2x)}^4\sqrt{2x-2}\right)$'$=\left({(3-2x)}^4\right)$'$\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)$'$·{(3-2x)}^4=$

$=4·{(3-2x)}^3(3-2x)$'$\sqrt{2x-2}+\frac{1}{2\sqrt{2x-2}}·(2x-2)$'$·{(3-2x)}^4=$

$=-8\sqrt{2x-2}·{(3-2x)}^3+\frac{{(3-2x)}^4}{\sqrt{2x-2}}$.

Ответ: $-8\sqrt{2x-2}·{(3-2x)}^3+\frac{{(3-2x)}^4}{\sqrt{2x-2}}$.

Найти производную функции $f\left(x\right)$, если:

1. $f\left(x\right)=-3x^4+10\sqrt{x}$;

2. $f\left(x\right)=\sqrt{x}(x^3+\frac{1}{\sqrt{x}})$;

3. $f\left(x\right)=\frac{4x^2}{{(x-2)}^2}$;

4. $f\left(x\right)={(3x-2)}^3-5(3x-2)$

5. $f\left(x\right)=\sqrt[5]{{(1+x^3)}^2}$, где $x\ne -1$.