Конспект урока: Производная степенной функции. Правила дифференцирования

В предыдущем параграфе мы познакомились с понятием «производная функции», научились ее находить, опираясь на определение. Но не всегда так делать удобно. Докажем несколько полезных формул производных.

Доказать, что $\left(\frac{1}{x}\right)$'$=-\frac{1}{x^2}$.

Решение

Пусть дана функция $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$. Воспользуемся определением производной, для этого найдем сначала разность:

$f(x+h)-f\left(x\right)=\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{x-x-h}{x(x+h)}=-\frac{h}{x(x+h)}$.

Составим разностное отношение:

$\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=-\frac{1}{x(x+h)}$.

Если $h\to 0$, то $x+h\to x$, а $x(x+h)\to x^2$. Тогда $f$'$\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}$.

Так как функция $f\left(x\right)$ определена на всей числовой прямой за исключением точки $x=0$, то $x$ может быть как положительным, так и отрицательным. Если $x>0$, то $x+h>0$, если $x<0$, то и $x+h<0$, получили, что формула $\left(\frac{1}{x}\right)$'$=-\frac{1}{x^2}$ имеет место при $x\ne 0$, что и требовалось доказать.

Доказать, что $\left(\sqrt{x}\right)$'$=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Решение

Пусть дана функция $f\left(x\right)=\sqrt{x}$, $x>0$, $x+h>0$.

Составим разностное отношение

$\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, т. е. на $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$:

$\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$. 

Заметим, что выражение можно упростить, применив формулу произведения разности двух выражений на их сумму, приведя подобные слагаемые и сократив на ненулевое выражение, т. е.

$\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$.

Если $h\to 0$, то $\sqrt{x+h}\to \sqrt{x}$, тогда $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\to 2\sqrt{x}$.

Получили, что $\left(\sqrt{x}\right)$'$=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ при $x>0$,  что и требовалось доказать.

Рассмотренные примеры являются частными случаями формулы производной степенной функции для любого действительного показателя.

Например, $\left(x^4\right)$'$=4x^3$, $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)$'$=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$, $x^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}{x}^{\sqrt{3}-1}$.

Из предыдущего параграфа мы знаем формулу производной линейной функции $(kx+b)$'$=k$. Если нужно найти производную функции вида $y={(kx+b)}^n, n\in R$, то можно воспользоваться следующей формулой

Например, $\left({(5x-3)}^6\right)$'$=30{(5x-3)}^5$, $\left({(7-2x)}^4\right)$'$=-8{(7-2x)}^3$.

Найти $f$'$\left(x_0\right)$, если $f\left(x\right)=\sqrt{4-5x}$, $x_0=-9$.

Решение

Перепишем функцию $f\left(x\right)$ в виде $f\left(x\right)={(4-5x)}^{\frac{1}{2}}$ и воспользуемся формулой (2):

 $f$'$\left(x\right)=-\frac{5}{2}{(4-5x)}^{-\frac{1}{2}}$.

Если $x_0=-9$, то $f$'$\left(x_0\right)=-\frac{5}{2}(4-5{·(-9))}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{5}{14}$.

Ответ: $-\frac{5}{14}$.

1. Найти производную функции $f\left(x\right)$, если:

    1) $f\left(x\right)=x^7$;

    2) $f\left(x\right)=x^{-\frac{3}{5}}$;

    3) $f\left(x\right)={(4-6x)}^3$;

    4) $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[7]{x^2}}$;

    5) $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[4]{{({\displaystyle \frac{x}{2}}-3)}^3}}$.

2. Решить уравнение $f\left(x\right)=f$'$\left(x\right)$, если $f\left(x\right)={(x+2)}^2$.