Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Производная степенной функции. Правила дифференцирования

Производная

Производная степенной функции

План урока

  • Производная степенной функции y=xn, nR;
  • Производная степенной линейной функции y=(kx+b)n, nR.

Цели урока

  • Знать формулы производных степенной функции y=xn, nRy=(kx+b)n, nR;
  • Уметь находить производные степенной функции, степенной линейной функции, значения производной функции при указанной формуле для функции.

Разминка

  1. Что такое производная функция?
  2. Пользуясь определением, найти производные функций 
    1) y=3-4x;
    2) y=-2x2+1.
  3. Назовите известные вам формулы для нахождения производных функций.

В предыдущем параграфе мы познакомились с понятием «производная функции», научились ее находить, опираясь на определение. Но не всегда так делать удобно. Докажем несколько полезных формул производных.


Пример 1

Доказать, что (1x)'=-1x2.


Решение

 

Пусть дана функция f(x)=1x. Воспользуемся определением производной, для этого найдем сначала разность:

 

f(x+h)-f(x)=1x+h-1x=x-x-hx(x+h)=-hx(x+h).

 

Составим разностное отношение:

 

f(x+h)-f(x)h=-1x(x+h).

 

Если h0, то x+hx, а x(x+h)x2. Тогда f'x=-1x2.

 

Так как функция f(x) определена на всей числовой прямой за исключением точки x=0, то x может быть как положительным, так и отрицательным. Если x>0, то x+h>0, если x<0, то и x+h<0, получили, что формула 1x'=-1x2 имеет место при x0, что и требовалось доказать.


Пример 2

Доказать, что (x)'=12x.


Решение

 

Пусть дана функция f(x)=xx>0x+h>0.

 

Составим разностное отношение

 

f(x+h)-f(x)h=x+h-xh.

 

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, т. е. на x+h+x:

 

(x+h-x)(x+h+x)h(x+h+x)

 

Заметим, что выражение можно упростить, применив формулу разности квадратов, приведя подобные слагаемые и сократив на ненулевое выражение, 
т. е.

 

x+h-xh(x+h+x)=hh(x+h+x)=1x+h+x.

 

Если h0, то x+hx, тогда x+h+x2x.

 

Получили, что x'=12x при x>0,  что и требовалось доказать.


Рассмотренные примеры являются частными случаями формулы производной степенной функции для любого действительного показателя.


xn'=nxn-1                 (1)

 

Формула (1) применима при тех значениях переменной x, при которых имеет смысл правая часть.  


Например, x4'=4x3x12'=12x-12x3=3x3-1.

 

Из предыдущего параграфа мы знаем формулу производной линейной функции (kx+b)'=k. Если нужно найти производную линейной функции в некоторой степени, то можно воспользоваться следующей формулой


                                      ((kx+b)n)'=nk(kx+b)n-1          (2)


Например, ((5x-3)6)'=30(5x-3)5((7-2x)4)'=-8(7-2x)3.


Пример 3

Найти f'(x0), если f(x)=4-5xx0=-9.


Решение

 

Перепишем функцию f(x) в виде fx=(4-5x)12 и воспользуемся формулой (2):

 

 f'x=-52(4-5x)-12.

 

Если x0=-9, то f'x0=-52(4-5×(-9))-12=-514.

 

Ответ: -514.


Упражнение 1

1. Найти производную функции f(x), если:

 

    1) f(x)=x7;

    2) fx=x-35;

    3) fx=(4-6x)3;

    4) fx=1x27;

    5) fx=1(x2-3)34.

 

2. Решить уравнение f(x)=f'(x), если fx=(x+2)2.


Контрольные вопросы

 

1. Запишите формулу производной степенной функции. Приведите пример в случае натурального показателя, целого показателя, дробного показателя.


Ответы

Упражнение 1

 

1.    1. 7x6.         2.-35xx35.        3. -18(4-6x)2.        4. -27xx27.        5. -38(x2-3)(x2-3)34.

2. -2; 0.


Геометрический смысл производной

Производная
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История