Возрастание и убывание функции

План урока

Применение производной для нахождения промежутков монотонности функций
Теорема Лагранжа
Достаточное условие возрастания (убывания) функции

Цели урока

Знать понятие «промежутки монотонности функции»
Знать достаточное условие возрастания (убывания) функции, теорему Лагранжа
Уметь применять производную для нахождения промежутков монотонности функции

Разминка

Рис. 1. а) y=f(x) б) y=g(x)

Определение возрастающей функции на промежутке. Определение убывающей функции на промежутке.
По рисунку 1 определите промежутки возрастания и убывания каждой из функций $y = f (x)$ , $y = g (x)$ .
Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции $f (x) = x^{3} - 8$ в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.
Назовите знак тангенса острого угла, тупого угла.

Для изучения различных свойств функции, таких как промежутки возрастания и убывания, наибольшие и наименьшие значения, выпуклости и вогнутости применяют производные.

Рассмотрим ее применение при нахождении промежутков возрастания и убывания функции.

Рис. 2. 1 случай

Пусть дана функция $f (x)$ , определенная на некотором множестве $X$ . Рассмотрим два случая.

1 случай. Значения производной функции $f (x)$ положительны на некотором промежутке, т.е. $f^{'} (x) > 0$ . Так как производная функции – тангенс угла наклона касательной к этой функции в любой точке этого промежутка к положительному направлению оси $O x$ , то в данном случае $t g α > 0$ , и, значит, касательная образует острый угол с осью $O x$ (Рис. 2). Отсюда, график функции на этом промежутке «идет вверх», т.е. функция $f (x)$ возрастает на нем.

Рис. 3. 2 случай

2 случай. Значения производной функции $f (x)$ отрицательны на некотором промежутке, т.е. $f^{'} (x) < 0$ . Тогда $t g α < 0$ , и, значит касательная образует тупой угол с положительным направлением оси $O x$ (Рис. 3). Отсюда, график функции на этом промежутке «идет вниз», т.е. функция $f (x)$ убывает на нем.

Из рассмотренных двух случаев сделаем вывод.

Если $f^{'} (x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f (x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f^{'} (x) < 0$ на некотором промежутке, то функция $f (x)$ убывает на этом промежутке.

Теорема Лагранжа

Перед тем как мы сформулируем и докажем достаточное условие возрастания (убывания) функции, сформулируем вспомогательное утверждение, называемое теоремой Лагранжа.

Теорема Лагранжа

Если функция $f (x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и дифференцируема на интервале $(a; b)$ , то в этом интервале существует точка $c$ такая, что

$f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ (1)

Рис. 4. Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Доказательство этой формулы приводится в курсе высшей математики. В чем же ее геометрический смысл?

Пусть на графике функции $y = f (x)$ взяты точки $A (a; f (a))$ и $B (b; f (b))$ . Проведем через них секущую $l$ , ее угловой коэффициент равен $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .

Выразим из формулы (1) $f^{'} (c)$ , получим $f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ . Видим, что угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f (x)$ в точке $C (c; f (c))$ равен угловому коэффициенту секущей $l$ , т.е. на промежутке $(a; b)$ найдется такая точка $c$ , что в точке графика с этой абсциссой касательная к графику функции $y = f (x)$ будет параллельна секущей.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции

Если функция $f (x)$ дифференцируема на интервале $(a; b)$ и $f^{'} (x) > 0$ $(f^{'} (x) < 0)$ для всех $x \in (a; b)$ , то функция возрастает (убывает) на интервале $(a; b)$ .

Доказательство

Докажем эту теорему для условия возрастания функции.

Возьмем две произвольные точки $x_{1}$ и $x_{2}$ из интервала $(a; b)$ , такие, что $x_{1} < x_{2}$ и применим теорему Лагранжа к отрезку $[x_{1}; x_{2}]$ :

$f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (c) (x_{2} - x_{1})$ , где $c \in (x_{1}; x_{2})$ .

По условию $f^{'} (c) > 0$ и т.к. $x_{1} < x_{2}$ , то $x_{2} - x_{1} > 0$ , тогда $f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0$ , $f (x_{2}) > f (x_{1})$ , что в свою очередь и означает, что функция $f (x)$ возрастает на $(a; b)$ , что и требовалось доказать.

Доказательство условия убывания функции проводится аналогично.

Таким же способом можно доказать, что если функция $f (x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и $f^{'} (x) > 0$ ( $f^{'} (x) < 0$ ) на интервале $(a; b)$ , то она возрастает (убывает) на отрезке $[a; b]$ .

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции .

Пример 1

Найти промежутки возрастания и убывания функции

$f (x) = x^{3} - 3 x$ ;
$f (x) = \sqrt{2 x - 1}$ .

Решение

Рис. 5. Знаки производной функции f(x)=x³-3x

1. Найдем производную данной функции

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) =$ $= 3 (x - 1) (x + 1)$ .

С помощью метода интервалов определим промежутки, где $f^{'} (x)$ положительна и где отрицательна (рис.5). Получили, что $f^{'} (x) > 0$ при $x \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty)$ и $f^{'} (x) < 0$ при $x \in (- 1; 1)$ , тогда функция возрастает при $x < - 1$ , $x > 1$ и убывает при $- 1 < x < 1$ . Так как функция $f (x)$ дифференцируема на всей числовой прямой, то она непрерывна на множестве $R$ действительных чисел, тогда функция возрастает при $x \leq - 1$ , $x \geq 1$ и убывает при $- 1 \leq x \leq 1$ .

2. Область определения данной функции $x \geq \frac{1}{2}$ .

$f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ . При $x > \frac{1}{2}$ производная принимает только положительные значения, тогда функция возрастает на промежутке $(\frac{1}{2}; + \infty)$ . Заметим, что функция $f (x) = \sqrt{2 x - 1}$ возрастает не только на промежутке $(\frac{1}{2}; + \infty)$ , но и на $[\frac{1}{2}; + \infty)$ .

Ответ: 1) $(- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)$ – промежутки возрастания функции; $[- 1; 1]$ – промежуток убывания функции.

2) $[\frac{1}{2}; + \infty)$ – промежуток возрастания функции.

Пример 2

Доказать, что функция $f (x) = x^{2} + \frac{16}{x}$ возрастает на промежутке $(2; + \infty)$ и убывает на промежутках $(- \infty; 0) \cup (0; 2)$ .

Решение

Рис. 6. Знаки производной функции

Найдем производную данной функции

$f^{'} (x) = 2 x - \frac{16}{x^{2}} = 2 (x - \frac{8}{x^{2}}) = 2 (\frac{x^{3} - 8}{x^{2}}) =$

$= \frac{2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2}}$ .

Применив метод интервалов (рис. 6), видим, что при $x > 2$ $f^{'} (x) > 0$ , при $x \in (- \infty; 0) \cup (0; 2)$ $f^{'} (x) < 0$ . Тогда функция $f (x)$ возрастает при $x > 2$ и убывает при $x \in (- \infty; 0) \cup (0; 2)$ , что и требовалось доказать.

Упражнение

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции

1) $f (x) = 4 + 12 x + 3 x^{2} - 2 x^{3}$ ;

2) $f (x) = \sqrt{x - 2 x^{2}}$ .

2. Доказать, что функция $f (x) = x^{2} - \frac{2}{x}$ убывает на промежутке $(- \infty; - 1)$ и возрастает на промежутках $(- 1; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Контрольные вопросы

Сформулируйте достаточное условие возрастания функции на отрезке $M$ .
Сформулируйте достаточное условие убывания функции на отрезке $M$ .
Для функции $f (x)$ на промежутке $M$ выполняется неравенство $f^{'} (x) > 0$ . Что можно сказать про монотонность функции $f (x)$ ?
Для функции $f (x)$ на промежутке $M$ выполняется неравенство $f^{'} (x) < 0$ . Что можно сказать про монотонность функции $f (x)$ ?

Ответы

Упражнение

1) $[- 1; 2]$ – промежуток возрастания, $(- \infty; - 1] \cup [2; + \infty)$ – промежутки убывания;

2) $[0; \frac{1}{4}]$ – промежуток возрастания, $[\frac{1}{4}; \frac{1}{2}]$ – промежуток убывания.

Конспект урока: Возрастание и убывание функции

Производная