Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Возрастание и убывание функции

Производная

Возрастание и убывание функции

План урока

  • Применение производной для нахождения промежутков монотонности функций
  • Теорема Лагранжа
  • Достаточное условие возрастания (убывания) функции

Цели урока

  • Знать понятия «промежутки монотонности функции»
  • Знать достаточный признак возрастания (убывания) функции, теорему Лагранжа
  • Уметь применять производную для нахождения промежутков монотонности функции

Разминка

Рис. 1. а) y=f(x) б) y=g(x) Рис. 1. а) y=f(x) б) y=g(x)

  1. Определение возрастающей функции на промежутке. Определение убывающей функции на промежутке.
  2. По рисунку 1 определите промежутки возрастания и убывания каждой из функций y=f(x)y=g(x).
  3. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)=x3-8 в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.
  4. Назовите знак тангенса острого угла, тупого угла.

Для изучения различных свойств функции, таких как промежутки возрастания и убывания, наибольшие и наименьшие значения, выпуклости и вогнутости применяют производные. 

Рассмотрим ее применение при нахождении промежутков возрастания и убывания функции.

Рис. 2. 1 случай Рис. 2. 1 случай

Пусть дана функция f(x), определенная на некотором промежутке x1;x2. Рассмотрим два случая.

 

1 случай. Значения производной функции f(x) положительные на некотором промежутке, т.е. f'(x)>0. Так как производная функции – тангенс угла наклона касательной к этой функции к положительному направлению оси Ox, то в данном случае tg α>0, и, значит, касательная образует острый угол с осью Ox (Рис. 2). Отсюда, график функции на этом промежутке «идет вверх», т.е. функция f(x) возрастает на нем.

Рис. 3. 2 случай Рис. 3. 2 случай

2 случай. Значения производной функции f(x) отрицательные на некотором промежутке, т.е. f'(x)<0. Тогда tg α<0, и, значит касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ox (Рис. 3). Отсюда, график функции на этом промежутке «идет вниз», т.е. функция f(x) убывает на нем.

 

Из рассмотренных двух случаем сделаем вывод.


Если f'(x)>0 на некотором промежутке, то функция f(x)  возрастает на этом промежутке.

 

Если f'(x)<0 на некотором промежутке, то функция f(x)  убывает на этом промежутке.


Теорема Лагранжа

 

Перед тем как мы сформулируем и докажем достаточное условие возрастания (убывания) функции, сформулируем вспомогательное утверждение, называемое теоремой Лагранжа.


Теорема Лагранжа

 

Если функция  непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то в этом интервале существует точка c такая, что 

 

                           f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)                                (1)


Рис. 4. Геометрический смысл теоремы Лагранжа Рис. 4. Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Доказательство этой формулы приводится в курсе высшей математики. В чем же ее геометрический смысл?

Пусть на графике функции y=f(x) взяты точки A(a; f(a)) и B(b; f(b)). Проведем через них секущую l, ее угловой коэффициент равен f(b)-f(a)b-a

Выразим из формулы (1) f'(c), получим f'(c)=f(b)-f(a)b-a. Видим, что угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке C(c; f(c)) равен угловому коэффициенту секущей l, т.е. на промежутке (a;b) найдется такая точка c, что в точке графика с этой абсциссой касательная к графику функции y=f(x) будет параллельна секущей.

 

Достаточное условие возрастания (убывания) функции


Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f'(x)>0 (f'(x)<0) для всех x(a;b), то функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).


Доказательство

 

Докажем эту теорему для условия возрастания функции.

Возьмем две произвольные точки x1 и x2 из интервала (a;b), такие, что x1<x2 и применим теорему Лагранжа к отрезку x1;x2:

 

fx2-fx1=f'(c)x2-x1где cx1;x2.

По условию f'(c)>0 и т.к. x1<x2, то x2-x1>0, тогда fx2-fx1>0fx2>fx1, что в свою очередь и означает, что функция f(x) возрастает на (a;b), что и требовалось доказать.

 

Доказательство условия убывания функции проводится аналогично.


Таким же способом можно доказать, что если функция f(x) непрерывна на отрезке  и f'(x)>0 (f'(x)<0) на интервале (a;b), то она возрастает (убывает) на отрезке [a;b].


Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности этой функции .


Пример 1

Найти промежутки возрастания и убывания функции

  1. f(x)=x3-3x;
  2. f(x)=2x-1.


Решение

Рис. 5. Знаки производной функции f(x)=x<sup>3</sup>-3x Рис. 5. Знаки производной функции f(x)=x3-3x

1. Найдем производную данной функции

 

f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1).

 

С помощью метода интервалов определим промежутки, где f'(x) положительна и где отрицательна (рис.5). Получили, что f'(x)>0 при x(-;-1)(1;+) и f'(x)<0 при x(-1;1), тогда функция возрастает при x<-1x>1 и убывает при -1<x<1. Так как функция f(x) дифференцируема на всей числовой прямой, то она непрерывна на множестве R действительных чисел, тогда функция возрастает при x-1x1 и убывает при -1x1

 

2. Область определения данной функции x12.

 

f'(x)=12x-1На области определения функции ее производная принимает только положительные значения, тогда функция возрастает на промежутке 12;+. Заметим, что функция f(x)=2x-1 возрастает не только на промежутке 12;+, но и на промежутке [12; +).

 

Ответ: 1) (-;-1][1;+) – промежутки возрастания функции; [-1;1] – промежуток убывания функции.

             2) [12;+) – промежуток возрастания функции.


Пример 2

Доказать, что функция f(x)=x2+16x возрастает на промежутке (2;+) и убывает на промежутках (-;0)(0;2).


Решение

Рис. 6. Знаки производной функции Рис. 6. Знаки производной функции

Найдем производную данной функции  

 

f'(x)=2x-16x2=2x-8x2=2x3-8x2=

=2x-2x2+2x+4x2

 

Применив метод интервалов (рис. 6), видим, что при x>2 f'(x)>0, при x(-;0)(0;2)  f'(x)<0. Тогда функция f(x) возрастает при x>2  и убывает при x(-;0)(0;2), что и требовалось доказать.


Упражнение  

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции

 

1) f(x)=4+12x+3x2-2x3;

2) f(x)=x-2x2.

 

2. Доказать, что функция f(x)=x2-2x убывает на промежутке (-;-1) и возрастает на промежутках (-1;0)(0;+).


Контрольные вопросы

 

  1. Сформулируйте достаточное условие возрастания функции на отрезке M.
  2. Сформулируйте достаточное условие убывания функции на отрезке M.
  3. Для функции f(x)  на промежутке M выполняется неравенство f'(x)>0. Что можно сказать про монотонность функции f(x) ?
  4. Для функции f(x)  на промежутке M выполняется неравенство f'(x)<0. Что можно сказать про монотонность функции f(x) ?


Ответы

Упражнение 

 

1) [-1;2] – промежуток возрастания, (-;-1][2;+)  – промежутки убывания; 

2)0;14 – промежуток возрастания, 14;12 – промежуток убывания.  

Геометрический смысл производной

Производная
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История