Конспект урока: Наибольшее и наименьшее значения функции

Свойства функции, непрерывной на отрезке

Рис. 1.

На практике довольно часто приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения функции. Такие задачи решаются тогда, когда выясняют как минимизировать издержки, увеличить прибыль, оптимизировать производство и т.д., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение некоторого параметра. Решить задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции можно с помощью производной.

 

Чтобы понять как это сделать, проанализируем графики на рисунке 1 и сформулируем некоторые свойства функции, непрерывной на отрезке. 

Из этих свойств и вытекает способ нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, который мы сформулируем в виде алгоритма.

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y=f\left(x\right)$ на заданном отрезке $[a; b]$

Рассмотрим примеры решения задач на отыскание наименьшего и наибольшего значений функции.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^3-9x^2+24x-1$ на отрезке $[-1; 3]$.

Решение:

Воспользуемся алгоритмом.

1. Найдём производную: 

$y^{\text{'}}=(x^3-9x^2+24x-1{)}^{\text{'}}=3x^2-18x+24$.

2. Производная существует при всех $x$. Найдём точки, в которых производная равна нулю:

$3x^2-18x+24=0$

$D=324-288=36$

$x_1=\frac{18-6}{6}=2$; $x_2=\frac{18+6}{6}=4$.

3. Одна из этих стационарных точек ($x=2$) принадлежит заданному отрезку $[-1; 3]$. Найдём значения функции на концах данного отрезка и в критической точке $x=2$:

$f(-1)=(-1{)}^3-9·{(-1)}^2+24·(-1)-1=-1-9-24-1=-35$ 

$f\left(3\right)=3^3-9·3^2+24·3-1=27-81+72-1=17$ 

$f\left(2\right)=2^3-9·2^2+24·2-1=8-36+48-1=19$ 

Осталось выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Ответ: $y_{наим}=-35$; $y_{наиб}=19$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y=x+\frac{4}{x-1}$ на отрезке $[2; 4]$.

Решение:

1. Найдём производную:

$y^{\text{'}}={\left(x+\frac{4}{x-1}\right)}^{\text{'}}=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x+1-4}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$.

2. Найдём критические точки:

$x^2-2x-3=0$ 

$D=4+12=16$

$x_1=\frac{2-4}{2}=-1$; $x_2=\frac{2+4}{2}=3$.

3. Из найденных точек только $x=3$ принадлежит отрезку $[2; 4]$. Найдём значения функции на концах данного отрезка и в критической точке $x=3$:

$f\left(2\right)=2+\frac{4}{2-1}=6$ 

$f\left(4\right)=4+\frac{4}{4-1}=5 \frac{1}{3}$ 

$f\left(3\right)=3+\frac{4}{3-1}=5$

Ответ: $y_{наим}=5$; $y_{наиб}=6$.

Вокруг прямоугольного поля площадью $S$, равной $400$ га должны быть посажены со всех сторон деревья в виде полосы шириной $l$, равной $10$ м. Каковы должны быть линейные размеры поля, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наименьшей?

Решение

Рис. 2. Прямоугольное поле

Обозначим одну из сторон прямоугольного поля переменной $x$ (рис. 2). 

Площадь этого поля $S=400 га=4000000 {м}^2$.

 

Значит, другая сторона поля равна $\frac{4000000}{x} м$.

 

Введём функцию $f\left(x\right)$, значение которой равно площади полосы деревьев вокруг поля.

 

$f\left(x\right)=(x+20)·\left(\frac{4000000}{x}+20\right)-4000000$.

 

После преобразований получим $f\left(x\right)=20x+\frac{80000000}{x}+400$.

 

Найдём производную этой функции

 

 $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(20x+\frac{80000000}{x}+400\right)}^{\text{'}}=20-\frac{80000000}{x^2}$.

 

Найдём стационарные точки.

 

$20-\frac{80000000}{x^2}=0\Rightarrow x=2000$ (учитывая, что $x>0$).

Рис. 3.

Данная точка является единственной точкой минимума (рис. 3). Поэтому в ней функция $f\left(x\right)$ будет принимать наименьшее значение. Таким образом, одна из сторон поля равна 2000 м. Тогда и другая сторона равна $\frac{4000000}{2000}=2000 м$.

 

Ответ: Поле должно иметь форму квадрата со стороной 2 км.

Иногда наибольшее и наименьшее значения функции нужно находить не на отрезке, а не интервале. Часто встречаются задачи, в которых функция $f\left(x\right)$ имеет только одну стационарную точку на заданном интервале: точку максимума или точку минимума. Тогда в точке максимума функция $f\left(x\right)$ принимает свое наибольшее значение на интервале, а в точке минимума – наименьшее значение.

Также при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции можно использовать следующее утверждение:

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=2x^3+9x^2-24x+1$ на отрезке $[-2; 1]$.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=x^2·\sqrt{3-x}$ на отрезке $[1; 3]$.
3. Площадь, занимаемая печатным текстом, составляет на странице книги 363 см². Ширина полей вверху и внизу страницы составляет по 2 см, а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть размеры каждой страницы, чтобы площадь её была наименьшей?