- Схема исследования и построения графиков функций;
- Особенности исследования и построения графиков чётных и нечётных функций.
- Знать общую схему исследования функции с помощью производной;
- Уметь применять производную при исследовании функции.
![](/upload/zX1kM6fzFlwy_153%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252011.%2520%25D0%259F%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25BC%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B8%25D0%25B7%25D0%25B2%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25BA%2520%25D0%25BF%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D1%258E%2520%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D1%2584%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25B2%2520%25D1%2584%25D1%2583%25D0%25BD%25D0%25BA%25D1%2586%25D0%25B8%25D0%25B9.png)
- Какой знак имеет производная функции на промежутке возрастания (убывания)?
- Чему равна производная дифференцируемой функции в точке экстремума?
- На рисунке 1 изображен график функции , определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции .
Схема исследования и построения графиков функций
С помощью понятия производной мы можем определить промежутки возрастания и убывания функции, найти критические точки, а также точки максимума и минимума функции. Всё это даёт возможность применять производную при построении графиков функций. Перед построением графика функции проводится её исследование и часть сведений об исследуемой функции получают с помощью производной. Однако, помимо этих данных, для более точного построения графиков функции нам необходимы еще некоторые сведения. Приведем схему исследования функций, которой и будем пользоваться в дальнейшем.
Схема исследования функции
- Найти область определения функции.
- Найти производную функции.
- Найти стационарные точки.
- Найти промежутки возрастания и убывания функции.
- Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы.
Кроме того, желательно найти точки пересечения с осями координат. Для более точного построения графика функции можно найти ещё несколько точек.
Пример 1
Построить график функции .
Решение
1. Найдём область определения функции: .
2. Найдём производную функции: .
3. Найдём критические точки: .
![](/upload/IDGc00YZDasa_155%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252011.%2520%25D0%259F%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25BC%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B8%25D0%25B7%25D0%25B2%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25BA%2520%25D0%25BF%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D1%258E%2520%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D1%2584%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25B2%2520%25D1%2584%25D1%2583%25D0%25BD%25D0%25BA%25D1%2586%25D0%25B8%25D0%25B9.png)
4. Найдём промежутки возрастания и убывания (рис. 2):
функция возрастает на интервалах и .
функция убывает на интервале .
5. Найдём точки экстремума и значения функции в этих точках (рис. 2):
- точка максимума,
.
- точка минимума,
Представим результаты исследования в виде таблицы:
x
|
|
|
|
1
|
|
f '(x)
|
|
0
|
|
0
|
|
f(x)
|
|
|
|
-3
|
|
Найдём точки пересечения с осями координат:
(0;0) - точка пересечения с осью ;
- абсциссы точек пересечения с осью .
Таким образом, график функции пересекает координатные оси в точках и .
![](/upload/tGxOtDvWxbDt_154%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252011.%2520%25D0%259F%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25BC%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B8%25D0%25B7%25D0%25B2%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25BA%2520%25D0%25BF%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D1%258E%2520%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D1%2584%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25B2%2520%25D1%2584%25D1%2583%25D0%25BD%25D0%25BA%25D1%2586%25D0%25B8%25D0%25B9.png)
Построим график функции (рис. 3).
Особенности исследования и построения графиков чётных и нечётных функций
Для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график для , а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).
Пример 2
Построить график функции .
Решение
1. Найдём область определения функции:
2. Исследуем функцию на чётность, нечётность
данная функция является чётной. Таким образом, исследовать функцию и строить график будем сначала при .
3. Найдём производную функции: .
4. Найдём стационарные точки на промежутке :
![](/upload/No4ogHdO046S_156%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252011.%2520%25D0%259F%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25BC%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B8%25D0%25B7%25D0%25B2%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25BA%2520%25D0%25BF%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D1%258E%2520%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D1%2584%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25B2%2520%25D1%2584%25D1%2583%25D0%25BD%25D0%25BA%25D1%2586%25D0%25B8%25D0%25B9.png)
5. Найдём промежутки возрастания и убывания (рис. 4):
Функция возрастает на интервале .
Функция убывает на интервале .
6. Найдём точки экстремума и значения функции в них:
;
точка максимума, .
Представим результаты исследования в виде таблицы:
x
|
0
|
|
|
|
f '(x)
|
0
|
+
|
0
|
-
|
f(x)
|
-4
|
|
2,25
|
|
Найдём точки пересечения с осями координат на промежутке :
Если , то – точка пересечения с осью .
Если , то
– точки пересечения с осью .
![](/upload/ohnv7EN9Xlp4_%25D1%2581%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%25D0%25B0%2520152-01.jpg)
Используя результаты исследования, строим график функции при . График этой функции при строим с помощью симметрии относительно оси (рис. 5).
Упражнение
1. Постройте графики функций:
а) ; б) ; в) .
![](/upload/W8tCA50u2xnJ_157%2520%25D0%25A3%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25BA%252011.%2520%25D0%259F%25D1%2580%25D0%25B8%25D0%25BC%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D0%25B5%2520%25D0%25BF%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B8%25D0%25B7%25D0%25B2%25D0%25BE%25D0%25B4%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25B9%2520%25D0%25BA%2520%25D0%25BF%25D0%25BE%25D1%2581%25D1%2582%25D1%2580%25D0%25BE%25D0%25B5%25D0%25BD%25D0%25B8%25D1%258E%2520%25D0%25B3%25D1%2580%25D0%25B0%25D1%2584%25D0%25B8%25D0%25BA%25D0%25BE%25D0%25B2%2520%25D1%2584%25D1%2583%25D0%25BD%25D0%25BA%25D1%2586%25D0%25B8%25D0%25B9.png)
2. На рисунке 6 изображен график функции , определенной на интервале . Найдите:
а) промежутки, в которых производная функции меньше нуля;
б) промежутки, в которых производная функции больше нуля;
в) точки в которых производная равна нулю.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте основные пункты исследования функции.
2. Каковы особенности исследования и построения графиков чётных и нечётных функций?
Упражнение
2. а) ;
б) ;
в) -2; -1; 1; 4; 6.