Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Экстремумы функции

План урока

Точки экстремума функции
Стационарные и критические точки
Достаточные условия точек экстремума

Цели урока

Знать определения точки максимума, точки минимума, точки экстремума функции
Знать определения стационарных и критических точек.
Знать достаточные условия точек экстремума
Уметь находить точки максимума, минимума, точки экстремума функции

Разминка

Рис. 1.

В чём состоит геометрический смысл производной?
Сформулируйте теорему о достаточном условии возрастания функции на промежутке.
Сформулируйте теорему о достаточном условии убывания функции на промежутке.
На рисунке 1 изображён график функции $y = f (x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_{0}$ . Найдите значение производной функции $f (x)$ в точке $x_{0}$ .

Точки экстремума функции

Точку $x_{0}$ называют точкой минимума функции $f (x)$ , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки $x_{0}$ ) выполняется неравенство $f (x) > f (x_{0})$ .

Рис. 2. x₀ – точка минимума функции y=f(x)

На рисунке 2 вы можете видеть, что в выделенной окрестности точки $x_{0}$ выполняется неравенство $f (x) > f (x_{0})$ для всех $x \neq x_{0}$ . Это означает, что точка $x_{0}$ является точкой минимума функции.

Точку $x_{0}$ называют точкой максимума функции $f (x)$ , если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки $x_{0}$ ) выполняется неравенство $f (x) < f (x_{0})$ .

Рис. 3. x₀ – точка максимума функции y=f(x)

На рисунке 3 вы можете видеть, что в выделенной окрестности точки $x_{0}$ выполняется неравенство $f (x) < f (x_{0})$ для всех $x \neq x_{0}$ . Это означает, что точка $x_{0}$ является точкой максимума функции.

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Рис. 4. Точки экстремума функции y=f(x)

На рисунке 4 точка $x_{1}$ является точкой минимума, а $x_{2}$ – точкой максимума функции $y = f (x)$ . Поэтому обе эти точки являются точками экстремума.

Стационарные и критические точки

Рис. 5.

Проанализируем графические модели, представленные на рисунках 5а и 5б.

Для функции, график которой изображён на рисунке 5а, в обеих точках экстремума производная равна нулю (касательные параллельны оси $O x$ ). А для функции, график которой представлен на рисунке 5б, в обеих точках производная не существует (не существует касательных в этих точках). Данный пример говорит о том, что если функция $f (x)$ имеет экстремум в точке $x_{0}$ , то в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками этой функции.

Точки, в которых производная функции равна нулю, или функция не имеет производную, но при этом непрерывна, называются критическими точками этой функции.

Достаточные условия точек экстремума

Из определений следует, что множество стационарных точек является подмножеством множества критических точек функции. Также можно сделать вывод, что для того, чтобы точка $x_{0}$ была точкой экстремума функции $f (x)$ , необходимо, чтобы эта точка являлась критической точкой этой функции.

Сформулируем достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка есть точка максимума или минимума функции.

Теорема (достаточные условия точек экстремума)

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале $(a; b), x_{0} \in (a; b), f^{'} (x_{0}) = 0$ . Тогда:

а) если при переходе через стационарную точку $x_{0}$ функции $f (x)$ ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. $f^{'} (x) > 0$ слева от точки $x_{0}$ и $f^{'} (x) < 0$ справа от точки $x_{0}$ , то $x_{0}$ – точка максимума функции $f (x)$ ;

б) если при переходе через стационарную точку $x_{0}$ функции $f (x)$ ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то $x_{0}$ – точка минимума функции $f (x)$ .

Пример 1

Найдите точки экстремума функции $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 13$ .

Найдём производную данной функции:

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - 16 x$ .

Найдём стационарные точки

$4 x^{3} - 12 x^{2} - 16 x = 0$

$4 x (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

$x_{1} = 0; x_{2} = - 1; x_{3} = 4$

Рис. 6.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки производной на промежутках (рис. 6).

Согласно достаточным условиям точек экстремума функции, все найденные стационарные точки являются точками экстремума.

При этом $x = - 1$ и $x = 4$ – точки минимума, а $x = 0$ – точка максимума.

Ответ: $x = - 1$ и $x = 4$ – точки минимума, $x = 0$ – точка максимума.

Пример 2

Найдите точки экстремума функции $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2} - 11$ .

Решение:

Найдём производную данной функции:

$f^{'} (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x$ .

Найдём стационарные точки

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 0$

$12 x (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

$12 x (x - 2)^{2} = 0$

$x_{1} = 0; x_{2} = 2$

Рис. 7.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки производной на промежутках (рис. 7).

Согласно достаточным условиям точек экстремума функции, только $x = 0$ – точка экстремума, является при этом точкой минимума.

Стационарная точка $x = 2$ не является точкой экстремума, т.к. и слева, и справа от нее знаки производной одинаковы.

Ответ: $x = 0$ – точка минимума.

Упражнение 1

Рис. 8.

1. Найдите точки экстремума функции:

а) $y = x^{4} - 50 x^{2} + 3$ ;

б) $y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 7$ .

2. На рисунке 8 изображён график $y = f^{'} (x)$ производной функции $f (x)$ , определённой на интервале (1;10). Найдите точки экстремума функции.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определения следующих понятий: точки минимума, точки максимума, точки экстремума, критические точки, стационарные точки.

2. Сформулируйте достаточные условия точек экстремума.

3. Может ли точка экстремума не являться критической точкой?

4. Приведите пример, когда точка экстремума не является стационарной точкой.

Ответы

Упражнение 1

1. а) x=-5, x=5 – точки минимума; x=0 – точка максимума;

б) x=0 – точка минимума.

2. x=6 – точка максимума; x=9 – точка минимума.

Конспект урока: Экстремумы функции

Производная

Точки экстремума функции