Конспект урока: Производная

Задача, приводящая к понятию производной

Рис. 1. Положение материальной точки А в моменты времени t, t+h

Пусть по прямой, на которой указаны начало отсчета $\left(O\right)$, единичный отрезок (в метрах) и направление, движется материальная точка по закону движения $s=s\left(t\right)$, где $t$ — время в секундах, $s\left(t\right)$ — положение материальной точки в момент времени $t$. Найти скорость движения точки в момент времени $t$.

 

Решим эту задачу следующим образом.

 

Пусть в момент времени $t$ материальная точка окажется в точке $A$ (рис. 1): $OA=s\left(t\right)$. Если дать $t$ приращение $h$, то в момент времени $t+h$ точка будет находиться в другом месте, в точке $P$: $OP=s(t+h)$. Значит, $AP=OP-OA=s(t+h)-s\left(t\right)$.

 

Средняя скорость движения за промежуток времени от $t$ до $t+h$ определяется по формуле:

 

${\vartheta }_{ср}=\frac{s(t+h)-s\left(t\right)}{h}$.

Если рассматриваемое движение не является равномерным, то ${\vartheta }_{ср}$ будет меняться в зависимости от $h$ (при фиксированном $t$), и чем меньше будет $h$, тем точнее ${\vartheta }_{ср}$будет характеризовать движение точки в момент времени $t$. Это и будет мгновенная скорость $\vartheta \left(t\right)$ (скорость точки в момент времени $t$).

$\vartheta \left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{s(t+h)-s\left(t\right)}{h}$.

Пусть функция $f\left(x\right)$ определена на некотором промежутке, $x$ — точка этого промежутка, число $h\ne 0$, причем $x+h$ тоже лежит в этом промежутке. 

Используя определение производной, найти производную функции  $f\left(x\right)=x^3$.

Решение

Составим разность для заданной функции    

$f(x+h)-f\left(x\right)={(x+h)}^3-x^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-x^3=$

$=h(3x^2+3xh+h^2)$.

Разностное отношение

$\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{h}=3x^2+3xh+h^2$.

Если $h\to 0$, то $3x^2+3xh+h^2\to 3x^2$. 

Значит, $f$'$\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=3x^2$.

Ответ: $3x^2$.

Используя определение производной, найти производную функции $f\left(x\right)=x^2-3x$.

Решение

Составим разностное отношение

 $\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=\frac{{(x+h)}^2-3(x+h)-x^2+3x}{h}=\frac{x^2+2xh+h^2-3x-3h-x^2+3x}{h}=$

$=\frac{2xh+h^2-3h}{h}=\frac{h(2x+h-3)}{h}=2x+h-3$.

Если $h\to 0$, то $2x+h-3\to 2x-3$. 

Значит,  $f$'$\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=2x-3$. 

Ответ: $2x-3$.

Найти производную линейной функции $f\left(x\right)=kx+b$.

Решение

$\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=\frac{k(x+h)+b-kx-b}{h}=\frac{kh}{h}=k$. 

Получили, что разностное отношение при любом $h$ равно $k$, тогда и его предел при $h\to 0$ тоже равен $k$.

Ответ: $k$.

1. Для заданной функции $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}-\sin 2x$ найти $f(x+h)$.

2. C помощью определения производной найти производную функций:

    а) $f\left(x\right)=6x^2-5x$;

    б)$f\left(x\right)=13x+4$.

3. Найти $f\text{'}\left(x\right)$, используя формулу производной линейной функции:

    а) $f\left(x\right)=0,3x+15$;

    б) $f\left(x\right)=13-x\sqrt{7}$.

Материальная точка движется по закону $s\left(t\right)=t^2+t$. Найти

1. среднюю скорость движения точки за промежуток времени от $t=2$ до $t+h=6$;

2. мгновенную скорость движения;

3. скорость движения в момент времени $t=7$.

Решение

1. Средняя скорость за промежуток времени от $t$ до $t+h$ находится по формуле

${\vartheta }_{ср}=\frac{s(t+h)-s\left(t\right)}{h}$.                       (1)

По условию, $s\left(t\right)=t^2+t$, $t=2$, $t+h=6$, откуда 

$h=6-t=6-2=4$,

$s\left(2\right)=2^2+2=6$

$s\left(6\right)=6^2+6=42$.

По формуле (1) получим ${\vartheta }_{ср}=\frac{42-6}{4}=9$.

2. Мгновенная скорость движения в момент времени $t$ находится по формуле   

$\vartheta \left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{s(t+h)-s\left(t\right)}{h}$                         (2)

Так как $s\left(t\right)=t^2+t$, то $s(t+h)={(t+h)}^2+(t+h)=t^2+2th+h^2+t+h$. По формуле (2) получим   

 $\vartheta \left(t\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{t^2+2th+h^2+t+h-t^2-t}{h}=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{2th+h^2+h}{h}=\underset{h\to 0}{\lim } (2t+h+1)=2t+1$.

3. Так как $\vartheta \left(t\right)=2t+1$, то $\vartheta \left(7\right)=2·7+1=15$.

Ответ: 1) $9$; 

              2) $2t+1$; 

              3) $15$.

Точка движется по закону $s\left(t\right)=\frac{t^4}{4}$. Найти мгновенную скорость движения и скорость движения в момент времени $t=6$.

Понятие предела функции связано с понятием непрерывности функции. Функция будет непрерывной на некотором промежутке, если ее график представляет собой непрерывную линию, то есть при его построении карандаш от листа бумаги не отрывали. Все элементарные функции (линейная, квадратичная, логарифмическая, показательная и др.) являются непрерывными на том промежутке, на котором они определены. Более строгое определение такое:

Рис. 2. Пример функции, не являющейся непрерывной
на (a; c)

Например, функция $f\left(x\right)$ (Рис. 2) непрерывна на $\left[a; b\right]$, но не является непрерывной на $\left[a; c\right]$.

 

Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то она непрерывна на нем. Обратное утверждение неверно, функция может быть непрерывной на промежутке, но при этом, в некоторых точках промежутка не иметь производной.

 

Действительно, функция 

 

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x·\sin \left(\frac{1}{x}\right), x\ne 0\\ 0, x=0\end{array}\right.$ 

 

всюду непрерывна, но не имеет производной в $0$. При $x\ne 0$ $f\left(x\right)$ непрерывна как элементарная функция, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$, так как является произведением бесконечно малой $x$ и ограниченной $\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ функций. 

 

$f$'$\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{x \sin \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}{x}=\underset{h\to 0}{\lim } \sin \left(\frac{1}{x}\right)$, а он не существует.