Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Производная

Производная

Производная

План урока

  • Определение мгновенной скорости;
  • Определение производной в точке;
  • Дифференцируемость в точке и на промежутке;
  • Непрерывность в точке и на промежутке.

Цели урока

  • Знать, что такое мгновенная скорость;
  • Знать определения разностного отношения, производной функции в точке, дифференцируемости в точке и на промежутке, дифференцирования, непрерывности функции в точке и на промежутке;
  • Уметь находить скорость в момент времени, за промежуток времени и мгновенную скорость;
  • Уметь находить производные функции, используя определение.

Разминка

  1. Определение средней скорости движения тела.
  2. Выразить приращение функции в точке через x0 и x, если:
    1) f(x)=4x2-5x;
    2) f(x)=4 sin 2x.
  3. Вычислить limx2 x+24-x2.

Задача, приводящая к понятию производной

Рис. 1. Положение материальной точки А в моменты времени t, t+h Рис. 1. Положение материальной точки А в моменты времени t, t+h

Пусть по прямой, на которой указаны начало отсчета (O), единичный отрезок (в метрах) и направление, движется материальная точка по закону движения s=s(t), где t — время в секундах, s(t) — положение материальной точки в момент времени t. Найти скорость движения точки в момент времени t.

 

Решим эту задачу следующим образом.

 

Пусть в момент времени t материальная точка окажется в точке A (рис. 1): OA=s(t). Если дать t приращение h, то в момент времени t+h точка будет находиться в другом месте, в точке POP=s(t+h). Значит, AP=OP-OA=s(t+h)-s(t).

 

Средняя скорость движения за промежуток времени от t до t+h определяется по формуле:

 

ϑср=s(t+h)-s(t)h.

Если рассматриваемое движение не является равномерным, то ϑср будет меняться в зависимости от h (при фиксированном t), и чем меньше будет h, тем точнее ϑсрбудет характеризовать движение точки в момент времени t. Это и будет мгновенная скорость ϑ(t) (скорость точки в момент времени t) .

 

ϑ(t)=limh0 s(t+h)-s(t)h.


Отношение s(t+h)-s(t)h называют разностным отношением , а его предел при h0  производной функции s(t) и обозначают s'(t).


Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, x — точка этого промежутка, число h0, причем x+h тоже лежит в этом промежутке. 


Производная функции f(x) в точке x обозначается f'(x) и определяется формулой

 

f'x=limh0 f(x+h)-f(x)h.


Если функция f(x) имеет в точке x0 производную, то она называется дифференцируемой в точке x0 .


Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то она называется дифференцируемой на этом промежутке .


Операция нахождения производной называется дифференцированием .


Пример 1

Используя определение производной, найти производную функции  f(x)=x3.


Решение

 

Составим разность для заданной функции    

                                           

f(x+h)-f(x)=(x+h)3-x3=x3+3x2h+3xh2+h3-x3=

 

=h(3x2+3xh+h2).

 

Разностное отношение

 

f(x+h)-f(x)h=h(3x2+3xh+h2)h=3x2+3xh+h2.

 

Если h0, то 3x2+3xh+h23x2

 

Значит, f'x=limh0 f(x+h)-f(x)h=3x2.

 

Ответ: 3x2.


Пример 2

Используя определение производной, найти производную функции f(x)=x2-3x.


Решение

 

Составим разностное отношение

 

 f(x+h)-f(x)h=(x+h)2-3(x+h)-x2+3xh=x2+2xh+h2-3x-3h-x2+3xh=

 

=2xh+h2-3hh=h(2x+h-3)h=2x+h-3.

 

Если h0, то 2x+h-32x-3

 

Значит,  f'x=limh0 f(x+h)-f(x)h=2x-3

 

Ответ: 2x-3.


Пример 3

Найти производную линейной функции f(x)=kx+b.


Решение

 

f(x+h)-f(x)h=k(x+h)+b-kx-bh=khh=k

 

Получили, что разностное отношение при любом h равно k, тогда и его предел при h0 тоже равен k.

 

Ответ: k.


Производная линейной функции равна ее угловому коэффициенту

 

(kx+b)'=k

 

Производная постоянной равна нулю

 

(C)'=0


Упражнение 1

1. Для заданной функции f(x)=x33-sin 2x найти f(x+h).

2. C помощью определения производной найти производную функций:

    а) f(x)=6x2-5x;

    б)f(x)=13x+4.

3. Найти f'(x), используя формулу производной линейной функции:

    а) f(x)=0,3x+15;

    б) f(x)=13-x7.


Пример 4

Материальная точка движется по закону s(t)=t2+t. Найти

1. среднюю скорость движения точки за промежуток времени от t=2 до t+h=6;

2. мгновенную скорость движения;

3. скорость движения в момент времени t=7.


Решение

 

1. Средняя скорость за промежуток времени от t до t+h находится по формуле

 

ϑср=s(t+h)-s(t)h.                       (1)

 

По условию, s(t)=t2+tt=2t+h=6, откуда 

 

h=6-t=6-2=4,

 

s(2)=22+2=6

 

s(6)=62+6=42.

 

По формуле (1) получим ϑср=42-64=9.

 

2. Мгновенная скорость движения в момент времени t находится по формуле   

 

ϑ(t)=limh0 s(t+h)-s(t)h                         (2)

 

Так как s(t)=t2+t, то s(t+h)=(t+h)2+(t+h)=t2+2th+h2+t+h. По формуле (2) получим   

              

 ϑ(t)=limh0 t2+2th+h2+t+h-t2-th=limh0 2th+h2+hh=limh0 (2t+h+1)=2t+1.

 

3. Так как ϑ(t)=2t+1, то ϑ(7)=2×7+1=15.

 

Ответ: 1) 9

              2) 2t+1

              3) 15.


Упражнение 2

Точка движется по закону s(t)=t44. Найти мгновенную скорость движения и скорость движения в момент времени t=6.


Понятие предела функции связано с понятием непрерывности функции. Функция будет непрерывной на некотором промежутке, если ее график представляет собой непрерывную линию, то есть при его построении карандаш от листа бумаги не отрывали. Все элементарные функции (линейная, квадратичная, логарифмическая, показательная и др.) являются непрерывными на том промежутке, на котором они определены. Более строгое определение такое:


Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 , если limxx0f(x)=f(x0).


Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то ее называют непрерывной на этом промежутке .


Рис. 2. Пример функции, не являющейся непрерывной<br>на (a; c) Рис. 2. Пример функции, не являющейся непрерывной
на (a; c)

Например, функция f(x) (Рис. 2) непрерывна на a; b, но не является непрерывной на a; c.

 

Если функция дифференцируема на некотором промежутке, то она непрерывна на нем. Обратное утверждение неверно, функция может быть непрерывной на промежутке, но при этом, в некоторых точках промежутка не иметь производной.

 

Действительно, функция 

 

fx=x×sin (1x), x00, x=0 

 

всюду непрерывна, но не имеет производной в 0. При x0 f(x) непрерывна как элементарная функция, limx0f(x)=0, так как является произведением бесконечно малой x и ограниченной sin (1x) функций. 

 

f'x=limh0 f(x)-f(0)x-0=limh0 x sin (1x)x=limh0 sin1x, а он не существует.


Контрольные вопросы

 

1. Какую функцию называют дифференцируемой в точке?

2. Как найти среднюю скорость движения материальной точки за промежуток времени t; t+h, если известен закон движения s=s(t)?

3. Что понимают под мгновенной скоростью движения материальной точки в момент времени t?

4. Какая последовательность действий, если нужно вычислить f'x для заданной функции f(x)?


Ответы

Упражнение 1

 

1. (x+h)33-sin 2x+h

2. а)12x-5;          б) 13

3. а) 0,3;                  б) -7.

 

 

Упражнение 2

 

ϑ(t)=t3;            ϑ(6)=216.


Наибольшее и наименьшее значения функции

Производная
  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История