Конспект урока: Случайные величины. Центральные тенденции. Меры разброса

Случайные величины

Рассмотрим следующие величины:

1. годовой удой коровы в литрах;
2. число яиц, полученных от одной несушки за год;
3. количество осадков, выпавших в некоторой местности в июле.

Что объединяет эти величины? Существует ли строгая закономерность, которой они подчинены? Можно ли заранее, до выполнения измерений или счёта, указать, какое значение примет та или иная величина?

Если для каждой величины измерение или счёт повторять многократно в практически одинаковых условиях, то обнаружится, что всякий раз получаются несколько отличные результаты. Причём нельзя заранее точно установить какой результат будет получен в очередной раз. В таких случаях говорят о случайном характере результатов. Сами же такие величины называют случайными.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, причём заранее неизвестно какое именно.

Случайная величина связана со случайным событием. Если случайное событие – это качественная характеристика испытания, то случайная величина – его количественная характеристика.

В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 100 руб., четыре – по 50 руб., пять – по 40 руб. и десять – по 10 руб. Построить ряд распределений стоимости выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение

Случайная величина Х (стоимость возможного выигрыша)

может принять следующие значения: $x_1=0; x_2=10; x_3=40; x_4=50; x_5=100.$

Вычислим вероятности $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ этих значений соответственно.

Количество выигрышных билетов равно 1+4+5+10=20.

Количество билетов без выигрыша равно 1000 – 20 =980.

$P_1=\frac{980}{1000}=0,98$; $P_2=\frac{10}{1000}=0,01$; $P_3=\frac{5}{1000}=0,005$; $P_4=\frac{4}{1000}=0,004$; $P_5=\frac{1}{1000}=0,001$.

Полученные результаты представим в табличном виде.

Заметим, что сумма вероятностей  $P_i$ равна 1.

$\sum P_i=0,98+0,01+0,005+0,004+0,001=1$. Это объясняется тем, что представлены все возможные исходы испытания. В таких случаях говорят, что представленные события образуют полную группу.

Законом распределения случайной величины называется соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Таблица, составленная к рассмотренному примеру, является простейшей формой закона распределения случайной величины.

На практике после проведения реальных испытаний составляют таблицы распределения случайной величины по частотам, а для большей наглядности распределение данных представляют в виде полигона абсолютных или относительных частот.

Даны результаты серии экспериментов по одновременному подбрасыванию десяти монет. В каждом экспериментов подсчитывалось количество монет, выпавших на «орла». Результаты представлены следующим числовым рядом:

5; 4; 5; 6; 2; 6; 8; 6; 3; 4; 5; 8; 5; 2; 5; 2; 5; 7; 3; 3; 5; 4; 5; 5; 6; 5; 6; 7; 5; 3; 5; 5; 5; 6; 5; 5; 5; 4; 7; 4; 5; 4; 5; 7; 7; 7; 6; 6; 4; 4.

Построить полигоны абсолютных и относительных частот.

Решение

Составим таблицу частот:

Рис. 1.

Полигон частот – кусочно-линейный график, на котором по горизонтальной оси откладывают различные значения случайной величины, а по вертикальной – их частота (абсолютная или относительная). После этого полученные точки соединяют ломаной линией. Отсюда и название: полигон, в переводе с греческого означает многоугольник.

На рисунке 1 показан полигон абсолютных частот, а на рисунке 2 – полигон относительных частот.

Рис. 2.

Если случайная величина может принимать любые значения, то в этом случае применяют другой способ наглядного представления распределения случайной величины. Промежуток значений величины разбивают на равные части и считают частоты или вероятности попадания значений случайной величины в каждую из них. Далее полученные данные представляют в виде ступенчатой диаграммы (гистограммы).

На школьниках 1А класса было проведено исследование для выяснения того, сколько весит портфель первоклассника. В результате взвешиваний был получен следующий ряд значений массы портфеля в кг:

2,1; 2,45; 1,9; 2,6; 3,1; 1,95; 3,4; 4,3; 1,15; 2,7; 2,2; 3,2; 2,4; 2,2; 1,8; 1,5; 2,4; 2,25; 2,6; 1,75.

Построить по этим данными гистограммы частот (абсолютной и относительной).

Решение

Разобьём диапазон от 1 до 5 кг на пять равных интервалов и составим интервальную таблицу частот:

При попадании значения на границу интервалов его относят к одному из них (например, левому), чтобы не считать дважды. Так если бы портфель весил 3 кг, мы включили бы его в интервал от 2 до 3 кг.

Рис. 3.

На рисунке 3 показана гистограмма абсолютных частот.

Рис. 4.

На рисунке 4 показана гистограмма относительных частот.

1. Составить таблицу распределения вероятности $P$ значений случайной величины $X$ – суммарное количество очков, выпавших на двух игральных кубиках. 

2. Построить полигон абсолютных и относительных частот значений случайной величины $X$, распределение которой представлено в таблице:

3. При измерении длины 50 колосьев ячменя получены следующие данные:

Проиллюстрируйте распределение этих данных с помощью гистограмм частот.

2.

3.