Конспект урока: Производные некоторых элементарных функций

Производные некоторых элементарных функций

План урока

Производная показательной функции;
Производная логарифмической функции;
Производные тригонометрических функций;
Применение формул производных элементарных функций и правил дифференцирования при решении задач.

Цели урока

Знать что такое элементарные функции;
Знать формулы производной показательной, логарифмической, тригонометрических функций;
Уметь применять формулы производных элементарных функций и правила дифференцирования при решении задач.

Разминка

Найти производную функций
1) $f (x) = 0, 2 x^{2} + 0, 8$ ;
2) $f (x) = x^{3} (3 - 4 x)$ ;
3) $f (x) = \frac{x^{2} - x^{5}}{2 - x}$ .
Вычислить $f$ ' $(1)$ , если $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \sqrt[3]{x}$ .

Вы уже знакомы со степенной, показательной, логарифмической, тригонометрическими функциями и их комбинациями, все они являются элементарными функциями. Часто на практике требуется находить производные этих функций.

Производная показательной функции

Пусть дана функция $f (x) = a^{x}$ , где $a > 0, a \neq 1$ . Областью определения функции $f (x)$ является вся числовая прямая, в каждой точке которой она имеет производную.

С помощью свойства логарифма выразим $a^{x}$ через $e^{x}$ :

$e^{x \ln a} = {(e^{\ln a})}^{x} = a^{x}$ .

Функция $e^{x}$ обладает замечательным свойством: ее производная также равна $e^{x}$ , т. е. $(e^{x})$ ' $= e^{x}$ .

Найдем производную $e^{k x + b}$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$(e^{k x + b})$ ' $= e^{k x + b} \cdot (k x + b)$ ' $= k e^{k x + b}$ .

А теперь найдем производную показательной функции:

$(a^{x})$ ' $= (e^{x \ln a})$ ' $= e^{x \ln a} \cdot (x \ln a)$ ' $= \ln a \cdot e^{x \ln a} = \ln a \cdot a^{x}$ .

Производная показательной функции

$(a^{x})$ ' $= a^{x} \cdot \ln a$ (1)

Производная функции $y = e^{x}$

$(e^{x})$ ' $= e^{x}$ (2)

Например, $(4^{x})$ ' $= 4^{x} \ln 4$ ; $(0, 5^{x})$ ' $= 0, 5^{x} \ln 0, 5$ .

Производная логарифмической функции

Пусть дана функция $f (x) = \log_{a} x$ , где $a > 0, a \neq 1$ . Областью определения функции $f (x)$ является интервал $(0; + \infty)$ .

С помощью формулы перехода выразим $\log_{a} x$ через логарифмическую функцию с основанием $e$ :

$\log_{a} x = \frac{\ln x}{\ln a}$ .

Производная функции $\ln x$ выражается формулой $(\ln x)$ ' $= \frac{1}{x}$ .

Найдем производную $\ln (k x + b)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$(\ln (k x + b))$ ' $= \frac{1}{k x + b} \cdot (k x + b)$ ' $= \frac{k}{k x + b}$ .

А теперь найдем производную логарифмической функции:

$(\log_{a} x)$ ' $= (\frac{\ln x}{\ln a})$ ' $= \frac{1}{\ln a} (\ln x)$ ' $= \frac{1}{x \ln a}$ .

Производная логарифмической функции

$(\log_{a} x)$ ' $= \frac{1}{x \ln a}$ (3)

Производная функции $y = \ln x$

$(\ln x)$ ' $= \frac{1}{x}$ (4)

Например, $(\log_{2} x)$ ' $= \frac{1}{x \ln 2}$ ; $(\log_{0, 2} x)$ ' $= \frac{1}{x \ln 0, 2}$ .

Производные тригонометрических функций

Пусть дана функция $f (x) = \sin x$ . Найдем ее производную, пользуясь определением производной. Составим разностное отношение:

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sin (x + h) - \sin x}{h} = \frac{2 \sin \frac{x + h - x}{2} \cos \frac{x + h + x}{2}}{h} = \frac{2 \sin \frac{h}{2} \cos (x + \frac{h}{2})}{h} = \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cos (x + \frac{h}{2})$ .

При $h \to 0 x + \frac{h}{2} \to x$ , тогда $\cos (x + \frac{h}{2}) \to \cos x$ . В курсе высшей математики доказывается первый замечательный предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , тогда $\lim_{h \to 0} (\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cos (x + \frac{h}{2})) = \cos x$ . Получили, что $(\sin x)$ ' $= \cos x$ .

Аналогично можно доказать, что $(\cos x)$ ' $= - \sin x$ .

Пусть дана функция $f (x) = tg x$ . Найдем ее производную, для этого воспользуемся определением тангенса, правилом дифференцирования частного, только что доказанными формулами, основным тригонометрическим тождеством:

$(tg x)$ ' $= (\frac{\sin x}{\cos x})$ ' $= \frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)' \sin x}{\cos^{2} x} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \frac{1}{\cos^{2} x}$ .

Аналогичными рассуждениями: $(ctg x)$ ' $= - \frac{1}{\sin^{2} x}$ .

Производные тригонометрических функций

$(\sin x)$ ' $= \cos x$ (5)

$(\cos x)$ ' $= - \sin x$ (6)

$(tg x)$ ' $= \frac{1}{\cos^{2} x}$ (7)

$(ctg x)$ ' $= - \frac{1}{\sin^{2} x}$ (8)

Пример 1

Найти производную функции

1. $f (x) = \cos x \sin^{2} x - \frac{1}{4} \cos (2 x + 1)$ ;

2. $f (x) = e^{2 - 3 x} + \ln (\frac{x}{3} + 4)$ ;

3. $f (x) = tg x \sqrt{2 x - 3}$ .

Решение

1. $f$ ' $(x) = (\cos x \sin^{2} x)$ ' $- \frac{1}{4} (\cos (2 x + 1))$ ' $= - \sin x \cdot \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x \cdot \cos x +$

$+ \frac{1}{4} \sin (2 x + 1) \cdot 2 = - \sin^{3} x + \sin 2 x \cos x + \frac{1}{2} \sin (2 x + 1)$ ;

2. $f$ ' $(x) = (e^{2 - 3 x})$ ' $+ (\ln (\frac{x}{3} + 4))$ ' $= e^{2 - 3 x} \cdot (- 3) + \frac{1}{\frac{x}{3} + 4} \cdot \frac{1}{3} = - 3 e^{2 - 3 x} + \frac{1}{x + 12}$ ;

3. $f$ ' $(x) = \frac{1}{\cos^{2} x} \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{2 \sqrt{2 x - 3}} \cdot 2 \cdot tg x = \frac{\sqrt{2 x - 3}}{\cos^{2} x} + \frac{tg x}{\sqrt{2 x - 3}}$ .

Ответ: 1. $- \sin^{3} x + \sin 2 x \cos x + \frac{1}{2} \sin (2 x + 1)$ ;

2. $- 3 e^{2 - 3 x} + \frac{1}{x + 12}$ ;

3. $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\cos^{2} x} + \frac{tg x}{\sqrt{2 x - 3}}$ .

Упражнение 1

Найти производную функции $f (x)$ , если:

1. $f (x) = \sin (x^{2} - 4)$ ;

2. $f (x) = \sqrt[4]{\log_{3} x}$ ;

3. $f (x) = (x + 2) \sqrt{2 x + 2} - 2 x$ .

Пример 2

Вычислить $f$ ' $(2)$ , если $f (x) = e^{2 - x} + \log_{3} (3 x - 2)$ .

Решение

$f$ ' $(x) = e^{2 - x} \cdot (- 1) + \frac{1}{(3 x - 2) \ln 3} \cdot 3 = - e^{2 - x} + \frac{3}{(3 x - 2) \ln 3}$ .

$f$ ' $(2) = - e^{0} + \frac{3}{4 \ln 3} = - 1 + \frac{3}{4 \ln 3}$

Ответ: $- 1 + \frac{3}{4 \ln 3}$ .

Упражнение 2

Вычислить $f$ ' $(1)$ , если $f (x) = \ln (3 x - 2) + 3^{2 x}$ .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

2. Чему равна производная логарифмической функции?

3. Чему равна производная показательной функции?

4. Чему равны производные тригонометрических функций?

Ответы

Упражнение 1

1. $2 x \cos (x^{2} - 4)$ . 2. $\frac{1}{4 x \ln 3 \sqrt[4]{{(\log_{3} x)}^{3}}}$ . 3. $- 2 + \sqrt{2 x + 2} + \frac{x + 2}{\sqrt{2 x + 2}}$ .

Упражнение 2

$3 + 18 \ln 3$ .