Конспект урока: Относительность движения. Сложение движений. Примеры решения задач на сложение движений

Относительность движения. Правила сложения скоростей и перемещений при относительном движении

В рассмотренных ранее задачах за тело отсчета принималась та или иная поверхность Земли, по которому двигалась машина или человек. Как тогда рассчитать скорость тела, если поверхность, по которой оно движется, тоже имеет некоторую скорость относительно Земли? Для начала введём два важных определения.
 

Например, при переходе пассажира из одного вагона поезда в другой, этот пассажир имеет некоторую скорость относительно поезда, а поезд – некоторую скорость относительно Земли. Чему равна скорость пассажира относительно Земли?
 

Чтобы ответить на данный вопрос, рассмотрим несколько практических задач.

Рис. 1. Движение лодки в неподвижной воде

 

Человек переплывает пруд, в котором нет течения, на весельной лодке (рис. 1). Ширина водоема 1000 м, скорость лодки 2 м/с. Найти время, через которое человек высадится на противоположном берегу.

 

Примем неподвижную воду за тело отсчета, а за начало отсчета – участок воды, граничащий с берегом, откуда начал движение человек.

Ось OY направлена в сторону противоположного берега, ось ОХ – вправо. Включим секундомер в момент отплытия от берега. Координаты лодки в момент времени t = 0 равны x₀ = 0, y₀ = 0.

Найдем проекции скорости лодки $v_x$ и $v_y$: так как вектор скорости направлен вертикально вверх, проекция вектора скорости на ось ОХ равна нулю $v_x$ = 0; вектор скорости сонаправлен с осью ОY, следовательно, проекция вектора на данную ось положительна и численно равна скорости лодки: $v_y$ = 2 м/с.

Подставим в уравнения движения для координат x и y найденные значения:

$x=x_0+v_x·t=0$;

$y=y_0+v_y·t=2·t$.

Когда человек достигнет противоположного берега, его координата $y$ станет равна ширине водоема – 1000 м.
 

Подставим данное значение во второе уравнение и найдем искомое время: 

$t=\frac{y}{v_y}=\frac{1000}{2}=500 \mathrm{с}$.

Рассмотрим другой пример. Пусть человек переплывает не пруд, а реку той же ширины 1000 м, в которой есть течение, равное 1,5 м/с. Скорость лодки относительно воды остается прежней – 2 м/с. Сколько времени понадобится человеку для переправы на противоположный берег?

Рис. 2. Движение лодки в подвижной воде

Обозначим скорость лодки относительно воды ${\overrightarrow{v}}_1$, скорость течения ${\overrightarrow{v}}_2$, скорость лодки относительно неподвижного берега $\overrightarrow{v}$ (рис. 2).
 

Рассмотрим движение лодки относительно ранее выбранного тела отсчета - воды. Человек старается плыть перпендикулярно течению, поэтому законы, описывающие изменение координат в данной системе отсчета, остаются прежними: $x=0$; $y=2·t$.

Опишем движение воды в системе отсчета, связанной с берегом. Понятно, что любая капля воды, находящаяся на прямой АВ, будет двигаться со скоростью $v_2$ = 1,5 м/с и за время t сместится на расстояние Δх = ВС. Обозначим абсциссу точки С как х₁. Тогда уравнение координаты для капли воды в выбранной системе отсчета будет иметь следующий вид:
 

$x=x_0+v_{2x}·t=1,5·t$.

Таким образом, вода движется относительно берега равномерно прямолинейно: одна система отсчета движется относительно другой с постоянной скоростью.

Наконец, опишем, как движется лодка в системе отсчета, связанной с берегом.
 

Человек плывет перпендикулярно течению реки, но течение все время сносит его в положительном направлении оси ОХ. 

Таким образом, в процессе движения лодка смещается относительно начальной координаты х₀ со скоростью течения реки $v_2$. Тогда уравнение координаты х в данной системе отсчета будет иметь следующий вид:

$x=x_0+v_{2x}·t=1,5·t$.

Несмотря на течение, лодка движется к берегу: смещается в положительном направлении оси OY со скоростью $v_1$. Закон изменения координаты y будет иметь следующий вид:

$y=y_0+v_{1y}·t=2·t$.

Рис. 3. Направление вектора скорости лодки относительно берега

 

Данное уравнение позволяет рассчитать время, которое понадобится лодке, чтобы достигнуть противоположного берега. Так как ширина водоема 1000 м, конечная координата y будет равна 1000 м, следовательно, также, как и в предыдущем примере, человек переправится через водоем за t = 500 с. Но в этом случае лодка причалит не к точке В, течение реки в процессе движения снесет ее в точку С.

Таким образом, относительно берега лодка одновременно смещается в положительном направлении оси ОХ и в положительном направлении оси OY.
 

В результате такого движения скорость лодки будет направлена под углом к берегу (рис. 3).

Модуль скорости лодки относительно берега $v$ можно найти через проекции вектора скорости на координатные оси:

$v=\sqrt[2]{{v_x}^2+{v_y}^2}$.

Из рисунка 3 видно, что вектор скорости течения воды ${\overrightarrow{v}}_2$ соответствует проекции скорости $\overrightarrow{v}$ на ось ОХ, а вектор скорости лодки относительно воды ${\overrightarrow{v}}_1$ - проекции скорости $\overrightarrow{v}$ на ось ОY. Тогда выражение выше можно записать в следующем виде:

$v=\sqrt[2]{{v_2}^2+{v_1}^2}$,

где $v \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ – модуль скорости лодки относительно берега;
$v_1 \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ – модуль скорости лодки относительно воды;
$v_2 \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ – модуль скорость воды.

Следует учитывать, что это соотношение справедливо, когда вектор скорости воды и вектор скорости лодки относительно воды перпендикулярны друг другу. В случае, если угол между указанными векторами отличается от 90° данное соотношение использовать нельзя.

Вектор скорости лодки относительно берега $\overrightarrow{v}$ равен сумме вектора скорости лодки относительно воды ${\overrightarrow{v}}_1$ и вектора скорости воды ${\overrightarrow{v}}_2$ (рис. 3):
 

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$.
 

Данное выражение позволяет сформулировать общее правило нахождения скорости для случая, когда тело движется в двух системах отсчета: подвижной и неподвижной.

Рисунок 3 позволяет увидеть, что вектор перемещения лодки относительно берега $∆\overrightarrow{r}=\overrightarrow{AC}$ представляет собой сумму перемещений лодки относительно оси OY и относительно оси ОХ – сумму векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ . Обозначим перемещение вдоль оси ОХ как ${\overrightarrow{r}}_1$, вдоль оси OY как ${\overrightarrow{r}}_2$, тогда вектор перемещения лодки относительно берега будет равен:

$∆\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_1+{\overrightarrow{r}}_2$.

Итоги

• Вектор скорости тела относительно неподвижной системы отсчета $\overrightarrow{v}$ равен сумме вектора скорости данного тела в подвижной системе отсчета $\overrightarrow{v_1}$ и вектора скорости подвижной системы отсчета $\overrightarrow{v_2}$ относительно неподвижной системы отсчёта: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$.
• Вектор перемещения тела  относительно неподвижной системы отсчета $∆\overrightarrow{r}$ равен сумме вектора перемещения данного тела в подвижной системе отсчета $∆\overrightarrow{r_1}$ и вектора перемещения подвижной системы отсчета $∆\overrightarrow{r_2}$ относительно неподвижной системы отсчёта: $∆\overrightarrow{r}=∆\overrightarrow{r_1}+∆\overrightarrow{r_2}$.