Конспект урока: Относительность движения. Сложение движений. Примеры решения задач на сложение движений

Пример 1

Пловец переплывает реку шириной 500 м, двигаясь перпендикулярно течению реки. Найти скорость и перемещение пловца относительно берега, если известно, что его скорость относительно воды 4 м/с, а скорость течения реки 3 м/с.

Решение
 

1. Сделаем рисунок, на котором покажем, как направлены вектор скорости пловца относительно реки ${\overrightarrow{v}}_1$, вектор скорости течения ${\overrightarrow{v}}_2$ и вектор скорости пловца относительно берега $\overrightarrow{v}$.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру 1

 

Из условия задачи известно, что векторы ${\overrightarrow{v}}_1$ и ${\overrightarrow{v}}_2$ взаимно перпендикулярны. Из правила сложения скоростей $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$ найдём направление вектора $\overrightarrow{v}$, применив правило треугольника (рис. 1).
 

Примем, что начало движения пловца совпадает с началом отсчёта: x₀ = 0, y₀ = 0.

Так как векторы ${\overrightarrow{v}}_1$ и ${\overrightarrow{v}}_2$ совпадают с проекциями вектора $\overrightarrow{v}$ на координатные оси $v_x$ и $v_y$, модуль скорости пловца относительно берега можно вычислить по следующей формуле:

$v=\sqrt[2]{{v_1}^2+{v_2}^2}=\sqrt[2]{4^2+3^2}=5 \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

2. Перемещение пловца относительно берега $∆r$ можно найти через перемещения вдоль координатных осей

$∆r=\sqrt[2]{{r_1}^2+{r_2}^2}$

или через произведение скорости пловца относительно берега на время движения

$∆r=v·t$.

Так как перемещение вдоль оси ОХ неизвестно, воспользуемся вторым способом.
 

Для этого необходимо найти время движения пловца. Запишем закон движения тела вдоль оси OY:
 

$y=y_0+v_y·t=y_0+v_1·t=4·t$.

Известно, что ширина реки составляет 500 м, следовательно, через время t координата $y$, будет равна $y$ = 500 м. Отсюда находим время t:
 

$t=\frac{y}{4}=\frac{500}{4}=125 \mathrm{с}$.
 

Подставляем полученное значение в формулу выше и находим перемещение пловца относительно берега:
 

$∆r=v·t=5·125=625 \mathrm{м}$.

Ответ: $v=5 \mathrm{м}/\mathrm{с}$; $∆\mathrm{r}=625 \mathrm{м}$.

Пример 2

Моторная лодка переплывает реку по кратчайшему пути. Скорость лодки относительно воды 10 м/с, скорость течения воды 6 м/с. Найти скорость и перемещение лодки относительно берега, если известно, что на другом берегу лодка оказалась через 2 минуты после начала движения.

Решение

1. Сделаем рисунок, на котором покажем, как направлены вектор скорости лодки относительно реки ${\overrightarrow{v}}_1$, вектор скорости течения ${\overrightarrow{v}}_2$ и вектор скорости лодки относительно берега $\overrightarrow{v}$.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

В условии задачи говорится, что лодка движется к противоположному берегу по кратчайшему пути, следовательно, вектор скорости лодки относительно берега $\overrightarrow{v}$направлен перпендикулярно вектору скорости реки ${\overrightarrow{v}}_2$ (рис. 2).

 

Согласно правилу сложения скоростей при относительном движении $\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$, отсюда ${\overrightarrow{v}}_1=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{v}}_2$.

Найдём неизвестное направление вектора ${\overrightarrow{v}}_1$ как разность $\overrightarrow{v}$ и ${\overrightarrow{v}}_2$ в соответствии с правилом вычитания векторов (рис. 3).

Рис. 3. Правило вычитания векторов

Из рисунка 3 видно, что модуль вектора $\overrightarrow{v}$ является катетом прямоугольного треугольника с катетом $v_2$ и гипотенузой $v_1$.
 

Тогда модуль вектора скорости лодки относительно берега можно найти по теореме Пифагора:

 

$v=\sqrt[2]{{v_1}^2{-v_2}^2}=\sqrt[2]{{10}^2-6^2}=8 \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

2. Перемещение лодки относительно берега $∆r$ рассчитаем через произведение скорости лодки относительно берега на время движения:

$∆r=v·t=8·120=960 \mathrm{м}$.

Ответ: $v=8 \mathrm{м}/\mathrm{с}$; $∆\mathrm{r}=960 \mathrm{м}$.

Пример 3

Самолёт летит из города А в город В со скоростью 13 м/с относительно воздуха. На трассе полёта дует боковой ветер со скоростью 5 м/с, направление ветра перпендикулярно кратчайшему отрезку, соединяющему данные города. Определите скорость самолёта относительно земли.

Решение

В данной задаче следует иметь в виду, что пилот должен учитывать боковой ветер и выбирать направление движения самолёта таким образом, чтобы прилететь из пункта А в пункт В по кратчайшему пути. Поэтому вектор скорости самолёта относительно земли $\overrightarrow{v}$ должен быть направлен перпендикулярно вектору скорости ветра ${\overrightarrow{v}}_2$ (рис. 2 и рис. 3).

Из решения предыдущей задачи нам известно, что в данном случае модуль вектора $\overrightarrow{v}$ является катетом прямоугольного треугольника с катетом $v_2$ и гипотенузой $v_1$.
 

Тогда модуль вектора скорости самолёта относительно земли можно найти по теореме Пифагора:

$v=\sqrt[2]{{v_1}^2{-v_2}^2}=\sqrt[2]{{13}^2-5^2}=12 \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Ответ: $v=12 \mathrm{м}/\mathrm{с}$.

Упражнение 1

1. Лодка, двигаясь вдоль берега, проходит 1,8 км по течению, разворачивается и возвращается в пункт отправления. Скорость лодки относительно воды 54 км/ч, скорость течения 3 м/с. Сколько времени лодка находилась в движении?
 

2. Пловец переплывает реку по кратчайшему пути. Скорость пловца относительно воды 15 м/с, скорость течения 9 м/с. Найти скорость и перемещение пловца относительно берега, если пловец оказался на противоположном берегу через 2,5 минуты.
 

3. В безветренную погоду самолёт затрачивает на перелёт между городами 8 часов. Если во время полёта дует боковой ветер со скоростью 8 м/с, то время полёта увеличивается на некоторое значение. Определите, на сколько увеличивается время полёта, если скорость самолёта относительно воздуха постоянна и равна 17 м/с.

Упражнение 1

1. t = 250 с

2. $v$ = 12 м/с; $∆\mathrm{r}$ = 1 800 м

3. Δt = 64 мин