Конспект урока: Относительность движения. Сложение движений. Примеры решения задач на сложение движений

[header]Относительность движения. Сложение движений[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Относительность движения. Правила сложения скоростей и перемещений при относительном движении

[/row][row title='Цели урока']

• знать правила нахождения вектора скорости и вектора перемещения тела относительно неподвижной системы отсчёта при его движении в подвижной системе отсчёта
• уметь описывать законы движения в разных системах отсчёта; вычислять вектор и модуль скорости относительно неподвижной системы отсчёта; вычислять вектор перемещения относительно неподвижной системы отсчёта

[/row][row title='Разминка' final]

• Одинаковую ли скорость относительно берега будет иметь лодка, плывущая против течения и по течению?
• Как изменится ваша скорость относительно платформы метро, если попытаться идти вниз по эскалатору, движущемуся вверх?
• Как найти скорость, если поверхность, по которой движется тело, тоже находится в движении относительно Земли?

[/row][/flex]

Относительность движения. Правила сложения скоростей и перемещений при относительном движении

В рассмотренных ранее задачах за тело отсчёта принималась та или иная поверхность Земли, по которой двигалась машина или человек. Как тогда рассчитать скорость тела, если поверхность, по которой оно движется, тоже имеет некоторую скорость относительно Земли? Для начала введём два важных определения.
 

[line][/line]

[section icon='note']

Относительное движение — это движение тела по отношению к системе отсчёта, перемещающейся относительно некоторой другой, основной, системы отсчёта, условно называемой неподвижной. 

Под относительностью механического движения понимают зависимость чего-либо от выбора системы отсчёта. Например: покой относителен; движение относительно; положение тела относительно.

[/section]

[line][/line]

Например, при переходе пассажира из одного вагона поезда в другой этот пассажир имеет некоторую скорость относительно поезда, а поезд — некоторую скорость относительно Земли. Чему равна скорость пассажира относительно Земли?
 

Чтобы ответить на данный вопрос, рассмотрим несколько практических задач.

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/4q2Sci7427Hi_21.png' name='Рис. 1. Движение лодки в неподвижной воде' float='right' width='30']

Человек переплывает пруд, в котором нет течения, на вёсельной лодке (рис. 1). Ширина водоёма 1 000 м, скорость лодки 2 м/с. Найти время, через которое человек высадится на противоположном берегу.

Примем неподвижную воду за тело отсчёта, а за начало отсчёта — участок воды, граничащий с берегом, откуда начал движение человек.

[/img]

Ось OY направлена в сторону противоположного берега, ось ОХ — вправо. Включим секундомер в момент отплытия от берега. Координаты лодки в момент времени t = 0 равны x₀ = 0, y₀ = 0.

Найдём проекции скорости лодки $v_x$ и $v_y$: так как вектор скорости направлен вертикально вверх, проекция вектора скорости на ось ОХ равна нулю $v_x$ = 0; вектор скорости сонаправлен с осью ОY, следовательно, проекция вектора на данную ось положительна и численно равна скорости лодки: $v_y$ = 2 м/с.

Подставим в уравнения движения для координат x и y найденные значения:

$x = x_0 + v_x · t = 0$;

$y = y_0 + v_y · t = 2 · t$.

Когда человек достигнет противоположного берега, его координата $y$ станет равна ширине водоёма — 1 000 м.
 

Подставим данное значение во второе уравнение и найдём искомое время: 

$t=\frac{y}{v_y}=\frac{1 000}{2}=500 \mathrm{с}$.

Рассмотрим другой пример. Пусть человек переплывает не пруд, а реку той же ширины 1 000 м, в которой есть течение, равное 1,5 м/с. Скорость лодки относительно воды остаётся прежней — 2 м/с. Сколько времени понадобится человеку для переправы на противоположный берег?

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/a1I8Z5KEEpuy_22.png' name='Рис. 2. Движение лодки в подвижной воде' float='right' width='30']

Обозначим скорость лодки относительно воды ${\overrightarrow{v}}_1$, скорость течения ${\overrightarrow{v}}_2$, скорость лодки относительно неподвижного берега $\overrightarrow{v}$ (рис. 2).
 

Рассмотрим движение лодки относительно ранее выбранного тела отсчёта — воды. Человек старается плыть перпендикулярно течению, поэтому законы, описывающие изменение координат в данной системе отсчёта, остаются прежними: $x=0$; $y=2·t$.

[/img]

Опишем движение воды в системе отсчёта, связанной с берегом. Понятно, что любая капля воды, находящаяся на прямой АВ, будет двигаться со скоростью $v_2$ = 1,5 м/с и за время t сместится на расстояние Δх = ВС. Обозначим абсциссу точки С как х₁. Тогда уравнение координаты для капли воды в выбранной системе отсчёта будет иметь следующий вид:
 

$x=x_0+v_{2x}·t=1,5·t$.

Таким образом, вода движется относительно берега равномерно прямолинейно: одна система отсчёта движется относительно другой с постоянной скоростью.

Наконец, опишем, как движется лодка в системе отсчёта, связанной с берегом.
 

Человек плывёт перпендикулярно течению реки, но течение всё время сносит его в положительном направлении оси ОХ. 

Таким образом, в процессе движения лодка смещается относительно начальной координаты х₀ со скоростью течения реки $v_2$. Тогда уравнение координаты х в данной системе отсчёта будет иметь следующий вид:

$x=x_0+v_{2x}·t=1,5·t$.

Несмотря на течение, лодка движется к берегу: смещается в положительном направлении оси OY со скоростью $v_1$. Закон изменения координаты y будет иметь следующий вид:

$y=y_0+v_{1y}·t=2·t$.

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/3qW1TlBpRBSf_23.png' name='Рис. 3. Направление вектора скорости лодки относительно берега' float='right' width='30']

Данное уравнение позволяет рассчитать время, которое понадобится лодке, чтобы достигнуть противоположного берега. Так как ширина водоёма 
1 000 м, конечная координата y будет равна 1 000 м, следовательно, как и в предыдущем примере, человек переправится через водоём за t = 500 с. Но в этом случае лодка причалит не к точке В, течение реки в процессе движения снесёт её в точку С.

[/img]

Таким образом, относительно берега лодка одновременно смещается в положительном направлении оси ОХ и в положительном направлении оси OY.
 

В результате такого движения скорость лодки будет направлена под углом к берегу (рис. 3).

Модуль скорости лодки относительно берега $v$ можно найти через проекции вектора скорости на координатные оси:

$v=\sqrt[2]{{v_x}^2+{v_y}^2}$.

Из рисунка 3 видно, что вектор скорости течения воды ${\overrightarrow{v}}_2$ соответствует проекции скорости $\overrightarrow{v}$ на ось ОХ, а вектор скорости лодки относительно воды ${\overrightarrow{v}}_1$ — проекции скорости $\overrightarrow{v}$ на ось ОY. Тогда выражение выше можно записать в следующем виде:

$v=\sqrt[2]{{v_2}^2+{v_1}^2}$,

где $v \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ — модуль скорости лодки относительно берега;
$v_1 \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ — модуль скорости лодки относительно воды;
$v_2 \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ — модуль скорости воды.

Следует учитывать, что это соотношение справедливо, когда вектор скорости воды и вектор скорости лодки относительно воды перпендикулярны друг другу. В случае, если угол между указанными векторами отличается от 90°, данное соотношение использовать нельзя.

Вектор скорости лодки относительно берега $\overrightarrow{v}$ равен сумме вектора скорости лодки относительно воды ${\overrightarrow{v}}_1$ и вектора скорости воды ${\overrightarrow{v}}_2$ (рис. 3):
 

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2$.
 

Данное выражение позволяет сформулировать общее правило нахождения скорости для случая, когда тело движется в двух системах отсчёта: подвижной и неподвижной.

[line][/line]

[section icon='note']

Вектор скорости тела относительно неподвижной системы отсчёта $\overrightarrow{v}$равен сумме вектора скорости данного тела в подвижной системе отсчёта $\overrightarrow{v_1}$ и вектора скорости подвижной системы отсчёта $\overrightarrow{v_2}$ относительно неподвижной системы отсчёта: 

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$.

[/section]

[line][/line]

Рисунок 3 позволяет увидеть, что вектор перемещения лодки относительно берега $∆\overrightarrow{r}=\overrightarrow{AC}$ представляет собой сумму перемещений лодки относительно оси OY и относительно оси ОХ — сумму векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ . Обозначим перемещение вдоль оси ОХ как ${\overrightarrow{r}}_1$, вдоль оси OY как ${\overrightarrow{r}}_2$, тогда вектор перемещения лодки относительно берега будет равен

$∆\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_1+{\overrightarrow{r}}_2$.

[line][/line]

[section icon='note']

Вектор перемещения тела относительно неподвижной системы отсчёта $∆\overrightarrow{r}$равен сумме вектора перемещения данного тела в подвижной системе отсчёта $∆\overrightarrow{r_1}$ и вектора перемещения подвижной системы отсчёта $∆\overrightarrow{r_2}$ относительно неподвижной системы отсчёта:

$∆\overrightarrow{r}=∆\overrightarrow{r_1}+∆\overrightarrow{r_2}$.

[/section]

[line][/line]

Итоги

• Вектор скорости тела относительно неподвижной системы отсчёта $\overrightarrow{v}$равен сумме вектора скорости данного тела в подвижной системе отсчёта $\overrightarrow{v_1}$ и вектора скорости подвижной системы отсчёта $\overrightarrow{v_2}$ относительно неподвижной системы отсчёта: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$.
• Вектор перемещения тела относительно неподвижной системы отсчёта $∆\overrightarrow{r}$ равен сумме вектора перемещения данного тела в подвижной системе отсчёта $∆\overrightarrow{r_1}$ и вектора перемещения подвижной системы отсчёта $∆\overrightarrow{r_2}$ относительно неподвижной системы отсчёта: $∆\overrightarrow{r}=∆\overrightarrow{r_1}+∆\overrightarrow{r_2}$.

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте правило сложения скоростей при относительном движении.
2. Возможно ли, чтобы движущееся в некоторой системе отсчёта тело имело скорость, равную нулю относительно Земли? Приведите пример.
3. С какой скоростью движется относительно Земли пассажир автобуса, если скорость автобуса относительно Земли 40 км/ч, при этом человек: а) сидит на месте; б) движется в сторону водителя со скоростью 2 км/ч; в) движется к задней двери автобуса со скоростью 1,5 км/ч?

[/section]

[line][/line]