Конспект урока: Равномерное движение по окружности. Угловая скорость. Период и частота вращения. Скорость и ускорение при равномерном движении по окружности

Скорость при равномерном движении тела по окружности

Рис. 1. Радиус-вектор перпендикулярен вектору скорости

 

Так как движение по окружности точечного тела является криволинейным, вектор мгновенной скорости $\overrightarrow{v}$ направлен по касательной к окружности в любой точке траектории. Из курса геометрии вам известно, что касательная к окружности в любой точке перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Следовательно, угол между радиус-вектором $\overrightarrow{r}$ и вектором мгновенной скорости $\overrightarrow{v}$ в любой момент времени составляет 90° (рис. 1).

Направление движения точек, расположенных на окружности, легко увидеть на практике, наблюдая за направлением вылета капель воды из-под колес автомобиля или искр, вылетающих при резке металла (рис. 2).

Рис. 2. Скорость при движении по окружности направлена по касательной

 

Для определения численного значения мгновенной скорости точечного тела, движущегося по окружности, в начале определим среднюю скорость такого тела $v_{\mathrm{ср}}$.
 

За некоторый промежуток времени Δt тело проходит путь S от точки А до точки В вдоль окружности, равный длине дуги $l$ (рис. 3).

Рис. 3. Перемещение точечного тела из точки А в точку В

Если угол поворота задан в градусах, то длина дуги рассчитывается по следующей формуле:
 

$l=\frac{\pi ·R}{180°}·\alpha$.
 

Учтём, что $1°=\frac{\pi }{180}$ рад. Тогда формула выше принимает следующий вид:
 

$l=R·\alpha$.

При движении по окружности тело поворачивается на угол $\alpha =∆\phi$. Средняя скорость — это отношение пройденного пути ко времени:
 

$v_{\mathrm{ср}}=\frac{S}{∆t}=\frac{l}{∆t}=\frac{R·∆\phi }{∆t}$.

Если рассматриваемое тело движется с угловой скоростью $\omega$, то угол поворота равен произведению угловой скорости на время:
 

$∆\phi =\omega ·∆t$.
 

C учётом этого соотношения среднюю скорость тела, движущегося по окружности, можно найти по следующей формуле:

$v_{\mathrm{ср}}=\frac{R·∆\phi }{∆t}=\frac{R·\omega ·∆t}{∆t}=R·\omega$.
 

Таким образом, средняя скорость тела, движущегося по окружности, равна произведению радиуса и угловой скорости тела.
 

Модуль мгновенной скорости тела $v$ — это отношение модуля перемещения $\left|∆\overrightarrow{r}\right|$ к промежутку времени, за который оно произошло:
 

$v=\frac{\left|∆\overrightarrow{r}\right|}{∆t}$.

Модуль перемещения равен длине хорды, соединяющей начальную и конечную точки движения. При движении тела из точки А в точку В модуль перемещения равен длине хорды АВ. При уменьшении рассматриваемого промежутка времени Δt до достаточно малого значения длина дуги, соединяющей начальную и конечную точку $l=S$, будет практически равна соответствующей хорде, можно считать, что модуль перемещения равен пройденному пути $\left|∆\overrightarrow{r}\right|=S$.
 

Таким образом, если промежуток времени Δt достаточно мал, модуль мгновенной скорости равен:
 

$v=\frac{\left|∆\overrightarrow{r}\right|}{∆t}=\frac{S}{∆t}=v_{\mathrm{ср}}=R·\omega$,
 

где $v$ [м/с] — мгновенная скорость тела, движущегося по окружности;
R [м] — радиус окружности;
$\omega$ [рад/с] — угловая скорость.

Ускорение при равномерном движении тела по окружности

Численное значение линейной скорости тела $\overrightarrow{v}$ остаётся постоянным с течением времени, однако, так как вектор скорости $\overrightarrow{v}$ всегда направлен по касательной к траектории, направление данного вектора с течением времени изменяется 
(рис. 4). Следовательно, тело, движущееся по окружности, имеет ускорение.

Рис. 4. Изменение вектора скорости с течением времени

 

Пусть точечное тело за время $∆t$ переместилось из точки А в точку В (рис. 5), при этом радиус-вектор, определяющий положение тела, повернулся на угол $∆\phi$.
 

Путём геометрических построений несложно вычислить, что угол между вектором ${\overrightarrow{v}}_1$и вектором ${\overrightarrow{v}}_2$ также равен $∆\phi$. Следовательно, за время $∆t$ вектор скорости повернулся на угол $∆\phi$.

Рис. 5. При перемещении точечного тела из точки А в точку В радиус-вектор поворачивается на угол Δφ

 

Вектор $∆\overrightarrow{v}$, равный изменению скорости $∆\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1$, направлен под углом 90° к вектору перемещения $∆\overrightarrow{r}=\overrightarrow{AB}$. При уменьшении рассматриваемого промежутка времени $∆t$ до достаточно малого значения точка В приблизится к точке А настолько, что вектор $∆\overrightarrow{v}$ будет направлен к центру окружности О.

Так как ускорение по определению равно отношению $\overrightarrow{a}=\frac{∆\overrightarrow{v}}{∆t}$, вектор мгновенного ускорения тела, движущегося по окружности, направлен к центру окружности.

Рассмотрим треугольники АОВ и ВСD (рис. 5). Оба треугольника являются равнобедренными, $\angle AOB=\angle CBD=∆\phi$. 

Следовательно, треугольник АОВ подобен треугольнику ВСD. Тогда справедливо следующее равенство:

$\frac{CD}{AB}=\frac{BC}{OA}\Rightarrow \frac{∆v}{AB}=\frac{v}{R}$.
 

Если промежуток времени Δt является достаточно малым, то длина дуги практически равна длине хорды АВ. Тогда $AB=v·∆t$. 

Тогда выражение выше можно записать в следующем виде:
 

$\frac{∆v}{AB}=\frac{v}{R}\iff \frac{∆v}{v·∆t}=\frac{v}{R}\iff \frac{∆v}{∆t}=\frac{v^2}{R}$.
 

Так как ускорение — это отношение изменения скорости ко времени, за которое произошло это изменение, формула центростремительного ускорения имеет следующий вид:

$a_{\mathrm{цс}}=\frac{v^2}{R}$,

где $a_{\mathrm{цс}}$ м/с² — центростремительное ускорение тела;
$v$ м/с — мгновенная скорость;
$R$ м — радиус окружности.

С учётом выражения $v=R·\omega$ модуль центростремительного ускорения можно рассчитывать по следующей формуле:

Рис. 6. Любое криволинейное движение можно рассматривать как движение по дугам окружностей разного радиуса

$a_{\mathrm{цс}}=\frac{v^2}{R}=\frac{{\left(R·\omega \right)}^2}{R}=R·{\omega }^2$.

 

Полученные закономерности можно использовать для описания более сложных видов движения, так как любую криволинейную траекторию можно представить как совокупность дуг окружностей разных радиусов (рис. 6).

Итоги

• Вектор мгновенной скорости тела, движущегося по окружности, направлен по касательной к окружности в каждой точке траектории.
• Модуль мгновенной скорости точечного тела, движущегося по окружности, равен произведению его угловой скорости на радиус окружности: $v=R·\omega$.
• Ускорение тела, равномерно движущегося по окружности, называется центростремительным $a_{ц.с.}$ и в любой точке траектории направлено к центру окружности.
• Модуль центростремительного ускорения тела равен отношению квадрата мгновенной скорости тела к радиусу окружности, по которой движется тело: $a_{\mathrm{цс}}=\frac{v^2}{R}=R·{\omega }^2$.