Конспект урока: Прямолинейное движение. Прямолинейное равномерное движение и прямолинейное равноускоренное движение. Решение задач

Прямолинейное равномерное движение

Вам уже известно, что при равномерном движении скорость тела с течением времени не изменяется.

Если тело движется равномерно и при этом не изменяет направление своего движения, такое движение называется равномерным прямолинейным.

Рис. 1. Изменение координаты равномерно движущегося тела с течением времени

Пусть автомобиль движется в положительном направлении оси ОХ с постоянной скоростью.
 

В момент времени t = 0 тело находится в координате x₀ = 100 м (рис. 1). Через 20 секунд автомобиль оказался в точке с координатой x = 300 м. Так как за 20 секунд автомобилем пройдено 200 метров, скорость данного тела равна $v=\frac{x - x_0}{t}=10$ м/с.

Зная, что тело движется равномерно, можно утверждать, что значение начальной координаты x₀ автомобиля каждую секунду увеличивается на 10 метров.
 

Тогда конечную координату в момент времени t будет определять следующая формула:

$x = x_0 + v · t$,

где $x \left[м\right]$ — конечная координата тела;
$x_0 \left[м\right]$ — начальная координата тела;

$v \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$с$}\right.\right]$ — скорость равномерного движения;
$t \left[с\right]$ — время, через которое точечное тело окажется в координате x.

Учтите: если вектор скорости сонаправлен с координатной осью, то в формуле выше скорость имеет знак «+»; если вектор скорости направлен в противоположную сторону — знак «−».
 

Данное уравнение представляет собой зависимость координаты равномерно прямолинейно движущегося тела от времени и называется законом (уравнением) движения.
 

Изменение координаты любого тела, имеющего постоянную скорость и направление движения, можно описать уравнением движения.
 

Подставим в формулу выше координаты и скорость автомобиля:

$x = 100 + 10 · t$.

Понятно, что, подставляя в данную формулу различные значения времени t, можно найти координату тела в заданный момент времени.
 

Например, рассчитаем координату автомобиля через 1 минуту:
 

$x = 100 + 10 · 60 = 700 \mathrm{м}$.

При необходимости это уравнение можно использовать, чтобы найти промежуток времени, через который тело из точки с координатой x₀ переместится в точку с координатой x.
 

Найдём время, которое понадобится автомобилю, чтобы оказаться в координате 1 500 м. Для этого выразим из формулы время:

$t = \frac{x - x_0}{v} = \frac{1 500 - 100}{10} = 140 \mathrm{с}$.

Прямолинейное равноускоренное движение

Если скорость тела изменяется со временем, то есть за равные промежутки времени тело проходит разные расстояния, такое движение называется ускоренным. Ускорение характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости.
 

Если каждую секунду скорость тела изменяется на одинаковую величину, то ускорение тела не изменяется с течением времени — такое движение называется равноускоренным.

Ускорение показывает, на сколько метров в секунду увеличивается (или уменьшается) начальная скорость тела каждую секунду движения. Следовательно, конечную скорость можно найти по следующей формуле:

$v = v_0 + a · t$,

где $v \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c$}\right.\right]$ — конечная скорость тела;
$v_0 \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c$}\right.\right]$ —начальная скорость тела;

$a \left[\raisebox{1ex}{$м$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$c^2$}\right.\right]$ — ускорение тела;
$t \left[с\right]$ — время, за которое значение скорости изменилось от v₀ до v.

Данная формула называется уравнением скорости или законом изменения скорости.
 

Знаки величин $v$, $v_0$ и $a$ определяются в зависимости от направления соответствующих векторов.
 

Если векторы скоростей ${\overrightarrow{v}}_0$ и $\overrightarrow{v}$ сонаправлены с координатной осью, то в формуле выше скорости имеют знак «+»; если векторы направлены в противоположную сторону — знак «−». Аналогичным способом определяется знак ускорения.

Рис. 2. Направление векторов скорости и ускорения при разгоне и торможении тела

Напомним: если векторы скорости и ускорения имеют одинаковое направление, то скорость тела увеличивается — тело разгоняется; если векторы направлены в разные стороны — тело тормозит (рис. 2).

 

Закон движения (уравнение координаты) при прямолинейном равноускоренном движении имеет следующий вид:

$x = x_0 + v_0 · t + \frac{a · t^2}{2}$.

Отметим, что, если для некоторого точечного тела заданы уравнения скорости и координаты, легко можно найти скорость и координату данного тела в любой момент времени.

Примеры решения задач

Пример 1

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 1

 

На рисунке 3 приведена зависимость координаты от времени для некоторого точечного тела, движущегося равномерно прямолинейно. Используя график, запишите уравнение движения для данного тела.

Итоги

• Уравнение движения при прямолинейном равномерном движении имеет следующий вид: $x = x_0 + v · t$.
• Уравнение скорости при прямолинейном равноускоренном движении имеет следующий вид: $v = v_0 + a · t$.
• Уравнение движения при прямолинейном равноускоренном движении имеет следующий вид: $x = x_0 + v_0 · t + \frac{a · t^2}{2}$.

Упражнение 1

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

 

1. На рисунке 4 приведена зависимость координаты от времени для некоторого точечного тела, движущегося равномерно прямолинейно. Используя график, запишите уравнение движения для данного тела.

2. Известно, что уравнение скорости для некоторого точечного тела имеет следующий вид: $v = 2 · t$. Постройте график скорости для данного тела.
 

3. Известно, что уравнение движения для некоторого точечного тела имеет следующий вид: $x = 5 + 12 · t - 2 · t^2$.
 

А. Найдите координату данного тела через 2 с;
Б. Запишите уравнение скорости данного тела.
В. Найдите время, через которое скорость тела будет равна нулю.

Ответы

 

Упражнение 1

 

1. x = 7 – 0,75t

 

2.

3. а) х = 21 м; б) $v$ = 12 – 4t; в) t = 3 c