Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Криволинейное движение. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Кинематика

26.03.2025
4199
0

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

План урока

  • Баллистическое движение
  • Скорость и время движения тела, брошенного под углом к горизонту
  • Законы изменения координат и перемещение тела, брошенного под углом к горизонту
  • Пример решения задачи
  • Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

Цели урока

  • знать понятие «баллистическое движение»; форму траектории и формулы, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту
  • уметь выводить частные формулы для описания баллистического движения из общих законов равномерного и равноускоренного движения; решать задачи на движение тела, брошенного под углом к горизонту

Разминка

  • Что такое мгновенная скорость?
  • Как направлена мгновенная скорость при криволинейном движении?
  • Как движется тело, если одна из проекций его мгновенной скорости подчиняется закону равномерного движения, а другая — равноускоренного?

Баллистическое движение

Примером движения тела, брошенного под углом к горизонту, служит вылет снаряда из пушки: сначала снаряд летит вверх, поднимается на некоторую, максимально возможную при данной начальной скорости высоту и начинает падать на землю. Траектория движения такого тела представляет собой параболу, само движение называется баллистическим.
 

Если пренебречь силами сопротивления воздуха и другими возможными потерями, движение тела, брошенного под углом к горизонту, будет обусловлено только действием силы тяжести, следовательно, ускорение тела будет равно ускорению свободного падения g = 10 м/с2.

 

Рассмотрим законы изменения координат и скорости камня, брошенного под углом к горизонту (рис. 1).

Рис. 1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту Рис. 1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Система отсчёта связана с Землёй, за начало отсчёта примем место, откуда бросили камень. Начальные координаты тела х0 = 0 м, y0 = 0 м.

Максимальная высота, на которую поднимается камень во время полёта, — H, максимальное расстояние, на которое тело сместится вдоль оси ОХ во время движения — дальность полёта, — L. Начальный угол между вектором начальной скорости v0 и положительным направлением оси ОХ — α.

Скорость и время движения тела, брошенного под углом к горизонту

Прежде всего, рассмотрим, как изменяется скорость тела в процессе движения.
 

В начальный момент времени вектор начальной скорости v0 направлен под углом αк горизонту. В процессе движения изменяется и численное значение, и направление вектора скорости, поэтому, говоря о скорости, мы будем иметь мгновенную скорость тела. Так как баллистическое движение является криволинейным, вектор скорости vбудет направлен по касательной к траектории тела в любой момент времени.
 

Проекции вектора начальной скорости на координатные оси можно найти, используя тригонометрические функции:

 

v0x=cosα·v0;

v0y=sinα·v0.

 

Как было сказано выше, тело движется только под действием силы тяжести, поэтому ускорение тела a равно ускорению свободного падения g. Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз, поэтому проекция ускорения на ось ОХ равна нулю gx = 0. Следовательно, проекция скорости на ось абсцисс не меняется с течением времени vx=const: проекция начальной скорости на ось ОХ равна проекциям скорости на ось ОХ в любой момент времени:

v0x=v1x=v2x=vx.

 

Проекция ускорения на ось ординат не равна нулю и имеет знак «−», так как вектор ускорения направлен противоположно оси OY: gy = −10 м/с2. Вдоль оси OY тело движется равноускоренно, поэтому применим закон изменения скорости для равноускоренного движения:

v=v0+a·t.

 

Так как расчёты ведутся с проекциями, а не с векторами, заменим в формуле все векторные величины на их проекции:

 

vy=v0y+gy·t.

 

Обратите внимание, что до достижения телом точки с координатой y = H проекции скорости и ускорения на ось OY имеют противоположные знаки: vy>0v0y>0gy<0, поэтому скорость тела на данном участке траектории уменьшается.
 

После прохождения наивысшей точки траектории проекции скорости и ускорения на ось OY будут иметь одинаковые знаки: vy<0v0y>0gy<0, следовательно, на этом участке скорость тела будет увеличиваться.
 

В точке приземления тело достигнет скорости, которая будет равна по модулю начальной скорости: v0=v2.

 

Модуль мгновенной скорости в любой момент времени можно найти по уже известной вам формуле:

v=vx2+vy22.

 

Заканчивая разговор о скорости, следует детальнее рассмотреть наивысшую точку траектории, точку, ордината которой равна максимальной высоте подъёма: y = H.
 

Как видно из рисунка 1, вектор мгновенной скорости v1 в наивысшей точке траектории будет направлен строго горизонтально. Это значит, что его проекция на ось ординат будет равна нулю:

v1y=0,

 

тогда справедливо следующее равенство:

 

v1=v1x=v2x=v0x=vx.

 

Используя соотношение v1y=0, можно найти время подъёма тела на максимальную высоту. Для этого воспользуемся формулой выше, подставив значения скорости, соответствующие данной точке траектории:

 

v1y=v0y+gy·t0=v0y-g·tv0y=g·t.

 

Выразим из этой формулы время:

t=v0yg,

 

где t с — время подъёма тела на максимальную высоту H;
v0y м/с — проекция начальной скорости на ось OY;
g = 10 м/с2 — модуль ускорения свободного падения.

 

Так как при описании баллистического движения мы пренебрегаем потерями энергии, время подъёма на максимальную высоту t будет равно времени падения тела t, тогда всё время полёта tп можно найти по следующей формуле:

 

tп=2·t=2·v0yg.

Законы изменения координат и перемещение тела, брошенного под углом к горизонту

Мы уже выяснили, что проекция ускорения тела на ось ОХ при баллистическом движении равна нулю gx = 0, поэтому вдоль оси абсцисс тело движется равномерно.
 

Тогда закон изменения координаты х такого тела будет иметь следующий вид:
 

x=x0+vx·t.
 

В точке падения тела на землю абсцисса данной точки будет равна дальности полёта L. Дальность полёта — это проекция перемещения тела на ось ОХ — rx. Перемещение при равномерном движении равно произведению скорости на время движения. В точке с координатой х = L тело окажется через время t=tп:
 

L=vx·tп.
 

Вдоль оси ординат тело движется равноускоренно с ускорением g = 10 м/с2.
 

Тогда закон изменения координаты y такого тела будет иметь следующий вид:

 

y=y0+v0y·t+gy·t22.

 

Максимальная высота подъёма H соответствует проекции перемещения тела на ось OY — ry.
 

Перемещение при равноускоренном движении находится по следующей формуле:
 

r=v0·t+a·t22.

 

В наивысшей точке тело окажется в момент времени t=t, при этом вдоль оси ординат тело движется со скоростью vy и с ускорением gy, тогда формула выше принимает следующий вид:
 

H=v0y·t+gy·t22.

 

При явной подстановке t в формулу для максимальной высоты подъёма и tп в формулу для дальности полёта, можно получить следующие формулы:


H=v02·sin2(α)2g;L=v02·sin(2α)g.

Пример решения задачи


Камень брошен под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 

100 м/с. Найти:
 

а) дальность полёта;
б) максимальную высоту, на которую поднимется тело;
в) полное время движения;
г) конечную скорость камня;
д) координаты тела через время t = 2 c.

 

Потерями энергии в окружающую среду пренебречь; принять, что тело начинает движение из точки с координатами x0 = 0, y0 = 0.


Решение

 

1. Найдём проекции начальной скорости на координатные оси по формулам:

 

v0x=cosα·v0=cos30°·10086,6 м/с;

 

v0y=sinα·v0=sin30°·100=50 м/с.

 

2. Найдём время подъёма камня на максимальную высоту по формуле:

 

t=v0yg=5010=5 с.

 

Тогда всё время движения составляет

 

tп=2·t=2·5=10 с.

 

3. Найдём дальность полёта по формуле:

 

L=vx·tп=86,6·10=866 м.

 

4. Найдём максимальную высоту, на которую поднимется тело, по формуле:

 

H=v0y·t+gy·t22=50·5+-10·522=125 м.

 

5. Так как потерями энергии по условию задачи можно пренебречь, в конце движения тело разовьёт скорость, равную начальной скорости:

 

v=v0=100 м/с.

 

6. Зная законы изменения координат, рассчитаем координаты тела в момент времени t = 2 c:

 

x(2)=x0+vx·t=0+86,6·2=173,2 м;

 

y(2)=y0+v0y·t+gy·t22=0+50·2+-10·222=80 м.

 

Ответ: а) L=866 м; б) H=125 м; в) tп=10 с; г) v=100 м/с

д) x(2)=173,2 мy(2)=80 м.


Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

Используем данные из приведённого примера для построения траектории движения тела.
 

Рассчитаем координаты тела в разные моменты времени, занесём полученные и уже известные при решении задачи данные в таблицу 1.
 

Таблица 1. Координаты тела в разные моменты времени

Время t

t = 0

t = 2

t = 5

t = 8

t = 10

Координата х, м

0

173,2

433

692,8

866

Координата y, м

0

80

125

80

0

 

Отметим полученные точки на координатной плоскости и нарисуем траекторию движения данного тела (рис. 2).

Рис. 2. Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту Рис. 2. Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

Из полученного рисунка видно, что траектория баллистического движения — парабола. Вектор мгновенной скорости в любой момент времени направлен по касательной к траектории движения тела.
 

Следует обратить внимание на симметричность рисунка: мы уже говорили о том, что конечная скорость по модулю будет равна начальной v2=v0, а время движения вверх равно времени движения вниз t=t. Более того, скорость на одинаковой высоте также будет одинакова: так, в моменты времени t = 2 c и t = 8 c тело находится на высоте 80 м, это значит, что мгновенные скорости в эти моменты времени также будут равны по модулю v(2)=v(8).

 

Итоги

 

  • Мгновенную скорость тела, брошенного под углом к горизонту, в любой момент времени можно найти через проекции вектора скорости на координатные оси: v=vx2+vy22.
  • Зная начальную скорость v0 и угол α между вектором v0 и положительным направлением оси ОХ, проекции данного вектора на координатные оси можно найти, используя тригонометрические функции: v0x=cosα·v0v0y=sinα·v0.
  • Вдоль оси ОХ тело, брошенное под углом к горизонту, движется равномерно: vx=v0x.
  • Вдоль оси OY тело движется равноускоренно с ускорением g = 10 м/с2vy=v0y+gy·t.
  • В наивысшей точке траектории вектор мгновенной скорости v направлен строго горизонтально, поэтому в данной точке его проекция на ось OY равна нулю.
  • Время подъёма на максимальную высоту H можно найти через проекцию начальной скорости на ось ординат: t=v0yg.
  • Полное время движения t тела, брошенного под углом к горизонту, в два раза больше времени движения тела вверх:  tп=2·t=2·v0yg.
  • Законы изменения координат тела, брошенного под углом к горизонту, имеют следующий вид: x=x0+vx·ty=y0+v0y·t+gy·t22.
  • Дальность полёта равна произведению проекции скорости на ось ОХ и полного времени движения тела: L=vx·tп=v02sin2αg.
  • Максимальная высота подъёма соответствует перемещению тела вдоль оси ординат: H=v0y·t+gy·t22=v02sin2α2g.


Упражнение 1

 

1. Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 

200 м/с. Найти:


а) дальность полёта;
б) максимальную высоту, на которую поднимется тело;
в) полное время движения;
г) скорость тела через 4 с от начала движения;
д) координаты тела через время t = 4 c.
 

Потерями энергии в окружающую среду пренебречь; принять, что тело начинает движение из точки с координатами x0 = 0, y0 = 0.


Контрольные вопросы

 

1. Что такое баллистическое движение?
2. Тело брошено под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Через 16 с тело упало на землю. Сколько секунд тело летело вверх? В какой момент времени вектор мгновенной скорости тела направлен строго горизонтально?
3. Камень брошен под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. На высоте 500 м мгновенная скорость тела оказалась направлена строго горизонтально. Сколько времени длился полёт?


Ответы

 

Упражнение 1

 

1. а) L=3 464 м

б) H=1 500 м

в) tп=34,64 с 

г) v(4)=167 м/с

д) x(4)=400 мy(4)=612,8 м


Следующий урок
Прямолинейное движение. Прямолинейное равномерное движение и прямолинейное равноускоренное движение. Решение задач
Кинематика
Урок подготовил(а)
Андрей Михайлович
Андрей Михайлович
Учитель физики
Опыт работы: 12 лет
    Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

    Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

    Отзывы об уроке:
    Пока никто не оставил отзыв об этом уроке