Конспект урока: Криволинейное движение. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Баллистическое движение

Примером движения тела, брошенного под углом к горизонту, служит вылет снаряда из пушки: сначала снаряд летит вверх, поднимается на некоторую, максимально возможную при данной начальной скорости высоту и начинает падать на землю. Траектория движения такого тела представляет собой параболу, само движение называется баллистическим.
 

Если пренебречь силами сопротивления воздуха и другими возможными потерями, движение тела, брошенного под углом к горизонту, будет обусловлено только действием силы тяжести, следовательно, ускорение тела будет равно ускорению свободного падения g = 10 м/с².

Рассмотрим законы изменения координат и скорости камня, брошенного под углом к горизонту (рис. 1).

Рис. 1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Система отсчёта связана с Землёй, за начало отсчёта примем место, откуда бросили камень. Начальные координаты тела х₀ = 0 м, y₀ = 0 м.

Максимальная высота, на которую поднимается камень во время полёта, — H, максимальное расстояние, на которое тело сместится вдоль оси ОХ во время движения — дальность полёта, — L. Начальный угол между вектором начальной скорости ${\overrightarrow{v}}_0$ и положительным направлением оси ОХ — $\alpha$.

Скорость и время движения тела, брошенного под углом к горизонту

Прежде всего, рассмотрим, как изменяется скорость тела в процессе движения.
 

В начальный момент времени вектор начальной скорости ${\overrightarrow{v}}_0$ направлен под углом $\alpha$к горизонту. В процессе движения изменяется и численное значение, и направление вектора скорости, поэтому, говоря о скорости, мы будем иметь мгновенную скорость тела. Так как баллистическое движение является криволинейным, вектор скорости $\overrightarrow{v}$будет направлен по касательной к траектории тела в любой момент времени.
 

Проекции вектора начальной скорости на координатные оси можно найти, используя тригонометрические функции:

$v_{0x}=\cos \left(\alpha \right)·v_0$;

$v_{0y}=\sin \left(\alpha \right)·v_0$.

Как было сказано выше, тело движется только под действием силы тяжести, поэтому ускорение тела $\overrightarrow{a}$ равно ускорению свободного падения $\overrightarrow{g}$. Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз, поэтому проекция ускорения на ось ОХ равна нулю g_x = 0. Следовательно, проекция скорости на ось абсцисс не меняется с течением времени $v_x=\mathrm{const}$: проекция начальной скорости на ось ОХ равна проекциям скорости на ось ОХ в любой момент времени:

$v_{0x}=v_{1x}=v_{2x}=v_x$.

Проекция ускорения на ось ординат не равна нулю и имеет знак «−», так как вектор ускорения направлен противоположно оси OY: g_y = −10 м/с². Вдоль оси OY тело движется равноускоренно, поэтому применим закон изменения скорости для равноускоренного движения:

$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}·t$.

Так как расчёты ведутся с проекциями, а не с векторами, заменим в формуле все векторные величины на их проекции:

$v_y=v_{0y}+g_y·t$.

Обратите внимание, что до достижения телом точки с координатой y = H проекции скорости и ускорения на ось OY имеют противоположные знаки: $v_y>0$, $v_{0y}>0$, $g_y<0$, поэтому скорость тела на данном участке траектории уменьшается.
 

После прохождения наивысшей точки траектории проекции скорости и ускорения на ось OY будут иметь одинаковые знаки: $v_y<0$, $v_{0y}>0$, $g_y<0$, следовательно, на этом участке скорость тела будет увеличиваться.
 

В точке приземления тело достигнет скорости, которая будет равна по модулю начальной скорости: $v_0=v_2$.

Модуль мгновенной скорости в любой момент времени можно найти по уже известной вам формуле:

$v=\sqrt[2]{{v_x}^2+{v_y}^2}$.

Заканчивая разговор о скорости, следует детальнее рассмотреть наивысшую точку траектории, точку, ордината которой равна максимальной высоте подъёма: y = H.
 

Как видно из рисунка 1, вектор мгновенной скорости $\overrightarrow{v_1}$ в наивысшей точке траектории будет направлен строго горизонтально. Это значит, что его проекция на ось ординат будет равна нулю:

$v_{1y}=0$,

тогда справедливо следующее равенство:

${\overrightarrow{v}}_1={\overrightarrow{v}}_{1x}={\overrightarrow{v}}_{2x}={\overrightarrow{v}}_{0x}={\overrightarrow{v}}_x$.

Используя соотношение $v_{1y}=0$, можно найти время подъёма тела на максимальную высоту. Для этого воспользуемся формулой выше, подставив значения скорости, соответствующие данной точке траектории:

$v_{1y}=v_{0y}+g_y·t\iff 0=v_{0y}-g·t_{\uparrow }\iff v_{0y}=g·t_{\uparrow }$.

Выразим из этой формулы время:

$t_{\uparrow }=\frac{v_{0y}}{g}$,

где $t_{\uparrow }$ с — время подъёма тела на максимальную высоту H;
$v_{0y}$ м/с — проекция начальной скорости на ось OY;
g = 10 м/с² — модуль ускорения свободного падения.

Так как при описании баллистического движения мы пренебрегаем потерями энергии, время подъёма на максимальную высоту $t_{\uparrow }$ будет равно времени падения тела $t_{\downarrow }$, тогда всё время полёта $t_{\mathrm{п}}$ можно найти по следующей формуле:

$t_{\mathrm{п}}=2·t_{\uparrow }=\frac{2·v_{0y}}{g}$.

Законы изменения координат и перемещение тела, брошенного под углом к горизонту

Мы уже выяснили, что проекция ускорения тела на ось ОХ при баллистическом движении равна нулю g_x = 0, поэтому вдоль оси абсцисс тело движется равномерно.
 

Тогда закон изменения координаты х такого тела будет иметь следующий вид:
 

$x=x_0+v_x·t$.
 

В точке падения тела на землю абсцисса данной точки будет равна дальности полёта L. Дальность полёта — это проекция перемещения тела на ось ОХ — $∆r_x$. Перемещение при равномерном движении равно произведению скорости на время движения. В точке с координатой х = L тело окажется через время $t=t_{\mathrm{п}}$:
 

$L=v_x·t_{\mathrm{п}}$.
 

Вдоль оси ординат тело движется равноускоренно с ускорением g = 10 м/с².
 

Тогда закон изменения координаты y такого тела будет иметь следующий вид:

$y=y_0+v_{0y}·t+\frac{g_y·t^2}{2}$.

Максимальная высота подъёма H соответствует проекции перемещения тела на ось OY — $∆r_y$.
 

Перемещение при равноускоренном движении находится по следующей формуле:
 

$∆r=v_0·t+\frac{a·t^2}{2}$.

В наивысшей точке тело окажется в момент времени $t=t_{\uparrow }$, при этом вдоль оси ординат тело движется со скоростью $v_y$ и с ускорением g_y, тогда формула выше принимает следующий вид:
 

$H=v_{0y}·t_{\uparrow }+\frac{g_y·{t_{\uparrow }}^2}{2}$.

При явной подстановке $t_{\uparrow }$ в формулу для максимальной высоты подъёма и $t_{п}$ в формулу для дальности полёта, можно получить следующие формулы:

$\left\{\begin{array}{l}H=\frac{v_0^2·{\sin }^2\left(\alpha \right)}{2g};\\ L=\frac{v_0^2·\sin \left(2\alpha \right)}{g}.\end{array}\right.$

Пример решения задачи

Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

Используем данные из приведённого примера для построения траектории движения тела.
 

Рассчитаем координаты тела в разные моменты времени, занесём полученные и уже известные при решении задачи данные в таблицу 1.
 

Таблица 1. Координаты тела в разные моменты времени

Отметим полученные точки на координатной плоскости и нарисуем траекторию движения данного тела (рис. 2).

Рис. 2. Траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту

Из полученного рисунка видно, что траектория баллистического движения — парабола. Вектор мгновенной скорости в любой момент времени направлен по касательной к траектории движения тела.
 

Следует обратить внимание на симметричность рисунка: мы уже говорили о том, что конечная скорость по модулю будет равна начальной $v_2=v_0$, а время движения вверх равно времени движения вниз $t_{\uparrow }=t_{\downarrow }$. Более того, скорость на одинаковой высоте также будет одинакова: так, в моменты времени t = 2 c и t = 8 c тело находится на высоте 80 м, это значит, что мгновенные скорости в эти моменты времени также будут равны по модулю $v\left(2\right)=v\left(8\right)$.

Итоги

• Мгновенную скорость тела, брошенного под углом к горизонту, в любой момент времени можно найти через проекции вектора скорости на координатные оси: $v=\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2}$.
• Зная начальную скорость $\overrightarrow{v_0}$ и угол $\alpha$ между вектором $\overrightarrow{v_0}$ и положительным направлением оси ОХ, проекции данного вектора на координатные оси можно найти, используя тригонометрические функции: $v_{0x}=\cos \left(\alpha \right)·v_0$; $v_{0y}=\sin \left(\alpha \right)·v_0$.
• Вдоль оси ОХ тело, брошенное под углом к горизонту, движется равномерно: $v_x=v_{0x}$.
• Вдоль оси OY тело движется равноускоренно с ускорением g = 10 м/с²: $v_y=v_{0y}+g_y·t$.
• В наивысшей точке траектории вектор мгновенной скорости $\overrightarrow{v}$ направлен строго горизонтально, поэтому в данной точке его проекция на ось OY равна нулю.
• Время подъёма на максимальную высоту H можно найти через проекцию начальной скорости на ось ординат: $t_{\uparrow }=\frac{v_{0y}}{g}$.
• Полное время движения t тела, брошенного под углом к горизонту, в два раза больше времени движения тела вверх:  $t_{п}=2·t_{\uparrow }=2·\frac{v_{0y}}{g}$.
• Законы изменения координат тела, брошенного под углом к горизонту, имеют следующий вид: $x=x_0+v_x·t$; $y=y_0+v_{0y}·t+\frac{g_y·t^2}{2}$.
• Дальность полёта равна произведению проекции скорости на ось ОХ и полного времени движения тела: $L=v_x·t_{п}=\frac{v_0^2\sin \left(2\alpha \right)}{g}$.
• Максимальная высота подъёма соответствует перемещению тела вдоль оси ординат: $H=v_{0y}·t_{\uparrow }+\frac{g_y·t^2}{2}=\frac{v_0^2{\sin }^2\left(\alpha \right)}{2g}$.