Конспект урока: Геометрический смысл производной

Рис. 1. График функции y=kx+b
при k>0

Пусть дана линейная функция $f\left(x\right)=kx+b$, графиком которой является прямая. Число $k$ называют угловым коэффициентом прямой. $k=\mathrm{tg} \alpha$, где $\alpha$ — угол между этой прямой и положительным направлением оси $Ox$.

Если $k>0$, то функция возрастает, $\alpha \in (0; \frac{\mathrm{\pi }}{2})$ (рис. 1).                                                          

Если  $k<0$, то функция убывает, $\alpha \in (\frac{\mathrm{\pi }}{2};\mathrm{\pi })$ (рис. 2).

Рис. 2. График функции y=kx+b
при k<0

Рассмотрим график функции $y=f\left(x\right)$. Проведем секущую через любые две точки, например, секущую $AB$ (рис. 3). Пусть $A(x; f(x\left)\right)$, $B(x+h; f(x+h\left)\right)$, $C(x+h; f(x\left)\right)$, $k\left(h\right)$ — угловой коэффициент прямой $AB$. $k\left(h\right)=\mathrm{tg} \alpha$. Так как прямая $AC$ параллельна оси $Ox$, то $\angle BAC=\alpha$. Из прямоугольного треугольника $ABC$ имеем

 $k\left(h\right)=\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{x+h-x}=\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$. 

Рис. 3. Геометрический смысл производной

Зафиксируем $x$, тогда точка $A$ будет неподвижна. Если $h\to 0$, то точка $B$, двигаясь по графику функции, стремится к точке $A$. Предел $k\left(h\right)$ при $h\to 0$ существует и равен производной функции $f\left(x\right)$. Прямая $AB$ стремится занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции $y=f\left(x\right)$. Получили, что

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{tg} \alpha$.

Рис. 4. График функции y=f(x) и касательная к нему

Рассмотрим график функции $y=f\left(x\right)$ и касательную к нему (рис. 4). Выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке $A(x_0; f(x_0\left)\right)$.

Касательной к графику является прямая, общий вид которой $y=kx+b$. Так как $k= \mathrm{tg} \alpha =f^{\text{'}}\left(x_0\right)$, то уравнение касательной можно переписать как $y=f^{\text{'}}\left(x_0\right)x+b$. Точка $A(x_0; f(x_0\left)\right)$ принадлежит касательной, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению касательной, т. е. $f\left(x_0\right)=f^{\text{'}}\left(x_0\right)x_0+b$, откуда $b=f\left(x_0\right)-f^{\text{'}}\left(x_0\right)x_0$'.

Итак, уравнение касательной $y=f^{\text{'}}\left(x_0\right)x+f\left(x_0\right)-f^{\text{'}}\left(x_0\right)x_0$ или $y=f\left(x_0\right)+f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$.

Рис. 5

Напишем уравнение касательной к графику функции $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ в точке с абсциссой, равной $1$. Для этого найдем производную функции $f\left(x\right)$, ее значение в точке $x=1$ и значение самой $f\left(x\right)$ в точке $x=1$: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f\left(1\right)=1$, $f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{1}{2}$. 

Тогда уравнение касательной к графику функции $f\left(x\right)$ имеет вид: 

$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$. 

Найдем точки пересечения прямой $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ с осями координат, точки $A$ и $B$ (рис. 5). Для точки $A$, точки пересечения с осью абсцисс, ордината равна $0$, тогда 

$0=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$, 

$x=-1$. 

То есть у точки $A$ координаты $\left(-1; 0\right)$. Аналогично рассуждая (только теперь абсцисса равна $0$), получим координаты точки $B$: $B \left(0; \frac{1}{2}\right)$. 

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (рис. 5). Проведем $OH\perp AB$, 
$OH$ — искомое расстояние. 

По формуле нахождения расстояния между двумя точками: 

$AB=\sqrt{{\left(-1-0\right)}^2+{\left(0-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. 

Площадь треугольника $AOB$ равна половине произведения $AB$ и $OH$, но, с другой стороны, она же равна и половине произведения катетов $OA$ и $OB$. Тогда имеем равенство 

$OA·OB=AB·OH$, 

откуда $OH=\frac{OA·OB}{AB}$, т. е. $OH=\frac{1}{\sqrt{5}}$. 

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$.