Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Объём прямой призмы

Объем

Объём прямой призмы

План урока

  • Объем прямой призмы;
  • Примеры.

Цели урока

  • Знать формулу объёма прямой призмы;
  • Уметь применять формулу объёма прямой призмы для решения задач.

Разминка

  • Что такое прямая призма?
  • Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны 3, 7 и 11?
  • Как найти объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник?

Объём прямой призмы

 

В основании призмы может лежать любой многоугольник. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям, называется прямой призмой.


Теорема

 

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту, т.е. Vпризмы=Sосн·h.


Чтобы доказать эту теорему воспользуемся основным свойством объёма: объем многогранника, составленного из нескольких тел, равен сумме объёмов этих многогранников, - и формулой объёма прямой призмы в основании которой лежит прямоугольный треугольник.

Рис. 1. Прямая треугольная призма Рис. 1. Прямая треугольная призма

Сначала рассмотрим треугольную прямую призму ABCA1B1C1 (рис. 1). 

 

Построим сечение плоскостью CMNC1 таким образом, что CMAB и C1NA1B1. Плоскость CMNC1 разделила призму ABCA1B1C1 на две прямые призмы CMBC1NB1 и CMAC1NA1, в основаниях которых лежат прямоугольные треугольники CMB и CMA соответственно. Причём, высоты этих призм одинаковые, т.к. высота каждой призмы равна боковому ребру. Тогда 

 

VABCA1B1C1=VCMBC1NB1+VCMAC1NA1=SCMB·h+SCMA·h=

=SCMB+SCMA·h=SABC·h,

 

где треугольник ABC - основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1. Таким образом, доказали, что площадь любой прямой треугольной призмы равна произведению площади основания на высоту.

Рис. 2. Прямая призма Рис. 2. Прямая призма

Теперь рассмотрим произвольную прямую призму 
(рис. 2). Любую призму можно разбить на прямые треугольные призмы, высоты которых равны, а объём равен произведению площади основания на высоту. Тогда объём исходной прямой призмы равен сумме объёмов прямых треугольных призм, т.е. 

 

Vпризмы=S1·h+S2·h+S3·h=S1+S2+S3·h=Sосн·h.


Пример 1

 

Найдите объём правильной шестиугольной призмы (рис. 3), стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 33.


Рис. 3. Правильная шестиугольная призма Рис. 3. Правильная шестиугольная призма

Решение

 

Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. 

Тогда можем воспользоваться формулой объёма прямой призмы Vпризмы=Sосн·h, где h - боковое ребро.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник, площадь которого можно вычислить по формуле S6-угольника=33a22, где a - длина стороны шестиугольника.

Тогда получим

 

Vпризмы=33a22·h=33·422·33=24.

 

Ответ: 24.


Пример 2

 

В сосуд, имеющий форму прямой треугольной призмы, налили 2600 см3 воды и полностью в неё погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 50 см до 54 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.


Решение

Рис. 4. Сосуд, имеющий форму прямой треугольной призмы Рис. 4. Сосуд, имеющий форму прямой треугольной призмы

Объём детали (рис. 4) равен объему вытесненной жидкости, т.е. Vдетали=Vновый-Vисходный.  

Если исходный объём известен, то новый необходимо найти, воспользовавшись формулой объёма прямой призмы Vпризмы=Sосн·h, так как вода налита в сосуд, имеющий форму прямой треугольной призмы.

 

Площадь основания выразим через исходный объём, получим

 

Sосн=Vисходныйh1=260050=52.

 

Тогда получим

 

Vдетали=Sосн·h2-h1=52·(54-50)=208 см3.

 

Ответ: 208 см3.


Упражнение 1

 

1. Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра равны 36.

2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см. 


Контрольные вопросы

 

1. Как найти объём прямой призмы?

2. Объясните, как можно получить формулу объёма прямой призмы.


Ответы

Упражнение 1

 

1. 3.       2. 20 см.

Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла

Объем
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История