Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Объём наклонной призмы

Объем

02.03.2024
3938
0

Объём наклонной призмы

План урока

  • Объём наклонной призмы;
  • Решение заданий.

Цели урока

  • Знать формулу объёма наклонной призмы;
  • Уметь применять формулу объёма наклонной призмы при решении задач.

Разминка

  • Чему равен объём правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а боковое ребро – 4?
  • Объём какого тела равен произведению площади основания на высоту?

Объём наклонной призмы

 

Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию. Объём прямой призмы мы находить умеем. Также известно, что объём тела можно вычислить с помощью интеграла по формуле: V=abSxdx.

Рис. 1. Наклонная треугольная призма

Воспользуемся этой формулой для нахождения объёма наклонной треугольной призмы.

 

Рассмотрим наклонную треугольную призму ABCA2B2C2 (рис. 1). Пусть площадь основания этой призмы S, а высота h. Найдем её объём. Отметим точку O на одном из оснований и направим ось Ox перпендикулярно к основаниям. Построим сечение A1B1C1 перпендикулярно высоте призмы, при этом x - абсцисса точки пересечения этой плоскости с высотой призмы. Обозначим площадь сечения через Sx.

 

Тогда, используя формулу объёма через определенный интеграл, получим, что объём призмы равен:

 

V=0hSxdx.

Обратим внимание, что высота призмы перпендикулярна плоскостям оснований, а также построенной плоскости. Следовательно, плоскости ABC и A1B1C1 параллельны, значит, ACA1C1, ABA1B1 и BCB1C1. Тогда ACC1A1, ABB1A1 и BCC1B1 - параллелограммы, т.е. AC=A1C1, AB=A1B1 и BC=B1C1. Значит, треугольники ABC и A1B1C1 равны, соответственно равны и их площади S=Sx. Таким образом, площадь любого сечения, которое перпендикулярно высоте наклонной призмы, равна площади основания.

 

Тогда формула объёма примет следующий вид:

 

V=0hSxdx=0hSdx=S0hdx=S·x0h=S·h.

 

Получили, что объём наклонной треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Рис. 2. Наклонная призма

Теперь рассмотрим произвольную наклонную призму с площадью основания S и высотой h. Можем разбить эту призму на треугольные призмы с высотой h (на рис. 2. разбиение выпуклой пятиугольной призмы). Объём каждой из них равен произведению площади основания на высоту. Объём призмы равен сумме объёмов треугольных призм, а площадь основания равна сумме площадей оснований треугольных призм. Тогда

 

V=S1·h+S2·h+S3·h=S1+S2+S3·h=S·h.

 

Мы доказали следующую теорему.


Теорема

 

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.


Для наклонной призмы существует и другой способ вычисления его объема.


Теорема

 

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.


Пример 1

 

Найдите объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм ABCD. Сторона AB равна 3 см, сторона AD равна 
5 см, A=45°. Высота призмы равна 8 см.


Решение

 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

 

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.

 

Тогда

 

V=S·h=AB·AD·sinA·h=3·5·22·8=602 см3.

 

Ответ: 602 см3.


Пример 2

 

Дана треугольная призма ABCA1B1C1 (рис. 3). Найдите ее объем, если AB=10 см, BC=10 см и AC=12 см, а боковое ребро AA1=8 см и составляет с плоскостью основания угол α, равный 30°


Решение

Рис. 3. Призма

Опустим перпендикуляр из точки A1 на плоскость ABC. Тогда A1O - высота призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOA1. Катет A1O лежит напротив угла в 30°, значит, A1O=12AA1=4 см.

 

Площадь треугольника ABC найдем с помощью формулы Герона: S=pp-ap-bp-c, где p=a+b+c2=10+10+122=16 см.

 

Тогда

 

V=S·h=pp-ap-bp-c·A1O=

=1616-1016-1016-12·4=192 см3.

 

Ответ: 192 см3.


Упражнение 1

 

1. Найдите объём наклонной призмы, основанием которой является ромб АВСD. Сторона АВ=7 см, A=30°. Высота призмы равна 10 см.

2. Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Найдите ее объем, если в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 10, а боковое ребро AA1=14 и составляет с плоскостью основания угол α, равный 60°


Контрольные вопросы

 

1. Как найти объём призмы?

2. Какой вид имеет призма, если высота совпадает с боковым ребром?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 245 см3.

2. 525. 

Предыдущий урок
Объём пирамиды
Объем
Следующий урок
Объём наклонной призмы
Объем
Поделиться:
  • Направления и пути эволюции

    Биология

  • Междометия

    Русский язык

  • В.В. Маяковский. Любовная лирика

    Литература

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке