Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Объем

02.03.2024
1418
0

Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

План урока

  • Объём шарового сегмента
  • Объём шарового слоя
  • Объём шарового сектора

Цели урока

  • Знать формулы нахождения объёмов шаровых сегмента, слоя и сектора
  • Уметь находить объёмы шаровых сегмента, слоя, сектора

Разминка

  • Как найти объём шара?
  • Во сколько раз уменьшится объём шара, если его диаметр уменьшить в 5 раз?

Рис. 1 Шаровой сегмент

Объём шарового сегмента

 

Для пирамиды и конуса помимо формул объёмов этих фигур, вы изучили формулы для нахождения объёмов усеченных пирамид и конуса. Для шара есть формулы объёмов его частей.

Мы рассмотрим шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор. 
Начнем с шарового сегмента (рис. 1).


Рис. 2 Шаровой сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. 

 

Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.

Круг, получающийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента  (на рис. 2 высоты сегментов обозначены h и h1).  


Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна h то объём V шарового сегмента вычисляется по формуле

 

V=πh2(R-13h).


Докажем эту формулу. 

 

Выберем ось Ox как показано на рисунке 2.  x - расстояние от центра шара до точки, принадлежащей высоте сегмента (центра круга – сечения шара), при этом x может принимать значения от (R-h)  до R. Обозначим за S(x) площадь сечения.

Тогда S(x) можно вычислить по формуле 

 

S(x)=πr12=π(R2-x2).

 

Используя основную формулу для вычисления объёма тел с помощью определенного интеграла, получаем:

 

V=R-hRS(x)dx=R-hRπ(R2-x2)dx=πR2R-hRdx-πR-hRx2dx=

 

=πR2·x|RR-h-π·x33|RR-h=πh2(R-13h).


Пример 1

 

Найдите объем шарового сегмента, если радиус шара равен 6 см, а высота сегмента, составляет треть диаметра шара.


Решение

 

Пусть D диаметр шара. Найдем высоту сегмента:

 

h=13 D=13·2R=23·6=4 (см).

 

Найдем объём сегмента:

 

V=πh2(R-13 h)=π·42·(6-43)=224π3 см3.

 

Ответ:  224π3 см3.


Упражнение 1

 

1. Найдите объем шарового сегмента, если радиус шара равен 12 см, а высота сегмента составляет четверть диаметра шара.

2. Найдите высоту шарового сегмента, если радиус шара равен 4, а объём шарового сегмента равен 27π.


Объём шарового слоя

 

Следующая часть шара, которую мы рассмотрим, — это шаровой слой (рис. 3). Его можно получить, если разрезать шар двумя параллельными плоскостями. Сделав это действие, получим два сегмента и один слой.


Рис. 3 Шаровой слой

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. 

 

Расстояние h между плоскостями называется высотой шарового слоя , а сами сечения – основаниями шарового слоя .

 

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов. Например, объем шарового слоя, изображенного на рисунке 3, равен разности объемов шаровых сегментов с высотами AC и BC:

 

Vслоя=Vсегм АС-Vсегм BС.


Пример 2

 

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру (рис. 4). Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара R равен 3.


Рис. 4 Шаровой слой

Решение

 

Объём слоя найдем как разность объёмов сегмента с высотой AD и сегмента с высотой AC. Пусть D диаметр шара, h1=AD, h2=AC.

 

По условию AC=CD=13 D=2. Тогда h1=4, h2=2.

 

Найдем объём

Vслоя=Vсегм АD-Vсегм AС=

 

=πh12(R-13h1)-πh22(R-13h2)=

 

=π·42(3-43)-π·22(3-23)=52π3.

 

Ответ: 52π3.


Упражнение 2

 

На диаметре шара AB отмечены точки CD, причём AC=14 DAD=34D (D - диаметр шара). Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара R равен 6.


Объём шарового сектора

 

Дадим определение шарового сектора (рис. 5).


Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. 


Рис. 5 Шаровой сектор

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса (рис. 5). 

 

Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h то высота конуса равна (R-h), а площадь основания конуса равна: 

 

Sосн=πr2=π(R2-(R-h)2)=πh(2R-h).

 

Вычислим объём шарового сектора.

 

Vсектора=Vсегмента+Vконуса,

 

Vсектора=πh2(R-13 h)+13πh(2R-h)·(R-h)=23πR2h.


Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна h, то объём V шарового сектора вычисляется по формуле

 

V=23πR2h.


Пример 3

 

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 4, а радиус шара равен 5 (рис. 6).


Рис. 6 Шаровой сектор

Решение

 

Найдем высоту h шарового сегмента. В прямоугольном треугольнике ACO по теореме Пифагора найдем OC:

 

OC=(R2-r2)=(52-42)=3.

 

Тогда h=BC=BO-OC=5-3=2

Найдем объём шарового сектора:

 

V=23πR2h=23π·52·2=100π3.

 

Ответ: 100π3.


Упражнение 3

 

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 5 см, а радиус шара равен 13 см.


Контрольные вопросы

 

1. Чем шаровой сегмент отличается от шарового сектора?

2. Как можно получить шаровой слой?

3. Как найти объём этих частей шара?


Ответы

 

Упражнение 1

 

1. 360π 2. 3.

 

Упражнение 2

 

198π.

 

Упражнение 3

 

 338π3. 


 

Предыдущий урок
Объём пирамиды
Объем
Следующий урок
Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла
Объем
Поделиться:
  • Статистическая вероятность

    Алгебра

  • Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Умножение вектора на число

    Геометрия

  • Язык и речь. Речевая деятельность. Правильность русской речи. Типы норм ЛЯ (орфоэпические, орфографические, словообразовательные, лексические, стилистические)

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке