Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

План урока

Объём шарового сегмента
Объём шарового слоя
Объём шарового сектора

Цели урока

Знать формулы нахождения объёмов шаровых сегмента, слоя и сектора
Уметь находить объёмы шаровых сегмента, слоя, сектора

Разминка

Как найти объём шара?
Во сколько раз уменьшится объём шара, если его диаметр уменьшить в 5 раз?

Рис. 1 Шаровой сегмент

Объём шарового сегмента

Для пирамиды и конуса помимо формул объёмов этих фигур, вы изучили формулы для нахождения объёмов усеченных пирамид и конуса. Для шара есть формулы объёмов его частей.

Мы рассмотрим шаровой сегмент, шаровой слой и шаровой сектор.
Начнем с шарового сегмента (рис. 1).

Рис. 2 Шаровой сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Секущая плоскость разбивает шар на два шаровых сегмента.

Круг, получающийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высотами сегмента (на рис. 2 высоты сегментов обозначены $h$ и $h_{1}$ ).

Если радиус шара равен $R$ , а высота сегмента равна $h$ то объём $V$ шарового сегмента вычисляется по формуле

$V = π h^{2} (R - \frac{1}{3} h) .$

Докажем эту формулу.

Выберем ось $O x$ как показано на рисунке 2. $x -$ расстояние от центра шара до точки, принадлежащей высоте сегмента (центра круга – сечения шара), при этом $x$ может принимать значения от $(R - h)$ до $R$ . Обозначим за $S (x)$ площадь сечения.

Тогда $S (x)$ можно вычислить по формуле

$S (x) = π r_{1}^{2}$ $= π (R^{2} - x^{2}) .$

Используя основную формулу для вычисления объёма тел с помощью определенного интеграла, получаем:

$V =$ $\int_{R - h}^{R}$ $S (x) d x =$ $\int_{R - h}^{R}$ $π (R^{2} - x^{2}) d x =$ $π R^{2}$ $\int_{R - h}^{R}$ $d x - π$ $\int_{R - h}^{R}$ $x^{2} d x =$

$= π R^{2} \cdot$ $x {|^{R}}_{R - h}$ $- π \cdot \frac{x^{3}}{3}$ ${|^{R}}_{R - h}$ $= π h^{2}$ $(R - \frac{1}{3} h) .$

Пример 1

Найдите объем шарового сегмента, если радиус шара равен 6 см, а высота сегмента, составляет треть диаметра шара.

Решение

Пусть $D$ диаметр шара. Найдем высоту сегмента:

$h = \frac{1}{3} D =$ $\frac{1}{3} \cdot 2 R =$ $\frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ (см).

Найдем объём сегмента:

$V = π h^{2}$ $(R - \frac{1}{3} h) =$ $π \cdot 4^{2} \cdot (6 - \frac{4}{3}) =$ $\frac{224 π}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{224 π}{3}$ см³.

Упражнение 1

1. Найдите объем шарового сегмента, если радиус шара равен 12 см, а высота сегмента составляет четверть диаметра шара.

2. Найдите высоту шарового сегмента, если радиус шара равен 4, а объём шарового сегмента равен $27 π$ .

Объём шарового слоя

Следующая часть шара, которую мы рассмотрим, — это шаровой слой (рис. 3). Его можно получить, если разрезать шар двумя параллельными плоскостями. Сделав это действие, получим два сегмента и один слой.

Рис. 3 Шаровой слой

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Расстояние $h$ между плоскостями называется высотой шарового слоя , а сами сечения – основаниями шарового слоя .

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов. Например, объем шарового слоя, изображенного на рисунке 3, равен разности объемов шаровых сегментов с высотами $A C$ и $B C$ :

$V_{с л о я} = V_{с е г м А С} - V_{с е г м B С .}$

Пример 2

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру (рис. 4). Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара $R$ равен 3.

Рис. 4 Шаровой слой

Решение

Объём слоя найдем как разность объёмов сегмента с высотой $A D$ и сегмента с высотой $A C$ . Пусть $D$ диаметр шара, $h_{1} = A D,$ $h_{2} = A C .$

По условию $A C = C D$ $= \frac{1}{3} D = 2 .$ Тогда $h_{1} = 4,$ $h_{2} = 2 .$

Найдем объём

$V_{с л о я} = V_{с е г м А D} - V_{с е г м A С} =$

$= π h_{1}^{2}$ $(R - \frac{1}{3} h_{1})$ $- π h_{2}^{2}$ $(R - \frac{1}{3} h_{2}) =$

$= π \cdot 4^{2}$ $(3 - \frac{4}{3})$ $- π \cdot 2^{2} (3 - \frac{2}{3})$ $= \frac{52 π}{3}$ .

Ответ: $\frac{52 π}{3}$ .

Упражнение 2

На диаметре шара $A B$ отмечены точки $C$ , $D$ , причём $A C = \frac{1}{4} D$ , $A D = \frac{3}{4} D$ ( $D -$ диаметр шара). Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара $R$ равен 6.

Объём шарового сектора

Дадим определение шарового сектора (рис. 5).

Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим $90 °$ , вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Рис. 5 Шаровой сектор

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса (рис. 5).

Если радиус шара равен $R$ , а высота шарового сегмента равна $h$ то высота конуса равна $(R - h)$ , а площадь основания конуса равна:

$S_{о с н} =$ $π r^{2} =$ $π (R^{2} - (R - h)^{2})$ $= π h (2 R - h)$ .

Вычислим объём шарового сектора.

$V_{с е к т о р а} = V_{с е г м е н т а} + V_{к о н у с а,}$

$V_{с е к т о р а} = π h^{2}$ $(R - \frac{1}{3} h)$ $+ \frac{1}{3} π h (2 R - h)$ $\cdot (R - h) =$ $\frac{2}{3} π R^{2} h .$

Если радиус шара равен $R$ , а высота шарового сегмента равна $h$ , то объём $V$ шарового сектора вычисляется по формуле

$V = \frac{2}{3} π R^{2} h .$

Пример 3

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 4, а радиус шара равен 5 (рис. 6).

Рис. 6 Шаровой сектор

Решение

Найдем высоту $h$ шарового сегмента. В прямоугольном треугольнике $A C O$ по теореме Пифагора найдем $O C$ :

$O C = \sqrt{(R^{2} - r^{2})}$ $= \sqrt{(5^{2} - 4^{2})} = 3 .$

Тогда $h = B C = B O$ $- O C = 5 - 3 = 2$

Найдем объём шарового сектора:

$V =$ $\frac{2}{3} π R^{2} h =$ $\frac{2}{3}$ $π \cdot 5^{2} \cdot 2$ $= \frac{100 π}{3} .$

Ответ: $\frac{100 π}{3} .$

Упражнение 3

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 5 см, а радиус шара равен 13 см.

Контрольные вопросы

1. Чем шаровой сегмент отличается от шарового сектора?

2. Как можно получить шаровой слой?

3. Как найти объём этих частей шара?

Ответы

Упражнение 1

1. $360 π$ 2. 3.

Упражнение 2

$198 π .$

Упражнение 3

$\frac{338 π}{3} .$

Конспект урока: Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Объем