Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Объём пирамиды

Объем

20.04.2024
1294
0

Объём пирамиды

План урока

  • Объём пирамиды;
  • Объём усеченной пирамиды;
  • Решение заданий.

Цели урока

  • Знать формулу объёма пирамиды;
  • Знать формулу объёма усеченной пирамиды;
  • Уметь применять формулы объёмов при решении задач.

Разминка

  • Что такое пирамида?
  • Какую пирамиду называют правильной?
  • Как найти объём тела с помощью определенного интеграла?

Объём пирамиды

Рис. 1. Призма и пирамида

Обратимся к рисунку 1. Рассмотрим прямую призму ABCDEA1B1C1D1E1. Соединим вершины нижнего основания ABCDE с вершиной A1. Получили пирамиду A1ABCDE. Основания призмы и пирамиды совпадают, ребро AA1 – высота обоих многогранников. Но объём призмы больше объёма пирамиды (занимает больше места в пространстве). Значит, формула нахождения объёма пирамиды отличается от формулы нахождения объёма призмы. Получим эту формулу.

Рис. 2. Пирамида SABC

Рассмотрим треугольную пирамиду SABC с площадью основания S и высотой h=SO (рис. 2). Проведем плоскость MNK перпендикулярно высоте, где P - точка пересечения высоты SO с этой плоскостью. Так как плоскости ABC и MNK перпендикулярны SO, то плоскости ABC и MNK параллельны. Тогда треугольники MNK и ABC подобны с коэффициентом подобия k=MNAB. Отсюда SMNKSABC=k2.

Пара треугольников SMN и SAB подобны и MNAB=SMSA. Также подобны прямоугольные треугольники SPM и SOA.  Из подобия этих треугольников следует отношение SMSA=SPSO. Собирая все отношения, получим k=SPSO.

 

Ясно, что коэффициент подобия зависит от выбора плоскости сечения. Обозначим SP=x, где x - расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения (0xh), построенного перпендикулярно высоте, а S(x) - площадь этого сечения, причём Sx=S·xh2.

 

Тогда, используя формулу объёма с помощью определенного интеграла, получим:

 

VSABC=0hSxdx=0hS·xh2dx=Sh20hx2dx=Sh2·x330h=13Sh.

Рис. 3. Пирамида

Получили, что объём треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

 

Рассмотрим произвольную пирамиду с высотой h и площадью основания S. Разобьём её на треугольные пирамиды с общей высотой h (на рис. 3 разбиение выпуклой пятиугольной пирамиды). Объём каждой из них равен одной трети произведения площади основания на высоту. Объём всей пирамиды равен сумме объёмов треугольных пирамид, а площадь основания равна сумме площадей оснований треугольных пирамид.

 

V=13S1h+13S2h+13S3h=13S1+S2+S3h=13Sh.

 

Доказали теорему про объём пирамиды.


Теорема

 

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.


Пример 1

 

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.


Решение

Рис. 4. Правильная четырехугольная пирамида

Найдем сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды (рис. 4). Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где SA=5SO=2. Тогда по теореме Пифагора:

 

AO=52-22=21.

 

Так как O - точка пересечения диагоналей квадрата, то AC=2AO=221.

 По формуле диагонали квадрата AC=AB·2получим, что 

 

AB=AC2=2212=42.

 

Тогда объём пирамиды равен:

 

V=13Sh=13AB2h=13·422·2=28.

 

Ответ: 28.


Упражнение 1

 

1. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.

2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите объём пирамиды.


Объём усечённой пирамиды

 

У доказанной выше теоремы есть следствие. С помощью следующей формулы легко найти объём усеченной пирамиды.


Следствие

 

Объём V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и S1 вычисляется по формуле

 

V=13hS+S1+S·S1.


Формула имеет такой вид, так как усеченная пирамида получается из обычной пирамиды путем отсечения от неё меньшей пирамиды. Тогда её объём равен разности объёмов данной пирамиды и отсеченной.


Пример 2

 

Найдите объём правильной четырехугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 3 и 2, а высота равна 5.


Решение

 

Основаниями являются квадраты, поэтому S=32=9 и S1=22=4.

 

Тогда объём равен:

 

V=13·5·9+4+9·4=953.

 

Ответ: 953.


Упражнение 2

 

Найдите объём правильной четырехугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 7 и 5, а высота равна 12.


Контрольные вопросы

 

1. Как найти объём пирамиды?

2. Во сколько раз объём пирамиды меньше объема призмы, если высоты и площади оснований этих фигур равны?

3. Как найти объём усеченной пирамиды?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 16. 

2. 1029332.

 

Упражнение 2

 

436.

Предыдущий урок
Объём цилиндра
Объем
Следующий урок
Объём прямой призмы
Объем
Поделиться:
  • А.И.Куприн. «Поединок»: автобиографический и гуманистический характер повести

    Литература

  • Гражданское общество и правовое государство

    Обществознание

  • Политическая элита и политическое лидерство

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке