Объём пирамиды

План урока

Объём пирамиды;
Объём усеченной пирамиды;
Решение заданий.

Цели урока

Знать формулу объёма пирамиды;
Знать формулу объёма усеченной пирамиды;
Уметь применять формулы объёмов при решении задач.

Разминка

Что такое пирамида?
Какую пирамиду называют правильной?
Как найти объём тела с помощью определенного интеграла?

Объём пирамиды

Рис. 1. Призма и пирамида

Обратимся к рисунку 1. Рассмотрим прямую призму $A B C D E A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1}$ . Соединим вершины нижнего основания $A B C D E$ с вершиной $A_{1}$ . Получили пирамиду $A_{1} A B C D E .$ Основания призмы и пирамиды совпадают, ребро $A A_{1}$ – высота обоих многогранников. Но объём призмы больше объёма пирамиды (занимает больше места в пространстве). Значит, формула нахождения объёма пирамиды отличается от формулы нахождения объёма призмы. Получим эту формулу.

Рис. 2. Пирамида SABC

Рассмотрим треугольную пирамиду $S A B C$ с площадью основания $S$ и высотой $h = S O$ (рис. 2). Проведем плоскость $M N K$ перпендикулярно высоте, где $P$ - точка пересечения высоты $S O$ с этой плоскостью. Так как плоскости $A B C$ и $M N K$ перпендикулярны $S O,$ то плоскости $A B C$ и $M N K$ параллельны. Тогда треугольники $M N K$ и $A B C$ подобны с коэффициентом подобия $k = \frac{M N}{A B}$ . Отсюда $\frac{S_{M N K}}{S_{A B C}} = k^{2}$ .

Пара треугольников $S M N$ и $S A B$ подобны и $\frac{M N}{A B} = \frac{S M}{S A}$ . Также подобны прямоугольные треугольники $S P M$ и $S O A$ . Из подобия этих треугольников следует отношение $\frac{S M}{S A} = \frac{S P}{S O}$ . Собирая все отношения, получим $k = \frac{S P}{S O}$ .

Ясно, что коэффициент подобия зависит от выбора плоскости сечения. Обозначим $S P = x$ , где $x$ - расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения $(0 \leq x \leq h)$ , построенного перпендикулярно высоте, а $S (x)$ - площадь этого сечения, причём $S (x) = S \cdot {(\frac{x}{h})}^{2}$ .

Тогда, используя формулу объёма с помощью определенного интеграла, получим:

$V_{S A B C} = \int_{0}^{h} S (x) d x = \int_{0}^{h} S \cdot {(\frac{x}{h})}^{2} d x = \frac{S}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x = \frac{S}{h^{2}} \cdot {\frac{x^{3}}{3}}_{0}^{h} = \frac{1}{3} S h$ .

Рис. 3. Пирамида

Получили, что объём треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Рассмотрим произвольную пирамиду с высотой $h$ и площадью основания $S$ . Разобьём её на треугольные пирамиды с общей высотой $h$ (на рис. 3 разбиение выпуклой пятиугольной пирамиды). Объём каждой из них равен одной трети произведения площади основания на высоту. Объём всей пирамиды равен сумме объёмов треугольных пирамид, а площадь основания равна сумме площадей оснований треугольных пирамид.

$V = \frac{1}{3} S_{1} h + \frac{1}{3} S_{2} h + \frac{1}{3} S_{3} h = \frac{1}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{3}) h = \frac{1}{3} S h$ .

Доказали теорему про объём пирамиды.

Теорема

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Пример 1

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.

Решение

Рис. 4. Правильная четырехугольная пирамида

Найдем сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды (рис. 4). Рассмотрим прямоугольный треугольник $S O A,$ где $S A = 5$ , $S O = 2 .$ Тогда по теореме Пифагора:

$A O = \sqrt{5^{2} - 2^{2}} = \sqrt{21}$ .

Так как $O$ - точка пересечения диагоналей квадрата, то $A C = 2 A O = 2 \sqrt{21}$ .

По формуле диагонали квадрата $A C = A B \cdot \sqrt{2}$ , получим, что

$A B = \frac{A C}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{2}} = \sqrt{42}$ .

Тогда объём пирамиды равен:

$V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} A B^{2} h = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{42})}^{2} \cdot 2 = 28$ .

Ответ: 28.

Упражнение 1

1. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.

2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите объём пирамиды.

Объём усечённой пирамиды

У доказанной выше теоремы есть следствие. С помощью следующей формулы легко найти объём усеченной пирамиды.

Следствие

Объём $V$ усеченной пирамиды, высота которой равна $h$ , а площади оснований равны $S$ и $S_{1}$ вычисляется по формуле

$V = \frac{1}{3} h (S + S_{1} + \sqrt{S \cdot S_{1}})$ .

Формула имеет такой вид, так как усеченная пирамида получается из обычной пирамиды путем отсечения от неё меньшей пирамиды. Тогда её объём равен разности объёмов данной пирамиды и отсеченной.

Пример 2

Найдите объём правильной четырехугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 3 и 2, а высота равна 5.

Решение

Основаниями являются квадраты, поэтому $S = 3^{2} = 9$ и $S_{1} = 2^{2} = 4$ .

Тогда объём равен:

$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot (9 + 4 + \sqrt{9 \cdot 4}) = \frac{95}{3}$ .

Ответ: $\frac{95}{3}$ .

Упражнение 2

Найдите объём правильной четырехугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 7 и 5, а высота равна 12.

Контрольные вопросы

1. Как найти объём пирамиды?

2. Во сколько раз объём пирамиды меньше объема призмы, если высоты и площади оснований этих фигур равны?

3. Как найти объём усеченной пирамиды?

Ответы

Упражнение 1

1. 16.

2. $\frac{1029 \sqrt{3}}{32}$ .

Упражнение 2

436.

Конспект урока: Объём пирамиды

Объем

Объём пирамиды

Объём усечённой пирамиды