- Объем прямой призмы;
- Решение заданий.
- Знать формулу объёма прямой призмы;
- Уметь применять формулу объёма прямой призмы при решении задач.
- Что такое прямая призма?
- Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны 3, 7 и 11?
- Как найти объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник?
Объём прямой призмы
В основании призмы может лежать любой многоугольник. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям, называется прямой призмой.
Теорема
Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту, т.е. .
Чтобы доказать эту теорему, воспользуемся одним из свойств объёма: объем многогранника, составленного из нескольких тел, равен сумме объёмов этих многогранников, и формулой объёма прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.
![](/upload/HhvjCD43K7JL_1.jpg)
Сначала рассмотрим треугольную прямую призму (рис. 1).
Построим сечение плоскостью таким образом, что и . Плоскость разделила призму на две прямые призмы и , в основаниях которых лежат прямоугольные треугольники и соответственно. Причём, высоты этих призм одинаковые, т.к. высота каждой призмы равна боковому ребру. Тогда
,
где треугольник - основание прямой треугольной призмы Таким образом, доказали, что площадь любой прямой треугольной призмы равна произведению площади основания на высоту.
![](https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/MLZKa0bP7253_image.png)
Теперь рассмотрим произвольную прямую призму
(рис. 2). Любую призму можно разбить на прямые треугольные призмы, высоты которых равны, а объёмы равны произведению площади основания на высоту. Тогда объём исходной прямой призмы равен сумме объёмов прямых треугольных призм, т.е.
.
Пример 1
Найдите объём правильной шестиугольной призмы (рис. 3), стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны .
![](https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/zGWSz9sBRuMd_image.png)
Решение
Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
Воспользуемся формулой объёма прямой призмы , где - боковое ребро.
В основании призмы лежит правильный шестиугольник, площадь которого можно вычислить по формуле , где - длина стороны шестиугольника.
Тогда получим
.
Ответ: 24.
Пример 2
В сосуд, имеющий форму прямой треугольной призмы, налили 2600 см3 воды и полностью в неё погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 50 см до 54 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в .
Решение
![](https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/9si4VWx04L49_image.png)
Пусть см, см.
Объём детали (рис. 4) равен объему вытесненной жидкости, т.е. .
Если исходный объём известен, то новый необходимо найти, воспользовавшись формулой объёма прямой призмы , так как вода налита в сосуд, имеющий форму прямой треугольной призмы.
Площадь основания выразим через исходный объём, получим
.
Тогда получим
.
Ответ: 208 см3.
Упражнение 1
1. Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра равны .
2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.
Контрольные вопросы
1. Как найти объём прямой призмы?
2. Объясните, как можно получить формулу объёма прямой призмы.
Упражнение 1
1. 3. 2. 20 см.