Объём наклонной призмы

План урока

Объём наклонной призмы;
Решение заданий.

Цели урока

Знать формулу объёма наклонной призмы;
Уметь применять формулу объёма наклонной призмы при решении задач.

Разминка

Чему равен объём правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а боковое ребро – 4?
Объём какого тела равен произведению площади основания на высоту?

Объём наклонной призмы

Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию. Объём прямой призмы мы находить умеем. Также известно, что объём тела можно вычислить с помощью интеграла по формуле: $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .

Рис. 1. Наклонная треугольная призма

Воспользуемся этой формулой для нахождения объёма наклонной треугольной призмы.

Рассмотрим наклонную треугольную призму $A B C A_{2} B_{2} C_{2}$ (рис. 1). Пусть площадь основания этой призмы $S$ , а высота $h$ . Найдем её объём. Отметим точку $O$ на одном из оснований и направим ось $O x$ перпендикулярно к основаниям. Построим сечение $A_{1} B_{1} C_{1}$ перпендикулярно высоте призмы, при этом $x$ - абсцисса точки пересечения этой плоскости с высотой призмы. Обозначим площадь сечения через $S (x)$ .

Тогда, используя формулу объёма через определенный интеграл, получим, что объём призмы равен:

$V = \int_{0}^{h} S (x) d x$ .

Обратим внимание, что высота призмы перпендикулярна плоскостям оснований, а также построенной плоскости. Следовательно, плоскости $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ параллельны, значит, $A C ∥ A_{1} C_{1}, A B ∥ A_{1} B_{1}$ и $B C ∥ B_{1} C_{1}$ . Тогда $A C C_{1} A_{1}, A B B_{1} A_{1}$ и $B C C_{1} B_{1}$ - параллелограммы, т.е. $A C = A_{1} C_{1}, A B = A_{1} B_{1}$ и $B C = B_{1} C_{1}$ . Значит, треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ равны, соответственно равны и их площади $S = S (x)$ . Таким образом, площадь любого сечения, которое перпендикулярно высоте наклонной призмы, равна площади основания.

Тогда формула объёма примет следующий вид:

$V = \int_{0}^{h} S (x) d x = \int_{0}^{h} S d x = S \int_{0}^{h} d x = S \cdot x_{0}^{h} = S \cdot h$ .

Получили, что объём наклонной треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Рис. 2. Наклонная призма

Теперь рассмотрим произвольную наклонную призму с площадью основания $S$ и высотой $h$ . Можем разбить эту призму на треугольные призмы с высотой $h$ (на рис. 2. разбиение выпуклой пятиугольной призмы). Объём каждой из них равен произведению площади основания на высоту. Объём призмы равен сумме объёмов треугольных призм, а площадь основания равна сумме площадей оснований треугольных призм. Тогда

$V = S_{1} \cdot h + S_{2} \cdot h + S_{3} \cdot h = (S_{1} + S_{2} + S_{3}) \cdot h = S \cdot h$ .

Мы доказали следующую теорему.

Теорема

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Для наклонной призмы существует и другой способ вычисления его объема.

Теорема

Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

Пример 1

Найдите объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм $A B C D$ . Сторона $A B$ равна 3 см, сторона $A D$ равна
5 см, $∠ A = 45 °$ . Высота призмы равна 8 см.

Решение

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.

Тогда

$V = S \cdot h = (A B \cdot A D \cdot \sin A) \cdot h = (3 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 8 = 60 \sqrt{2} с м^{3}$ .

Ответ: $60 \sqrt{2} с м^{3}$ .

Пример 2

Дана треугольная призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ (рис. 3). Найдите ее объем, если $A B = 10$ см, $B C = 10$ см и $A C = 12$ см, а боковое ребро $A A_{1} = 8$ см и составляет с плоскостью основания угол $α$ , равный $30 °$ .

Решение

Рис. 3. Призма

Опустим перпендикуляр из точки $A_{1}$ на плоскость $A B C$ . Тогда $A_{1} O$ - высота призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A O A_{1} .$ Катет $A_{1} O$ лежит напротив угла в $30 °$ , значит, $A_{1} O = \frac{1}{2} A A_{1} = 4$ см.

Площадь треугольника $A B C$ найдем с помощью формулы Герона: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , где $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16$ см.

Тогда

$V = S \cdot h = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \cdot A_{1} O =$

$= \sqrt{16 (16 - 10) (16 - 10) (16 - 12)} \cdot 4 = 192 с м^{3}$ .

Ответ: $192 с м^{3}$ .

Упражнение 1

1. Найдите объём наклонной призмы, основанием которой является ромб $А В С D$ . Сторона $А В = 7$ см, $∠ A = 30 °$ . Высота призмы равна 10 см.

2. Дана треугольная призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ . Найдите ее объем, если в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 10, а боковое ребро $A A_{1} = 14$ и составляет с плоскостью основания угол $α$ , равный $60 °$ .

Контрольные вопросы

1. Как найти объём призмы?

2. Какой вид имеет призма, если высота совпадает с боковым ребром?

Ответы

Упражнение 1

1. 245 см³.

2. 525.

Конспект урока: Объём наклонной призмы

Объем

Объём наклонной призмы