Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Объём наклонной призмы

Объем

Объём наклонной призмы

План урока

  • Объём наклонной призмы;
  • Примеры.

Цели урока

  • Знать формулу объёма наклонной призмы;
  • Уметь применять формулу объёма наклонной призмы для решения задач.

Разминка

  • Чему равен объём правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3, а боковое ребро – 4?
  • Объём какой фигуры равен произведению площади основания на высоту?

Объём наклонной призмы

 

Наклонная призма — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основанию. Объём прямой призмы мы находим умеем. Также известно, что объём тела можно вычислить с помощью интеграла по формуле: V=0hSxdx.

Рис. 1. Наклонная треугольная призма Рис. 1. Наклонная треугольная призма

Воспользуемся этой формулой для нахождения объёма наклонной треугольной призмы.

 

Рассмотрим наклонную треугольную призму ABCA2B2C2 (рис. 1). Пусть площадь основания этой призмы S, а высота h. Найдем её объём. Построим сечение A1B1C1 перпендикулярно высоте призмы, при этом x - абсцисса точки пересечения этой плоскости с высотой призмы. Обозначим площадь плоскости A1B1C1 через Sx.

 

Тогда, используя формулу объёма через определенный интеграл, получим, что объём призмы равен:

 

V=0hSxdx.

Обратим внимание, что высота призмы перпендикулярна плоскостям основания, а также построенной плоскости. Следовательно, плоскости ABC и A1B1C1 параллельны, значит, ACA1C1, ABA1B1 и BCB1C1. Тогда ACC1A1, ABB1A1 и BCC1B1 - параллелограммы, т.е. AC=A1C1, AB=A1B1 и BC=B1C1. Значит, треугольники ABC и A1B1C1 равны, соответственно равны и их площади S=Sx. Таким образом площадь любого сечения, которое перпендикулярно высоте наклонной призмы, равна площади основания.

 

Тогда формула объёма примет следующий вид:

 

V=0hSxdx=0hSdx=S0hdx=S·x0h=S·h.

 

Получили, что объём наклонной треугольной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Рис. 2. Наклонная призма Рис. 2. Наклонная призма

Теперь рассмотрим произвольную наклонную призму с площадью основания S и высотой h. Можем разбить эту призму на треугольные призмы с высотой h (на рис. 2. разбиение выпуклой пятиугольной призмы). Объём каждой из них равен произведению площади основания на высоту. Объём призмы равен сумме объёмов треугольных призм, а площадь основания равна сумме площадей оснований треугольных призм. Тогда

 

V=S1·h+S2·h+S3·h=S1+S2+S3·h=S·h.

 

Мы доказали следующую теорему.


Теорема

 

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.


Пример 1

 

Найдите объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм ABCD. Сторона AB равна 3 см, сторона AD равна 5 см, A=45°. Высота призмы равна 8 см.


Решение

 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

 

Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.

 

Тогда

 

V=S·h=AB·AD·sinA·h=3·5·22·8=602 см3.

 

Ответ: 602 см3.


Пример 2

 

Дана треугольная призма ABCA1B1C1 (рис. 3). Найти ее объем, если AB=10 см, BC=10 см и AC=12 см, а боковое ребро AA1=8 см и составляет с плоскостью основания угол α=30°


Решение

Рис. 3. Призма Рис. 3. Призма

Опустим перпендикуляр из точки A1 на плоскость ABC. Тогда A1O - высоты призмы.

Рассмотрим прямоугольник треугольник AOA1. Катет A1O лежит напротив угла 30°, значит, A1O=12AA1=4 см.

 

Площадь треугольника ABC найдем с помощью формулы Герона: S=pp-ap-bp-c где p=a+b+c2=10+10+122=16 см.

 

Тогда

 

V=S·h=pp-ap-bp-c·A1O=

=1616-1016-1016-12·4=192 см3.

 

Ответ: 192 см3.


Упражнение 1

 

1. Найти объём наклонной призмы, основанием которой является ромб АВСD. Сторона АВ=7 см, 

A=30°. Высота призмы равна 10 см.

2. Дана треугольная призма ABCA1B1C1. Найти ее объем, если в основании лежит равносторонний треугольник со стороной 10, а боковое ребро AA1=14 см и составляет с плоскостью основания угол α=60°


Контрольные вопросы

 

1. Как найти объём призмы?

2. Какой вид имеет призма, если высота совпадает с боковым ребром?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 245. 

2. 525. 

Объём шара

Объем
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История