Конспект урока: Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла

Рис. 1.

Одним из приложений определённого интеграла, который вы изучали в курсе алгебры, является вычисление объёмов тел. Пусть некоторое тело $T$ заключено между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$ (рис. 1). 

Введём систему координат таким образом, чтобы ось $Ox$ была перпендикулярна к плоскостям $\alpha$ и $\beta$.

Введём следующие обозначения:

$a$ и $b$ – абсциссы точек пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с осью $Ox$ соответственно $(a<b)$;

$Ф\left(x\right)$ – сечение тела $T$ плоскостью, перпендикулярной к оси $Ox$ и проходящей через точку с абсциссой $x$, $x\in \left[a; b\right]$;

$S\left(x\right)$ – площадь фигуры $Ф\left(x\right)$.

Будем считать, что тело $T$ такое, что $Ф\left(x\right)$ является либо кругом, либо многоугольником при любом $x$ из отрезка $\left[a; b\right]$ (если $x=a$ и $x=b$, то сечение – точка) и $S\left(x\right)$ является непрерывной функцией на отрезке $[a; b]$.

Рис. 2.

Отметим точки $x_0=a, x_1, x_2, \dots , x_n=b$, разбивающие отрезок $[a; b]$ на $n$ равных отрезков. Через точки $x_i$ проведём плоскости, перпендикулярные к оси $Ox$ (рис. 2). Проведённые плоскости разбивают тело $T$ на $n$ тел: $T_1, T_2, T_3, \dots , T_n$.

Объём тела $T_i$ приближённо равен $S\left(x_i\right)·∆x_i$, где  $∆x_i=\frac{b-a}{n}$.

Объём всего тела можно приближённо вычислить по формуле

$V\approx V_n=$${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$$S\left(x_i\right)·∆x_i$.

Чем больше $n$ (чем меньше $∆x_i$), тем точнее приближённое значение $V_n$, а при $n\to \infty$ (при $∆x_i\to 0$) $V_n\to V$, т.е. $V=\underset{n\to \infty }{lim}{V}_n$. При этом ${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$$S\left(x_i\right)·∆x_i$ является интегральной суммой для непрерывной функции $S\left(x\right)$ на числовом отрезке $[a; b]$. Следовательно, $V=\underset{n\to \infty }{lim}{V}_n={\int }_a^{b}S\left(x\right)dx$.

Рис. 3.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ и выразим площадь этого сечения как функцию от $x$.

Из подобия треугольников $S{A}_1{O}_1$ и $SAO$ следует $\frac{S{O}_1}{SO}=\frac{A_1{O}_1}{AO}$.

$S{O}_1=x; SO=1; A_1{O}_1=R_1; AO=R=2$

$\frac{x}{1}=\frac{R_1}{2}\Rightarrow R_1=2x$

$S\left(x\right)=\pi ·{R_1}^2=\pi ·(2x{)}^2=4\pi x^2.$

Получили $S\left(x\right)=4\pi x^2$. Подставим в основную формулу объёма тела. 

$V={\int }_0^{1}S\left(x\right)dx={\int }_0^{1}4\pi x^{2}dx={\overline{)\frac{4\pi x^3}{3}}}_0^1=\frac{4\pi }{3}$.

Ответ: $\frac{4\pi }{3}$.

Рис. 4.

Так как рассматриваемое тело является телом вращения, то любое сечение плоскостью перпендикулярной оси вращения $Ox$ – круг. При этом радиус равен значению функции $y=\sqrt{x}$ в точке $x$, т.е. $R\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow S\left(x\right)=\pi {\left(\sqrt{x}\right)}^2=\pi x$.

Вычислим объём данного тела с помощью интеграла $V={\int }_a^{b}S\left(x\right)dx$.

$V={\int }_3^5\pi xdx={\overline{)\frac{\pi x^2}{2}}}_3^5=\frac{25\pi }{2}-\frac{9\pi }{2}=\frac{16\pi }{2}=8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

Рис. 5

Для того, чтобы воспользоваться формулой вычисления объема тела, полученного вращением графика функции $y=0,5x$ вокруг оси $Oy$, преобразуем функцию $f\left(x\right)$ к виду $f\left(y\right)$.

$y=0,5\sqrt{x}$,

$y=\frac{1}{2}\sqrt{x}$,

$2y=\sqrt{x}$,

$4y^2=x$.

Тогда 

$V=\pi {\int }_0^1{\left(4y^2\right)}^{2}dy=\pi {\int }_0^{1}16y^{4}dy=\frac{16y^5}{5}\overline{)\pi }10=\frac{16\pi }{5}$.