Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла

Объем

Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла

План урока

  • Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла.

Цели урока

  • Знать и уметь выводить основную (общую) формулу для вычисления объёмов тел;
  • Уметь использовать интеграл для вычисления объёмов различных тел.

Разминка

  • Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы, цилиндра?
  • Как с помощью интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции?

Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла

Рис. 1. Рис. 1.

Одним из приложений определённого интеграла, который вы изучали в курсе алгебры, является вычисление объёмов тел. Пусть некоторое тело T заключено между параллельными плоскостями α и β (рис. 1). 

Введём систему координат таким образом, чтобы ось Ox была перпендикулярна к плоскостям α и β.

 

Введём следующие обозначения:

a и b – абсциссы точек пересечения плоскостей α и β с осью Ox соответственно (a<b);

Ф(x) – сечение плоскостью, перпендикулярной к оси Ox и проходящей через точку с абсциссой xxa; b;

S(x) – площадь фигуры Ф(x).

 

Будем считать, что S(x) является непрерывной функцией на отрезке [a; b].

Рис. 2. Рис. 2.

Отметим точки x0=a, x1, x2, , xn=b, разбивающие отрезок [a; b] на n равных отрезков. Через точки xi проведём плоскости, перпендикулярные к оси Ox (рис. 2). Проведённые плоскости разбивают тело T на n тел: T1, T2, T3, , Tn.

Объём тела Ti приближённо равен S(xi)·xi, где  xi=b-an.

Объём всего тела можно приближённо вычислить по формуле

 

VVn=i=1nS(xi)·xi.

 

Чем больше n (чем меньше xi, тем точнее приближённое значение Vn, а при n  (при xi0VnV, т.е. V=limnVn. При этом i=1 nSxi·xi является интегральной суммой для непрерывной функции S(x) на числовом отрезке [a; b]. Следовательно, V=limnVn=abS(x)dx.

Таким образом, мы получаем  основную формулу для вычисления объёмов тел с помощью интеграла :

 

V=abS(x)dx

 

Рассмотрим примеры нахождения объёмов тел с помощью интеграла.


Пример 1

 

Найдите объём конуса, радиус основания которого равен 2, а высота равна 1.


Решение

 

Чтобы было удобно использовать определённый интеграл, расположим конус таким образом, чтобы ось конуса SO была параллельна координатной оси x, а проекция вершины конуса S на ось x была равна нулю (рис. 3).

Рис. 3. Рис. 3.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси x и выразим площадь этого сечения как функцию от x.

Из подобия треугольников SA1O1 и SAO следует SO1SO=A1O1AO.

 

SO1=x; SO=1; A1O1=R1; AO=R=2

x1=R12R1=2xS(x)=π·R12=

=π·(2x)2=4πx2.

 

Получили S(x)=4πx2. Подставим в основную формулу объёма тела. 

 

V=01Sxdx=014πx2dx=4πx3301=4π3.

 

Ответ: 4π3.


Пример 2

 

Найдите объём тела, полученного путём вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=xy=0x=3x=5.


Решение

Рис. 4. Рис. 4.

Так как рассматриваемое тело является телом вращения, то любое сечение плоскостью перпендикулярной оси вращения Ox – круг. При этом радиус равен значению функции y=x в точке x, т.е. R(x)=xSx=πx2=πx.

 

Вычислим объём данного тела с помощью интеграла V=abSxdx.

 

V=35πxdx=πx2235=25π2-9π2=16π2=8π.

 

Ответ: 8π.

Если тело вращения получено вращением графика функции y=fx вокруг оси Ox и ограничено плоскостями x=ax=b, то его объем может быть вычислен по формуле:

 

V=πabf2xdx

 

Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.


Упражнение 1

 

1. Вычислите объём тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=25x,  y=0,  x=0, x=5.

2. Вычислите объём тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=x,  y=0,  x=1.

3. Вычислите объём тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y=x2, y=0, x=1.

4. Выведите формулу для вычисления объёма тела вращения с помощью определённого интеграла.


Контрольные вопросы

 

1. Что является сечением тел вращения плоскостью, перпендикулярной оси тела вращения?

2. Запишите основную формулу вычисления объёма тела с помощью определённого интеграла.


Ответы

Упражнение 1

 

1. 20π3

2. π2;

3. π5.

Предыдущий урок
Объём пирамиды
Объем
Следующий урок
Объёмы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора
Объем
  • Корпускулярно-волновой дуализм. Давление света. Гипотеза де Бройля

    Физика

  • Дифракционная решётка

    Физика

  • Текст. Типы речи

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке