Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Векторы на плоскости и в пространстве

  • Сфера и шар

  • Объем

  • Треугольники

  • Окружность

  • Комбинации тел

  • Конус

  • Цилиндр

  • Преобразования на плоскости и в пространстве

Конспект урока: Понятие вектора. Равенство векторов

Другие разделы

Понятие вектора. Равенство векторов

План урока

  • Понятие вектора;
  • Равенство векторов.

Цели урока

  • Знать, что такое вектор;
  • Знать, какие векторы называются коллинеарными, сонаправленными, противоположно направленными и равными;
  • Уметь откладывать вектор, равный данному, от произвольной точки.

Разминка

  • Какие прямые называются параллельными?
  • Какие отрезки называются параллельными?
  • Какие отрезки называются равными?

Понятие вектора

 

Понятие вектора в пространстве не отличается от понятия вектора на плоскости.


Определение 1

 

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором .


Частным случаем вектора можно считать точку. Такой вектор называется нулевым . Начало и конец нулевого вектора совпадают. Поэтому такой вектор не имеет какого-то определённого направления.

 

Во всех остальных случаях (когда начало и конец вектора не совпадают) вектором является направленный отрезок. При изображении ненулевого вектора, его направление отмечается стрелкой.

Рис. 1. Вектора в пространстве Рис. 1. Вектора в пространстве

На рисунке 1 изображены ненулевые векторы AB и MN, а также нулевой вектор TT. Для обозначения нулевого вектора используют символ 0. Таким образом, TT=0.


Определение 2

 

Длиной или модулем ненулевого вектора AB называется длина отрезка AB. Длина вектора AB (вектора a) обозначается следующим образом: ABa.

Длина нулевого вектора считается равной нулю 0=0.


Рис. 2. К определению 2 Рис. 2. К определению 2

Пусть ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1 (рис. 2). Тогда, из определения длины вектора, можем записать:

 

AB=1;

AC=12+12=2;

BD1=12+12+12=3.


Определение 3

 

Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.


Рис. 3. Коллинеарные векторы Рис. 3. Коллинеарные векторы

На рисунке 3 изображены коллинеарные векторы abc. Обозначается это так же как и параллельность прямых: abc.

 

Если два ненулевых вектора a и b коллинеарны, то они могут быть направлены либо в одну сторону, либо противоположно. В первом случае векторы a и bназываются сонаправленными , а во втором – противоположно направленными . Сонаправленные векторы a и b записывают следующим образом: ab. Если же векторы a и b противоположно направлены, то записывают ab.

Применительно к рисунку 3 можно записать ab,  ac ,  b c 
 

Многие физические величины являются векторными, т.е. имеют направление. К таким величинам относятся, например, перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжённость электрического поля, магнитная индукция т.д. Поэтому изучение векторов и операций над ними имеет большое практическое значение для физики, астрономии и различных технических дисциплин.


Упражнение 1

 

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 E и F – середины рёбер B1C1 и C1D1 соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

  1. сонаправлены с вектором EF;
  2. противоположно направлены вектору AB1.

 

2. Прямая a не лежит в плоскости α. Через прямую a проходит плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b. Точки A и B принадлежат прямой a, а точки C и D прямой b. При каком условии векторы AB и CD будут коллинеарными?


Равенство векторов


Определение 4

 

Векторы называются равными , если они сонаправлены и их длины равны.


Рис. 4. К определению 4 Рис. 4. К определению 4

На рисунке 4 изображён параллелепипед.

На этом рисунке AA1CC1ADC1B1.

При этом AA1=CC1, так как они сонаправлены и имеют одинаковые длины, а векторы AA1 и C1B1 не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, так как они не коллинеарны.

Рис. 5. Рис. 5.

Если некоторая точка является началом некоторого вектора, то говорят, что данный вектор отложен от данной точки.

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Действительно, пусть a – данный вектор, S – данная точка (рис. 5). Проведём через прямую на которой лежит вектор a и точку S плоскость и в этой плоскости построим ST=a. Вектор ST – искомый и при этом единственный вектор с началом S, равный вектору a.


Упражнение 2

 

1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равные векторам ABACAD, AA1.

2. Точки MNPQ – середины рёбер соответственно ABADDCBC тетраэдра ABCD.
Из векторов MA, MB, BQ, MN, PN, QP, QM, DP, PC выпишите все пары равных векторов.


Контрольные вопросы

 

  1. Что такое вектор?
  2. Что называют модулем вектора?
  3. Какой вектор называется нулевым?
  4. Какие векторы называются коллинеарными?
  5. Какие векторы называются сонаправленными?
  6. Какие векторы называются противоположно направленными?
  7. Какие векторы называются равными?


Ответы

Упражнение 1

 

  1. 1) B1D1BD;  2) B1AC1D
  2. Если aα

 

Упражнение 2

 

  1. AB=DC=D1C1=A1B1AС=A1C1AD=BС=B1C1=A1D1AA1=BB1=CC1=DD1
  2. MN=QPQM=PNDP=PC

Предыдущий урок
Цилиндр
Цилиндр
Следующий урок
Движения
Преобразования на плоскости и в пространстве
  • М.А. Булгаков. «Мастер и Маргарита». Ч.1.

    Литература

  • Полимеры

    Химия

  • Описанный четырёхугольник

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке