Конспект урока: Объём шара

Объём шара

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, а тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Рис.1 Шар радиуса  и с центром в точке

Рассмотрим шар (рис. 1) радиуса $R$ и с центром в точке $O$. Выберем ось $Ox$ как показано на рисунке. Проведем секущую плоскость перпендикулярно к оси $Ox$. Сечение представляет собой круг с центром в точке $O_1$ (точке пересечения секущей плоскости с осью $Ox$). $x$ – абсцисса точки $O_1$, очевидно, что $0\le x\le R$. Обозначим площадь сечения за $S\left(x\right)$, его радиус за $r$. Найдем $r$ из прямоугольного треугольника $O{O}_{1}A$ по теореме Пифагора:

 

$r=O_{1}A=$$\sqrt{(O{A}^2-O{O}_1^2)}$$=\sqrt{(R^2-x^2)}$.

Площадь сечения – площадь круга радиуса $r$, поэтому 

$S\left(x\right)=$$\pi r^2=\pi (R^2-x^2)$.

Эта формула справедлива при любом расположении точки $O_1$ на диаметре $CD$, т. е. для любого $x$ из отрезка $[-R;R]$. 

Вычислим объём шара с помощью интеграла:

Решение

Объём шара радиуса $R$ равен $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Выразим радиус шара из формулы объёма и найдем длину радиуса:

$R^3=\frac{3V}{4\pi }$,    $R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}=$$\sqrt[3]{\frac{3·972\pi }{4\pi }}$$=\sqrt[3]{729}=9$

Ответ: 9.

Решение

Исходный объём шара $V_1$ радиуса $R_1$ равен $V_1=\frac{4}{3}\pi {R_1}^3$.

Радиус шара увеличили в два раза, т.е. $R_2=2R_1$. Тогда объём шара $V_2$ радиуса $R_2$равен

$V_2=\frac{4}{3}\pi R_2^3=$$\frac{4}{3}\pi ·(2R_1{)}^3=$$\frac{4}{3}\pi ·8{R_1}^3=$$8·\frac{4}{3}\pi {R_1}^3=$$8V_1$.

Получили, что объём шара увеличился в 8 раз.

Ответ: в 8 раз.

Рис.2 Многогранник, описанный около сферы

Площадь сферы 

 

Рассмотрим сферу радиуса $R$ и с центром в точке $O$. Опишем около нее многогранник с $n$ гранями и соединим его вершины с центром сферы, получим $n$ пирамид с общей вершиной, у которых основаниями являются грани многогранника, а высоты – радиусы сферы, проведенные в точки касания сферы с гранями многогранника. Пронумеруем эти пирамиды в произвольном порядке. Обозначим за $S_i$ площадь 

$i$–ой грани многогранника ($i\in \left\{1;2;\dots ;n\right\}$). 
Очевидно, что объем $V_n$ описанного многогранника равен сумме объемов всех пирамид. То есть

 

$V_n=$${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$$\frac{1}{3}{S}_{i}R=$$\frac{1}{3}R$${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$$S_i$.

 

Обозначим площадь полной поверхности многогранника за $P_n.$ Тогда 

 

$V_n=\frac{1}{3}R{P}_n$.

 

Отсюда

 

$P_n=\frac{\left(3V_n\right)}{R}$.

Очевидно, что при неограниченном увеличении количества граней $n$, наибольший размер каждой грани многогранника стремится к нулю, а при этом его объем $V_n$ стремится к объему шара. Получили, что если наибольший размер грани не превосходит некоторого числа $\delta$, то описанный многогранник содержится в шаре радиуса $R+\delta$ и с центром в точке $O$. Но, с другой стороны, этот многогранник содержит шар радиуса $R$, т. е.

$\frac{4}{3}\pi R^3<V_n$$<\frac{4}{3}\pi {(R+\delta )}^3$.

Так как при $\delta \to 0$   $\frac{4}{3}\pi {(R+\delta )}^3$$\to \frac{4}{3}\pi R^3$, то при $\delta \to 0$   $V_n\to \frac{4}{3}\pi R^3$.

Тогда

$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=$$\underset{n\to \infty }{\lim }$$\frac{\left(3V_n\right)}{R}$$=\frac{3}{R}$$\underset{n\to \infty }{\lim }$$V_n=$$\frac{3}{R}·\frac{4}{3}\pi R^3=$$4\pi R^2$.

Таким образом, 

$S=4\pi R^2$.

Решение

Пусть дана сфера радиуса $R_1$ и с площадью поверхности $S_1$. После увеличения радиуса получим сферу радиуса $R_2=3R_1$ и с площадью поверхности $S_2$. Найдем отношение площадей поверхностей двух сфер:

$\frac{S_2}{S_1}=$$\frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2}=$$\frac{R_2^2}{R_1^2}=$$\frac{9R_1^2}{R_1^2}$$=9$.

Таким образом, при увеличении радиуса сферы в 3 раза, площадь ее поверхности увеличится в 9 раз.

Ответ: увеличится в 9 раз.

Упражнение 1

1. 3. 2. $288\pi$

Упражнение 2

1. уменьшится в 27 раз. 2. увеличится в 3,375 раз