Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Объём шара

Объем

01.03.2024
1422
0

Объём шара. Площадь сферы

План урока

  • Объём шара
  • Площадь сферы

Цели урока

  • Знать формулы объёма шара, площади сферы
  • Уметь выводить формулы объема шара, площади сферы
  • Уметь применять формулы объёма шара, площади сферы при решении задач

Разминка

  • Чем шар отличается от сферы?
  • Назовите все известные вам формулы нахождения объёмов.

Объём шара

 

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, а тело, ограниченное сферой, называется шаром.


Теорема

 

Объём шара радиуса R равен                                                                        

 

V=43πR3.


Рис.1 Шар радиуса  и с центром в точке

Рассмотрим шар (рис. 1) радиуса R и с центром в точке O. Выберем ось Ox как показано на рисунке. Проведем секущую плоскость перпендикулярно к оси Ox. Сечение представляет собой круг с центром в точке O1 (точке пересечения секущей плоскости с осью Ox). x – абсцисса точки O1, очевидно, что 0xR. Обозначим площадь сечения за S(x), его радиус за r. Найдем r из прямоугольного треугольника OO1A по теореме Пифагора:

 

r=O1A=(OA2-OO12)=(R2-x2).

Площадь сечения – площадь круга радиуса r, поэтому 

 

S(x)=πr2=π(R2-x2).

 

Эта формула справедлива при любом расположении точки O1 на диаметре CD, т. е. для любого x из отрезка [-R;R]

Вычислим объём шара с помощью интеграла:

 

формула


Пример 1

 

Объём шара равен 972π. Найдите его радиус.


Решение

 

Объём шара радиуса R равен V=43πR3.

Выразим радиус шара из формулы объёма и найдем длину радиуса:

 

R3=3V4π,    R=3V4π3=3·972π4π3=7293=9

 

Ответ: 9.


Упражнение 1

 

1. Объём шара равен 4,5π. Вычислите его диаметр.

2. Диаметр шара равен 12. Вычислить его объём.


Пример 2

 

Во сколько раз увеличится объем шара, если увеличить его радиус в 2 раза?


Решение

 

Исходный объём шара V1 радиуса R1 равен V1=43πR13.

Радиус шара увеличили в два раза, т.е. R2=2R1. Тогда объём шара V2 радиуса R2равен

 

V2=43πR23=43π·(2R1)3=43π·8R13=8·43πR13=8V1.

 

Получили, что объём шара увеличился в 8 раз.

 

Ответ: в 8 раз.


Упражнение 2

 

1. Как изменится объём шара, если его радиус уменьшить в 3 раза?

2. Как изменится объём шара, если его диаметр увеличить в 1,5 раза?


Рис.2 Многогранник, описанный около сферы

Площадь сферы 

 

Рассмотрим сферу радиуса R и с центром в точке O. Опишем около нее многогранник с n гранями и соединим его вершины с центром сферы, получим n пирамид с общей вершиной, у которых основаниями являются грани многогранника, а высоты – радиусы сферы, проведенные в точки касания сферы с гранями многогранника. Пронумеруем эти пирамиды в произвольном порядке. Обозначим за Si площадь 

i–ой грани многогранника (i1;2;;n). 
Очевидно, что объем Vn описанного многогранника равен сумме объемов всех пирамид. То есть

 

Vn=i=1n13SiR=13Ri=1nSi.

 

Обозначим площадь полной поверхности многогранника за Pn. Тогда 

 

Vn=13RPn.

 

Отсюда

 

Pn=(3Vn)R.

Очевидно, что при неограниченном увеличении количества граней n, наибольший размер каждой грани многогранника стремится к нулю, а при этом его объем Vn стремится к объему шара. Получили, что если наибольший размер грани не превосходит некоторого числа δ, то описанный многогранник содержится в шаре радиуса R+δ  и с центром в точке O. Но, с другой стороны, этот многогранник содержит шар радиуса R, т. е.

 

43πR3<Vn<43π(R+δ)3.

 

Так как при  δ0   43π(R+δ)343πR3, то при  δ0   Vn43πR3.

Тогда

 

limnPn=limn(3Vn)R=3RlimnVn=3R·43πR3=4πR2.

 

Таким образом, 

 

S=4πR2.


Теорема

 

Площадь сферы радиуса R равна                                                                             

 

S=4πR2.


Пример 3

 

Как изменится площадь сферы, если ее радиус увеличат в 3 раза?


Решение

 

Пусть дана сфера радиуса R1 и с площадью поверхности S1. После увеличения радиуса получим сферу радиуса R2=3R1 и с площадью поверхности S2. Найдем отношение площадей поверхностей двух сфер:

 

S2S1=4πR224πR12=R22R12=9R12R12=9.

 

Таким образом, при увеличении радиуса сферы в 3 раза, площадь ее поверхности увеличится в 9 раз.

 

Ответ: увеличится в 9 раз.


Контрольные вопросы

 

1. От чего зависит объём шара?

2. Как изменится объём шара, если его радиус увеличить в k раз?


Ответы

 

Упражнение 1

 

1. 3. 2. 288π

 

Упражнение 2

 

1. уменьшится в 27 раз. 2. увеличится в 3,375 раз


 

 

Предыдущий урок
Комбинации тел: многогранники, цилиндр, конус, шар
Комбинации тел
Следующий урок
Объём шара
Объем
Поделиться:
  • Уточняющие члены предложения

    Русский язык

  • Российская Федерация в 1991—2020 гг. Российская экономика на пути к рынку. Конституция России 1993 г.

    История

  • Географическое наследие Азии

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке