Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Объём конуса

Объем

02.03.2024
1464
0

Объём конуса

План урока

  • Объём конуса;
  • Объём усеченного конуса;
  • Решение заданий.

Цели урока

  • Знать формулу объёма конуса;
  • Знать формулу объёма усеченного конуса;
  • Уметь применять формулы объёмов конуса и усеченного конуса при решении задач.

Разминка

  • Чему равен объём пирамиды, площадь основания которой равна 24, а высота 16?
  • Что такое конус?

Объём конуса

 

Вспомним, что конус – это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Основанием конуса является круг радиуса R.

 

Формула объёма конуса имеет уже знакомый для вас вид.


Теорема

 

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

 

Vконуса=13Sосн·h.


Формула для вычисления объема конуса имеет вид, аналогичный формуле нахождения объёма пирамиды. Соответственно, и доказательства этих теорем очень похожи.

Рис. 1. Конус

Рассмотрим конус (рис. 1) с радиусом основания R, высотой h и вершиной D

 

Введем ось Dx, как показано на рисунке.

 

Построим сечение, которое будет перпендикулярно высоте конуса. Это сечение параллельно плоскости основания. Оно представляет собой круг с центром в точке O1 (точке пересечения секущей плоскости с осью Dx). Обозначим его радиус через r. Очевидно, что r<R

 

x – абсцисса точки O1Sx – площадь сечения. Понятно, что круг с радиусом R и круг радиуса r подобны, а это значит, что 

 

SxS=rR2.

Из подобия прямоугольных треугольников DO1A1 и DOA получим 

 

rR=DO1DO=xh.

 

Вычислим объём конуса с помощью интеграла:

 

V=0hSxdx=0hS·rR2dx=0hS·xh2dx=Sh20hx2dx=

=Sh2·x330h=13S·h.


Пример 1

 

Диаметр основания конуса равен 10, а длина образующей – 13. Найдите объём конуса.


Решение

 

Найдем высоту конуса. Радиус в два раза меньше диаметра, т.е. R=102=5. Образующая l, радиус R и высота конуса h связаны между собой теоремой Пифагора, т.е.

 

h=l2-R2=132-52=12.

 

Тогда объём конуса равен

 

V=13Sh=13πR2·h=13π·52·12=100π.

 

Ответ: 100π.


Упражнение 1

 

1. Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей – 65. Найдите объём конуса.

2. Высота конуса равна 9, а длина образующей равна 41. Найдите объём конуса.


Объём усеченного конуса

 

Объём усеченного конуса можно найти по формуле, аналогичной формуле объёма усеченной пирамиды.


Следствие

 

Объём V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и S1 вычисляется по формуле

 

V=13hS+S1+S·S1.


Контрольные вопросы

 

1. Почему формула объёма конуса имеет вид, аналогичный формуле объёма пирамиды?

2.  Какие измерения необходимо знать, чтобы найти объём конуса?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 5376π

2. 4800π.

Предыдущий урок
Объём прямой призмы
Объем
Следующий урок
Объём пирамиды
Объем
Поделиться:
  • Уточняющие члены предложения

    Русский язык

  • Обособленные дополнения

    Русский язык

  • Гендер-социальный пол

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке