Конспект урока: Объём конуса

Объём конуса

Вспомним, что конус – это тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Основанием конуса является круг радиуса $R$.

Формула объёма конуса имеет уже знакомый для вас вид.

Формула для вычисления объема конуса имеет вид, аналогичный формуле нахождения объёма пирамиды. Соответственно, и доказательства этих теорем очень похожи.

Рис. 1. Конус

Рассмотрим конус (рис. 1) с радиусом основания $R$, высотой $h$ и вершиной $D$. 

 

Введем ось $Dx$, как показано на рисунке.

 

Построим сечение, которое будет перпендикулярно высоте конуса. Это сечение параллельно плоскости основания. Оно представляет собой круг с центром в точке $O_1$ (точке пересечения секущей плоскости с осью $Dx$). Обозначим его радиус через $r$. Очевидно, что $r<R$. 

 

$x$ – абсцисса точки $O_1$, $S\left(x\right)$ – площадь сечения. Понятно, что круг с радиусом $R$ и круг радиуса $r$ подобны, а это значит, что 

 

$\frac{S\left(x\right)}{S}={\left(\frac{r}{R}\right)}^2$.

Из подобия прямоугольных треугольников $D{O}_1{A}_1$ и $DOA$ получим 

$\frac{r}{R}=\frac{D{O}_1}{DO}=\frac{x}{h}$.

Вычислим объём конуса с помощью интеграла:

$V={\int }_0^{h}S\left(x\right)dx={\int }_0^{h}S·{\left(\frac{r}{R}\right)}^{2}dx={\int }_0^{h}S·{\left(\frac{x}{h}\right)}^{2}dx=\frac{S}{h^2}{\int }_0^h{x}^{2}dx=$

$=\frac{S}{h^2}·{\overline{)\frac{x^3}{3}}}_0^h=\frac{1}{3}S·h$.

Решение

Найдем высоту конуса. Радиус в два раза меньше диаметра, т.е. $R=\frac{10}{2}=5.$ Образующая $l$, радиус $R$ и высота конуса $h$ связаны между собой теоремой Пифагора, т.е.

$h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{{13}^2-5^2}=12$.

Тогда объём конуса равен

$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi R^2·h=\frac{1}{3}\pi ·5^2·12=100\pi$.

Ответ: $100\pi$.

Объём усеченного конуса

Объём усеченного конуса можно найти по формуле, аналогичной формуле объёма усеченной пирамиды.