Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Производные некоторых элементарных функций

Производная

30.05.2024
1481
0

Производные некоторых элементарных функций

План урока

  • Производная показательной функции;
  • Производная логарифмической функции;
  • Производные тригонометрических функций;
  • Применение формул производных элементарных функций и правил дифференцирования при решении задач.

Цели урока

  • Знать что такое элементарные функции;
  • Знать формулы производной показательной, логарифмической, тригонометрических функций;
  • Уметь применять формулы производных элементарных функций и правила дифференцирования при решении задач.

Разминка

  1. Найти производную функций
    1) f(x)=0,2x2+0,8;
    2) f(x)=x3(3-4x);
    3) f(x)=x2-x52-x.
  2. Вычислить f'(1), если f(x)=1x2-x3.

Вы уже знакомы со степенной, показательной, логарифмической, тригонометрическими функциями и их комбинациями, все они являются элементарными функциями. Часто на практике требуется находить производные этих функций.

 

Производная показательной функции

 

Пусть дана функция f(x)=ax, где a>0, a1. Областью определения функции f(x) является вся числовая прямая, в каждой точке которой она имеет производную.

 

С помощью свойства логарифма выразим ax через ex:

 

ex ln a=(eln a)x=ax.

 

Функция ex обладает замечательным свойством:  ее  производная также  равна  ex, т. е. (ex)'=ex.

 

Найдем производную ekx+b по правилу дифференцирования сложной функции:

 

(ekx+b)'=ekx+b·(kx+b)'=kekx+b.

 

А теперь найдем производную показательной функции:

 

(ax)'=(ex ln a)'=ex ln a·(x ln a)'=ln a·ex ln a=ln a·ax.


Производная показательной функции             

                      

                                        (ax)'=ax·ln a                            (1) 

 

Производная функции y=ex

 

                                        (ex)'=ex                                (2)


Например, (4x)'=4xln 4(0,5x)'=0,5xln 0,5.

 

Производная логарифмической функции

 

Пусть дана функция f(x)=logax, где a>0, a1. Областью определения функции f(x) является интервал (0; +).

 

С помощью формулы перехода выразим logax через логарифмическую функцию с основанием e:

 

logax=ln xln a.

 

Производная функции ln x выражается формулой (ln x)'=1x.

 

Найдем производную ln(kx+b) по правилу дифференцирования сложной функции:

 

(ln(kx+b))'=1kx+b·(kx+b)'=kkx+b.

 

А теперь найдем производную логарифмической функции:

 

(logax)'=(ln xln a)'=1ln a(ln x)'=1x ln a.


Производная логарифмической функции   

                                

                                        (logax)'=1x ln a                             (3) 

 

Производная функции y=ln x

   

                                        (ln x)'=1x                             (4)


Например, (log2x)'=1x ln 2(log0,2x)'=1x ln 0,2.

 

Производные тригонометрических функций

 

Пусть дана функция f(x)=sin x. Найдем ее производную, пользуясь определением производной. Составим разностное отношение:

 

f(x+h)-f(x)h=sin(x+h)-sin xh=2sinx+h-x2cosx+h+x2h=2sinh2cos(x+h2)h=sinh2h2cos(x+h2).

 

При h0 x+h2x, тогда cos(x+h2)cos x. В курсе высшей математики доказывается первый замечательный предел limx0sin xx=1, тогда limh0(sinh2h2cos(x+h2))=cos x. Получили, что (sin x)'=cos x.

 

Аналогично можно доказать, что (cos x)'=-sin x.

 

Пусть дана функция f(x)=tg x. Найдем ее производную, для этого воспользуемся определением тангенса, правилом дифференцирования частного, только что доказанными формулами, основным тригонометрическим тождеством:

 

(tg x)'=(sin xcos x)'=(sin x)'cos x-(cos x)'sin xcos2x=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x.

 

Аналогичными рассуждениями: (ctg x)'=-1sin2x.


Производные тригонометрических функций

 

                                        (sin x)'=cos x                       (5)

 

                                          (cos x)'=-sin x                  (6)

 

                                        (tg x)'=1cos2x                         (7)

                 

                                        (ctg x)'=-1sin2x                   (8) 


Пример 1

Найти производную функции  

 

1. f(x)=cos x sin2x-14cos(2x+1);

2. f(x)=e2-3x+ln(x3+4);

3. f(x)=tg x2x-3.

 


Решение

 

1. f'x=cos x sin2x'-14cos2x+1'=-sin x·sin2x+2sin x cos x·cos x+

 

+14sin2x+1·2=-sin3x+sin 2x cos x+12sin2x+1;

 

2. f'x=e2-3x'+lnx3+4'=e2-3x·-3+1x3+4·13=-3e2-3x+1x+12;

 

3. f'x=1cos2x2x-3+122x-3·2·tg x=2x-3cos2x+tg x2x-3.

                       

Ответ: 1. -sin3x+sin 2x cos x+12sin2x+1

              2. -3e2-3x+1x+12;  

              3. 2x-3cos2x+tg x2x-3.


Упражнение 1

Найти производную функции f(x), если:

 

1. f(x)=sin(x2-4);

2. f(x)=log3x4;

3. f(x)=(x+2)2x+2-2x.


Пример 2

Вычислить f'(2), если f(x)=e2-x+log3(3x-2).


Решение

 

f'(x)=e2-x·(-1)+1(3x-2) ln 3·3=-e2-x+3(3x-2) ln 3.

                       

f'(2)=-e0+34 ln 3=-1+34 ln 3

 

Ответ: -1+34 ln 3.


Упражнение 2

Вычислить f'(1), если f(x)=ln(3x-2)+32x.


Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

2. Чему равна производная логарифмической функции?

3. Чему равна производная показательной функции?

4. Чему равны производные тригонометрических функций?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 2x cos(x2-4).         2. 14x ln 3(log3x)34.         3. -2+2x+2+x+22x+2

 

 

Упражнение 2

 

3+18 ln 3.


Предыдущий урок
Экстремумы функции
Производная
Следующий урок
Производная
Производная
Поделиться:
  • Тире между подлежащим и сказуемым

    Русский язык

  • Химическая грамотность как компонент общей культуры человека

    Химия

  • Мезоамерика — территория на стыке двух Америк

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке