[header]Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора[/header]
[flex column='true'][row title='План урока']
- Вклад в математику Пифагора Самосского
- Прямая теорема Пифагора
- Примеры применения теоремы Пифагора
[/row][row title='Цели урока']
- Знать теорему Пифагора
- Уметь применять теорему Пифагора для решения задач
[/row][row title='Разминка' final='true']
- Какой треугольник называется прямоугольным?
- Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?
- Как вычислить площадь прямоугольного треугольника?
[/row][/flex]
Историческая справка
[img url='/upload/NDNMO0ncypp5_Геометрия 8 класс-92.png' name='Рис. 1. Бюст Пифагора в Капитолийском музее' float='right' width='30']
Пифаго́р Са́мосский (др.-греч. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; около 570–490 годов до н. э.) — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.
Античные биографии Пифагора содержат множество легенд. По наиболее распространённой версии, Пифагор родился на острове Самос. В молодости много путешествовал и учился (в различных легендах фигурируют египетские жрецы, халдеи, маги, Заратуштра и т. д.). По возвращении на Самос из-за разногласий с тираном Поликратом был вынужден эмигрировать в Италию. По прибытии в полис Кротон он создал собственную школу. Школу Пифагора сравнивают с прообразом христианских монастырей и масонских лож. Постепенно её политическое влияние возрастало. Она как таковая не находилась при власти. Речь шла о возросшем влиянии отдельных членов общества во властных структурах.
[/img]
[img url='/upload/proaNHoS8D1P_Геометрия 8 класс-93.png' name='Рис. 2. Изображение к первоначальной формулировке теоремы Пифагора' float='right' width='38']
В математике с именем Пифагора связаны систематическое введение доказательств, дедуктивное построение геометрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии, построение некоторых правильных многогранников и многоугольников, учение о чётных и нечётных, простых и составных числах, о пропорциях, об арифметических, геометрических и гармонических средних.
Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. По всей видимости то, что мы называем «теоремой Пифагора», было известно до Пифагора. Античному математику приписывают её доказательство в общем виде. Первоначально «теорема Пифагора» устанавливала соотношение между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника, а именно «квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» (рис. 2).
[/img]
[line][/line]
[section icon='note']
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
[/section]
[line][/line]
Доказательство
[img url='/upload/liExxQygSvVE_Геометрия 8 класс-94.png' name='Рис. 3. К доказательству теоремы Пифагора' float='right' width='40']
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами , и гипотенузой . Докажем, что .
Достроим треугольник до квадрата со стороной (рис. 3). Площадь этого квадрата равна . При этом, данный квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого равна и квадрата со стороной , следовательно:
.
,
.
Теорема доказана.
[/img]
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 1
Катеты прямоугольного треугольника относятся как , а гипотенуза равна . Найдите периметр треугольника.
[/section]
[line][/line]
Решение
[img url='/upload/5RaodfJNPI3B_Геометрия 8 класс-95.png' name='Рис. 4. Треугольник ABC' float='right' width='25']
Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом (рис. 4). Пусть , , по теореме Пифагора составим и решим уравнение:
.
Длина стороны положительна, следовательно, , .
Периметр треугольника равен
.
Ответ: .
[/img]
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 2
Основания равнобедренной трапеции равны и , а боковые стороны равны . Найдите площадь трапеции.
[/section]
[line][/line]
Решение
[img url='/upload/jSzHNm7fKOfP_Геометрия 8 класс-96.png' name='Рис. 5. К решению примера 2' float='right' width='40']
Рассмотрим равнобедренную трапецию , проведем высоты и (рис. 5).
Треугольники и равны по гипотенузе и катету (, т. к. трапеция равнобедренная, как расстояния между параллельными прямыми). — прямоугольник по определению, . Следовательно
.
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора
.
Следовательно,
.
Площадь трапеции равна:
,
.
Ответ: .
[/img]
[line][/line]
[section icon='example']
Пример 3
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны и . Найдите высоту трапеции.
[/section]
[line][/line]
Решение
[img url='/upload/kIRZX8m6wG7p_Геометрия 8 класс-97.png' name='Рис. 6. К решению примера 3' float='right' width='40']
Рассмотрим трапецию с диагоналями и , . Проведем прямую параллельную одной из диагоналей трапеции .
— параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны, тогда , .
, , треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора
,
.
Проведем высоту трапеции и треугольника . Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов или половине произведения высоты, проведенной из вершины прямого угла, и гипотенузы:
,
,
.
Ответ: .
[/img]
[line][/line]
[section icon='exercise']
Упражнения
1. В прямоугольном треугольнике с катетами и и гипотенузой найдите:
а) , если , ;
б) , если , ;
в) , если , .
2. Основания прямоугольной трапеции равны и , а большая боковая сторона — . Найдите площадь трапеции.
3. Найдите площадь:
а) равнобедренного треугольника с периметром и высотой , проведенной к основанию;
б) прямоугольного треугольника с гипотенузой и отношением катетов .
[/section]
[line][/line]
[section icon='question']
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему Пифагора.
2. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника вдвое больше квадрата катета. Чему равны острые углы треугольника?
3. Выразите высоту равностороннего треугольника через длину стороны.
[/section]
[line][/line]
[flex column='true'][row title='Ответы' final='true'][/row][/flex]
1. а) ; б) ; в) .
2. .
3. а) ; б) .
[line][/line]