Цифровая библиотека

Интернет-библиотека по школьным предметам от «Онлайн-школы». Библиотека поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Например: формулы сокращенного умножения

Выбери класс

Выбери все классы

Все предметы
8 класс
Геометрия
Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников

Геометрия 8 класс Геометрия 8 класс

Конспект урока: Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников

Треугольники

18.01.2025

2208

Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников

План урока

Подобные треугольники
Теорема об отношении площадей подобных треугольников
Теорема о свойстве биссектрисы треугольника
Применение подобия и свойства биссектрисы к решению задач

Цели урока

Знать определение подобных треугольников, теорему об отношении площадей подобных треугольников, свойство биссектрисы треугольника
Уметь применять определение подобных треугольников, свойства подобных треугольников и свойство биссектрисы треугольника для решения задач

Разминка

Какие отрезки называются пропорциональными?
Как вычислить периметр треугольника?
Как вычислить площадь треугольника?
Что называют биссектрисой треугольника?
Чему равно отношение площадей треугольников с равными углами? С равными высотами?

Определение подобных треугольников

Равные фигуры можно представить как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобны друг другу любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках.

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Рис. 1. Подобные треугольники

На рис. 1 изображены подобные треугольники $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ . Подобие этих треугольников кратко обозначают так:

$∆ A B C$ ~ $∆ A_{1} B_{1} C_{1}$ . В этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

если $∆ A B C$ ~ $∆ A_{1} B_{1} C_{1}$ , то $∠ A = ∠ A_{1}$ , $∠ B = ∠ B_{1}$ и $∠ C = ∠ C_{1}$ ,

$\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = \frac{A C}{A_{1} C_{1}} = k$

Стороны треугольника, лежащие против соответственно равных углов подобных треугольников, называют сходственными. Число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Теорема

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство

Рассмотрим два подобных треугольника $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ (рис. 1) с коэффициентом подобия, равным $k$ , тогда

$\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = \frac{A C}{A_{1} C_{1}} = k$ , т.е. $A B = k \cdot A_{1} B_{1}$ , $B C = k \cdot B_{1} C_{1}$ , $A C = k \cdot A_{1} C_{1}$ .

Имеем

$\frac{P_{A B C}}{P_{_{A_{1} B_{1} C_{1}}}} = \frac{A B + B C + A C}{A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + A_{1} C_{1}} = \frac{k \cdot A_{1} B_{1} + k \cdot B_{1} C_{1} + k \cdot A_{1} C_{1}}{A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1} + A_{1} C_{1}} = k$ .

Теорема доказана.

Пример 1

Стороны треугольника относятся как 2:4:5. Найдите периметр треугольника, подобного данному, если сумма его наибольшей и наименьшей сторон равна 21 см.

Решение

Пусть стороны треугольника $A B C$ относятся как 2:4:5, введем обозначение $A B = 2 x, B C = 4 x, A C = 5 x$ . Пусть $∆ A B C$ ~ $∆ M N K$ с коэффициентом подобия, равным $k$ , тогда

$M N = 2 k x$ , $N K = 4 k x$ , $M K = 5 k x$ .

Сумма наибольшей и наименьшей стороны равна 21 см, тогда

$2 k x + 5 k x = 21$ , $k x = 3 (с м)$ .

Периметр треугольника $M N K$ равен $M N + N K + M K = 2 k x + 4 k x + 5 k x = 11 k x = 11 \cdot 3 = 33$ см.

Ответ: 33 см.

Упражнение 1

Рис. 2. Чертеж к упражнению 1.1

1. На рис. 2 $∆ A B C$ ~ $∆ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Найдите $x$ и $y$ .

2. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если в подобном ему треугольнике разность наибольшего и наименьшего углов равна 70°.

3. Стороны треугольника равны 16 см, 12 см и 10 см. Найдите периметр треугольника, подобного данному, если его наибольшая сторона равна 8 см.

Отношение площадей подобных треугольников

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Теорема

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство

Рассмотрим два подобных треугольника $A B C$ и $A_{1} B_{1} C_{1}$ (рис. 1) с коэффициентом подобия, равным $k$ , тогда

$\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}} = \frac{A C}{A_{1} C_{1}} = k$ ,

т.е. $A B = k \cdot A_{1} B_{1}, A C = k \cdot A_{1} C_{1}$ . Пусть $S$ и $S_{1}$ - площади этих треугольников. Так как в подобных треугольниках соответствующие углы равны, то $∠ A = ∠ A_{1}$ , тогда по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом

$\frac{S}{S_{1}} = \frac{A B \cdot A C}{A_{1} B_{1} \cdot A_{1} C_{1}} = \frac{k \cdot A_{1} B_{1} \cdot k \cdot A_{1} C_{1}}{A_{1} B_{1} \cdot A_{1} C_{1}} = k^{2}$ .

Теорема доказана.

Пример 2

На плане земельный участок имеет форму треугольника площадью
2,5 см². Найдите площадь участка, если масштаб плана 1:1000.

Решение

Земельный участок и треугольник на плане это подобные треугольники, коэффициент подобия равен 1000, следовательно площадь земельного участка больше площади треугольника на плане в 1000²=1000000 раз

$2, 5 с м^{2} \cdot 1000000 = 2500000 с м^{2} = 250 м^{2}$ .

Ответ: 250 м².

Теорема о свойстве биссектрисы треугольника

Теорема

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника (свойство биссектрисы треугольника).

Доказательство

Рис. 3 Доказательство свойства биссектрисы

В треугольнике $A B C$ $B D$ – биссектриса, $B H$ – высота (рис. 3). Докажем, что $\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C}$ .

Треугольники $A B D$ и $B C D$ имеют общую высоту $B H$ , тогда $\frac{S_{A B D}}{S_{B C D}} = \frac{A D}{C D}$ .

При этом данные треугольники имеют равные углы ( $∠ 1 = ∠ 2$ , т.к. $B D$ – биссектриса), поэтому $\frac{S_{A B D}}{S_{B C D}} = \frac{A B \cdot B D}{B C \cdot B D} = \frac{A B}{B C}$ .

Следовательно, $\frac{A D}{C D} = \frac{A B}{B C}$ или $\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C}$ .

Теорема доказана.

Пример 3

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см. Найдите длины катетов.

Решение

Рис. 4. К решению примера 3

Рассмотрим прямоугольный $∆ A B C$ , $B D$ – биссектриса, $A D = 20 с м$ , $C D = 15 с м$ (рис. 4). По теореме о свойстве биссектрисы:

$\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D C} = \frac{20 с м}{15 с м} = \frac{4}{3}$ .

Пусть $A B = 4 x$ , $B C = 3 x$ . По теореме Пифагора

$(4 x)^{2} + (3 x)^{2} = (20 + 15)^{2}$

$25 x^{2} = 1225$

$x^{2} = 49$ , $x = \pm 7$ .

По смыслу задачи $x$ не может быть отрицательным, тогда $x = 7$ .

Тогда $A B = 4 \cdot 7 = 28 (с м)$ , $B C = 3 \cdot 7 = 21 (с м)$ .

Ответ: 21 см и 28 см.

Упражнение 2

1. Известно, что $∆ A B C$ ~ $∆ A_{1} B_{1} C_{1}$ . Найдите $A_{1} B_{1}$ , если $S_{A B C} = 24 с м^{2}$ , $S_{A_{1} B_{1} C_{1}} = 6 с м^{2}$ , $A B = 8 с м$ .

2. Два треугольника подобны с коэффициентом 3, причем площадь одного из них на 24 см² больше площади другого. Найдите площади этих треугольников.

3. Площади двух подобных треугольников равны 75 м² и 300 м². Периметр первого треугольника равен 54 м. Найдите периметр второго треугольника.

4. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки длиной 16,5 см и 27,5 см. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит боковую сторону треугольника.

5. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к основанию как 5:6. Биссектриса угла при основании делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки, разность которых составляет 4 см. Найдите периметр треугольника.

Контрольные вопросы

1. Известно, что $∆ A B C$ ~ $∆ K M N$ . Назовите соответственно равные углы этих треугольников.

2. Треугольник $A B C$ и треугольник с вершинами $D$ , $E$ , $F$ подобны, причем

$\frac{A B}{E F} = \frac{B C}{F D} = \frac{A C}{E D}$ .

Закончите запись $∆ A B C$ ~ $∆ . . .$ .

3. Являются ли равными любые два подобных треугольника? Подобны ли любые два равных треугольника? Назовите соответствующий коэффициент подобия.

4. Могут ли быть подобными прямоугольный и тупоугольный треугольники?

5. Два треугольника подобны с коэффициентом 0,25. Во сколько раз стороны одного треугольника больше соответствующих сторон другого?

6. Отношение площадей подобных треугольников равно 0,25. Во сколько раз стороны одного треугольника больше соответствующих сторон другого?

7. Отношение площадей двух треугольников равно 4. Означает ли это, что данные треугольники подобны с коэффициентом 2?

8. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону в отношении 1:2. Могут ли углы, прилежащие к этой стороне, быть равными? Почему?

9. Может ли биссектриса равнобедренного треугольника делить боковую сторону в отношении 2:1, начиная от основания? Какой теореме это противоречит?

Ответы

Упражнение 1

1. $x = 15$ , $y = 9$

2. $10 °$ , $80 °$

3 19 см

Упражнение 2

1. $A_{1} B_{1} = 4 с м$

2. 3 см² , 27 см²

3. 108 м

4. 25 см и 30 см

5. 64 см

Предыдущий урок

Признаки подобия треугольников

Треугольники

Следующий урок

Средняя линия треугольника

Треугольники

Урок подготовил(а)

Валерия Александровна

Учитель математики

Опыт работы: более 20 лет

Внутриутробное развитие. Рост и развитие ребёнка после рождения

Биология
Второстепенные члены предложения. Обстоятельство

Русский язык
Второстепенные члены предложения. Определение

Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:

Пока никто не оставил отзыв об этом уроке