Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Четыре замечательные точки треугольника

Треугольники

29.05.2024
2652
0

Четыре замечательные точки треугольника. Свойства биссектрисы угла. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Теорема о пересечении высот треугольника

План урока

  • Доказать теорему о биссектрисе угла и следствия из нее;
  • Определить понятие серединного перпендикуляра к отрезку;
  • Доказать свойство серединного перпендикуляра к отрезку и следствия из него;
  • Доказать теорему о пересечении высот треугольника;
  • Рассмотреть применение свойств замечательных точек треугольника для решения задач.

Цели урока

  • Знать определение серединного перпендикуляра к отрезку, теоремы о биссектрисе угла треугольника, серединном перпендикуляре к отрезку и следствия из них, теорему о пересечении высот треугольника;
  • Уметь применять теоремы и следствия из них при решении задач.

Разминка

  • Сформулируйте свойство медиан треугольника.
  • Один из углов треугольника равен 60°. Под каким углом пересекаются биссектрисы двух других его углов.
  • Один из углов треугольника равен 60°. Под каким углом пересекаются высоты, проведенные к сторонам этого угла.

Свойства биссектрисы угла


Теорема

 

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.


Доказательство

Рис. 1. Точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон

Пусть даны неразвернутый угол с вершиной A и точка D на его биссектрисе (рис. 1). Проведем из точки D  перпендикуляры DB и DC к сторонам данного угла. По определению DB и DC — расстояния от точки D до сторон угла A.

Прямоугольные треугольники DBA и DCA имеют общую гипотенузу DADAB=DAC по условию. Тогда DBA=DCA по гипотенузе и острому углу. Отсюда DB=DC, то есть точка D равноудалена от сторон данного угла.

Рис. 2. Точка, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе

Теперь докажем, что любая точка, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе. Пусть F — некоторая точка, равноудаленная от сторон угла A, то есть перпендикуляры FB и FC, проведенные из точки F к сторонам данного угла, равны (рис. 2). Соединим точки F и A. Тогда прямоугольные треугольники FBA и FCA равны по гипотенузе и катету. Отсюда FAB=FAC, то есть луч AF — биссектриса угла A.

 

Теорема доказана.


Следствие 1

 

Геометрическим местом точек плоскости, лежащих внутри неразвёрнутого угла и равноудаленных от сторон угла, является биссектриса этого угла.

 

Следствие 2

 

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.


Доказательство следствия 2

Рис. 3. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в одной точке

Рассмотрим треугольник ABC, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке O (рис. 3). Опустим перпендикуляры OF OD и OE из точки O к прямым ABBC и AC соответственно. По теореме точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла, поэтому OE=OFOF=OD, следовательно, OE=OD. Таким образом, точка O равноудалена от сторон угла С, следовательно, лежит на его биссектрисе, CO – биссектриса угла С

Все три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O, что и требовалось доказать.


Пример 1

 

В треугольнике ABC A=80°B=60°, а их биссектрисы пересекаются в точке H. Найдите угол ACH.


Решение

Рис. 4. К решению примера 1

По следствию 2 CH – биссектриса угла С (рис. 4), следовательно ACH=12C.

 

C=180°-(A+B)=180°-(80°+60°)=40°ACH=12·40°=20°

 

Ответ: 20°.

Свойство серединного перпендикуляра к отрезку


Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.


Рис. 5. Серединный перпендикуляр к отрезку AB

На рисунке 5 h - серединный перпендикуляр к отрезку AB.


Теорема

 

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.


Рис. 6. К доказательству первой части свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Доказательство

 

Пусть произвольная точка С лежит на прямой c, перпендикулярной отрезку AB и проходящей через его середину — точку O (рис. 6). В треугольнике ACB отрезок CO — медиана и высота, значит, этот треугольник равнобедренный с основанием AB. Отсюда AC=BC, то есть расстояния от точки С до концов отрезка AB равны.

 

Случай, когда точки С и O совпадают, рассмотрите самостоятельно.

Рис. 7. К доказательству второй части свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Докажем обратное утверждение.

 

Пусть произвольная точка D равноудалена от точек A и B, то есть AD=BD (рис. 7). Тогда в равнобедренном треугольнике ADB отрезок DO — медиана, проведенная к основанию, которая является также и высотой. Таким образом, прямая DO — серединный перпендикуляр к отрезку AB

Случай, когда точки D и O совпадают, рассмотрите самостоятельно.

 

Теорема доказана.


Следствие 1

 

Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, является серединный перпендикуляр к этому отрезку.

 

Следствие 2

 

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.


Доказательство следствия 2

Рис. 8. Серединные перпендикуляры треугольника ABC пересекаются в одной точке

Рассмотрим треугольник  ABC HDHE – серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC соответственно (рис. 8). 

Перпендикуляры к сторонам угла B пересекаются в одной точке, иначе они были бы параллельны. Допустим, HDHE, тогда прямая ABHD и ABHE, но BCHE, значит ABBC, чего не может быть. 

 

По доказанному свойству серединного перпендикуляра HA=HBHB=HC, следовательно HA=HC. Тогда точка H лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ABC пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Теорема о пересечении высот треугольника


Теорема

 

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.


Доказательство

Рис. 9. Высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке

Пусть ADBF  и CE — высоты треугольника ABC (рис. 9). Проведя через вершины треугольника ABC прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник A1B1C1, стороны которого перпендикулярны высотам треугольника ABC. По построению четырехугольники C1BCA и B1ABC — параллелограммы, откуда C1A=BC и BC=AB1. Следовательно, точка A — середина отрезка B1C1. Аналогично доказываем, что B — середина A1C1 и 
C — середина A1B1.

 

Таким образом, высоты ADBF и CE лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника A1B1C1, которые пересекаются в одной точке.

 

Теорема доказана.


Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

 

  • точка пересечения биссектрис;
  • точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам;
  • точка пересечения медиан;
  • точка пересечения высот (или их продолжений).


Пример 2

 

Точка H – точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что точка A – точка пересечения высот треугольника HBC.


Рис. 10. К примеру 2

Решение

 

Рассмотрим треугольник ABC, высоты AEBFCD пересекаются в точке H (рис. 10). Докажем, что высоты треугольника HBC пересекаются в точке A

Поскольку AEBCBFACCDAB, то высотами треугольника HBC являются отрезки HEBDCF, которые пересекаются в точке A, что и требовалось доказать.


Упражнения

 

1. Точка K лежит внутри угла BMC и находится на одинаковом расстоянии от сторон угла, BMK=54°. Найдите BMC.

2. PK – серединный перпендикуляр к отрезку NLPL=4NL=7. Найдите периметр треугольника PNL.

3. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите длину стороны AB, если OA = 8 см, AOB = 60°.


Контрольные вопросы

 

1. Какие из замечательных точек треугольника могут лежать вне треугольника?

2. Может ли точка пересечения высот треугольника совпадать с его вершиной?

3. Как расположены замечательные точки в равностороннем треугольнике?

4. Луч BD — биссектриса угла ABC. Можно ли считать его геометрическим местом точек, которые равноудалены:

а) от лучей BA и BC;

б) от прямых BA и BC?

5. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O. Означает ли это, что:

а) OA=OB;

б) ABO=CBO;

в) точка O может лежать на одной из сторон треугольника?


Ответы на упражнения

1. 108°.

2. 15.

3. 8 см.

Предыдущий урок
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов
Треугольники
Следующий урок
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Треугольники
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Четыре замечательные точки треугольника

    Геометрия

  • Решение задач. Смешанное соединение проводников. Электрические цепи. Измерение токов и напряжений в цепи

    Физика

  • Порядок слов в предложении

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке