Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Средняя линия треугольника

Треугольники

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции

План урока

  • Средняя линия треугольника;
  • Свойство медиан треугольника;
  • Средняя линия трапеции;
  • Применение определения и свойств средней линии треугольника и трапеции для решения задач.

Цели урока

  • Знать определение и свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции, свойство медиан треугольника;
  • Уметь применять определение и свойство средней линии треугольника и трапеции при решении задач.

Разминка

  • Какие треугольники называются подобными?
  • Что называют коэффициентом подобия?
  • Как доказать подобие треугольников?
  • Чему равно отношение площадей подобных треугольников?

Средняя линия треугольника


Определение

 

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис. 1). 


Теорема ( свойство средней линии треугольника )

 

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.


Доказательство

Рис. 1. DE – средняя линия треугольника ABC Рис. 1. DE – средняя линия треугольника ABC

Рассмотрим треугольник ABCDE – его средняя линия (рис. 1). 

 

По определению средней линии треугольника DB=12 ABBE=12 BC, тогда треугольники ABC и DBEподобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (B – общий, ABDB=CBEB=2). Тогда BAC=BDE, а они соответственные при пересечении прямых AC и DE секущей AB, следовательно DEAC

 

Поскольку коэффициент подобия треугольников k=2, то AC=2DE или DE=12 AC.

 

Теорема доказана.


В любом треугольнике можно провести три средних линии, которые делят треугольник на четыре равных треугольника, подобных исходному (докажите самостоятельно).


Пример 1

 

Периметр треугольника равен 76 см. Стороны треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, относятся как 4:7:8. Найдите стороны данного треугольника.


Решение

Рис. 2. К решению примера 1 Рис. 2. К решению примера 1

Рассмотрим ABCPABC=76 смDEEFDF  – средние линии треугольника, EF:DF:DE=4:7:8 (рис. 2).

Треугольники ABC и DEF подобны по трем пропорциональным сторонам, т.к. 

 

DE=12 ACEF=12 ABDF=12 BC

 

по свойству средней линии треугольника. Следовательно отношение сторон треугольника ABC такое же, как в треугольнике DEF, т.е.

 

AB:BC:AC=4:7:8.

 

Пусть x – одна часть, тогда AB=4xBC=7xAC=8x.

Периметр треугольника равен сумме длин сторон, тогда: 4x+7x+8x=7619x=76x=4.

 

4·4=16 (см)-AB

7·4=28 (см)-BC

8·4=32 (см)-AC

 

Ответ: 16 см, 28 см, 32 см.


Упражнение 1

 

1. Стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

2. Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами 3 м и 4 м и меньшим основанием 5 м. Найдите периметр треугольника.

3. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника и проходящая через середину боковой стороны, отсекает от данного треугольника трапецию. Найдите ее периметр, если периметр данного треугольника равен 26 см, а основание относится к боковой стороне как 5:4.


Пример 2

 

Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма ( теорема Вариньона ).


Решение

 

Рассмотрим четырехугольник ABCDEFGH  - середины сторон данного четырехугольника. Докажем, что EFGH - параллелограмм (рис. 3).

Рис. 3. Теорема Вариньона Рис. 3. Теорема Вариньона

В треугольнике ABC EF – средняя линия, значит, EFACEF=12 AC.

В треугольнике ADCGH  – средняя линия, значит, GHACGH=12 AC.

 

Получили, что в четырехугольнике EFGH противоположные стороны EF=GH и EFGH, следовательно, EFGH – параллелограмм, что и требовалось доказать.

 

Докажите теорему Вариньона для невыпуклого четырехугольника самостоятельно.


Теорема ( свойство медиан треугольника )

 

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.


Доказательство

Рис. 4. К доказательству теоремы о свойстве медиан треугольника Рис. 4. К доказательству теоремы о свойстве медиан треугольника

Рассмотрим треугольник ABCAEBFCD – медианы треугольника, медианы AE и CD пересекаются в точке O (рис. 4).

 

Так как D – середина ABE – середина BC, то DE  – средняя линия, по свойству средней линии треугольника DE=12 ACDEAC, тогда накрест лежащие углы при параллельных прямых равны:

 

OAC=OEDOCA=ODE.

 

Треугольники AOC и EOD подобны по двум углам, следовательно:

 

ACDE=AOOE=COOD=21.

 

Таким образом, точка пересечения медиан AE и CD делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

 

Аналогично доказываем, что точка пересечения медиан BF и CD делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, значит совпадает с точкой O.

 

Все три медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, что и требовалось доказать.


Средняя линия трапеции


Рис. 5. MN – средняя линия трапеции ABCD Рис. 5. MN – средняя линия трапеции ABCD

Определение

 

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).


Теорема ( свойство средней линии трапеции )

 

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.


Доказательство

Рис. 6. К доказательству свойства средней линии трапеции Рис. 6. К доказательству свойства средней линии трапеции

Рассмотрим трапецию ABCDMN – средняя линия трапеции (рис. 6). Докажем, что 

 

MNAD,  MNBC,  MN=AD+BC2.

 

Пусть прямая BN пересекает основание AD в точке K. Треугольники BCN и KDN равны по стороне и двум прилежащим углам (CN=ND1=2 как вертикальные,  3=4 как накрест лежащие при BCAD и секущей CD), следовательно BC=DKBN=NK.

 

В треугольнике ABK MN – средняя линия, тогда по свойству средней линии треугольника MNADMN=12 AK=12 (AD+DK)=12(AD+BC). Основания трапеции параллельны, следовательно MNBC,  MNAD

 

Теорема доказана.


Пример 3

 

Пусть ABCD – равнобедренная трапеция с основаниями ADи BCMN – средняя линия, CE – высота. Докажите, что:

1) MN=AE;

2) AMNE – параллелограмм.


Решение

Рис. 7. К решению примера 3 Рис. 7. К решению примера 3

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCDMN – средняя линия трапеции, CE и BH – высоты (рис. 7).

 

Прямоугольные треугольники ABH и CDE равны по гипотенузе и острому углу (AB=CDBAH=CDE, т.к. трапеция ABCD равнобедренная), следовательно

 

AH=DE=AD-BC2.

 

Отрезок AE=AH+HE=AD-BC2+BC=AD+BC2=MN. Таким образом, MN=AEMNAE, следовательно, AMNE – параллелограмм, что и требовалось доказать.


Упражнение 2

 

1. Найдите:

а) среднюю линию равнобокой трапеции с боковой стороной 5 см и периметром 26 см;

б) основания трапеции, если одно из них больше другого на 6 см, а средняя линия трапеции равна 5 см.

2. Прямоугольная трапеция делится диагональю на равносторонний треугольник со стороной  и прямоугольный треугольник. Найдите среднюю линию трапеции.

3. Боковую сторону равнобедренного треугольника разделили на четыре равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные основанию треугольника. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, если его основание равно 12 см.


Контрольные вопросы

 

1. Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC (см. рис. 1).

а) определите вид четырехугольника ADEC.

б) назовите медиану треугольника, проведенную из вершины A.

2. Может ли средняя линия треугольника быть перпендикулярной его стороне; двум его сторонам?

3. Могут ли средние линии треугольника быть равными 3 см, 4 см и 10 см? Почему?

4. В треугольнике ABC проведена средняя линия DE, параллельная стороне AC. В каком отношении прямая DE делит медиану BM; высоту BH?

5. Середины оснований трапеции соединены отрезком. Является ли он средней линией трапеции?

6. Может ли средняя линия трапеции быть меньше обоих ее оснований; равной одному из оснований?

7. Может ли средняя линия трапеции проходить через точку пересечения диагоналей? Почему?


Ответы

Упражнение 1

 

  1. 6 см, 8 см, 10 см
  2. 24 м
  3. 23 см.

 

Упражнение 2

 

  1. а) 8 см; б) 2 см и 8 см
  2. 3a4
  3. 3 см, 6 см, 9 см.


Практические приложения подобия треугольников. О подобии произвольных фигур

Треугольники
  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История