Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Средняя линия треугольника

Треугольники

22.07.2024
2297
0

Средняя линия треугольника

План урока

  • Средняя линия треугольника
  • Свойство медиан треугольника
  • Применение определения и свойства средней линии треугольника для решения задач

Цели урока

  • Знать определение и свойство средней линии треугольника, свойство медиан треугольника
  • Уметь применять определение и свойство средней линии треугольника при решении задач

Разминка

  • Какие треугольники называются подобными?
  • Что называют коэффициентом подобия?
  • Как доказать подобие треугольников?
  • Чему равно отношение площадей подобных треугольников?

 

Средняя линия треугольника 


Определение 

 

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.  


Теорема ( свойство средней линии треугольника

 

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. 


Доказательство 

Рис. 1. DE — средняя линия ∆ABC

Рассмотрим треугольник ABCDE — его средняя линия (рис. 1). 

 

По определению средней линии треугольника DB=12ABEB=12CB, тогда треугольники ABC и DBE подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (B — общий, ABDB=CBEB=2).

 

Тогда BAC=BDE, а они соответственные при пересечении прямых AC и DE  секущей AB, следовательно ACDE

 

Поскольку коэффициент подобия треугольников равен 2, то AC=2DE или DE=12AC

 

Теорема доказана


В любом треугольнике можно провести три средних линии, которые делят треугольник на четыре равных треугольника, подобных исходному (докажите самостоятельно). 


Пример 1 

 

Периметр треугольника равен 76 см. Стороны треугольника, образованного средними линиями данного треугольника, относятся как 4 : 7 : 8. Найдите стороны данного треугольника. 


Решение 

Рис. 2. К решению примера 1

Рассмотрим ABCPABC=76 см, DEEFDF — средние линии треугольника, EF : DF : DE = 4 : 7 : 8 (рис. 2). 

 

Треугольники ABC и DEF подобны по трем пропорциональным сторонам, т. к. DE=12ACEF=12ABDF=12BC по свойству средней линии треугольника. Следовательно отношение сторон треугольника ABC такое же, как в треугольнике DEF, т.е. AB : BC : AC = 4 : 7 : 8

 

Пусть x — одна часть, тогда  AB=4xBC=7xAC=8x. Периметр треугольника равен сумме длин сторон, тогда: 

 

4x+7x+8x=76

 

19x = 76,

 

x=4

 

4·4=16 (см) — AB

7·4 = 28 (см) — BC

8·4 = 32 (см) — AC.

 

Ответ: 16 см, 28 см, 32 см. 


Упражнение 1 

  1. Стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
  2. Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами 3 м и 4 м и меньшим основанием 5 м. Найдите периметр треугольника.
  3. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника и проходящая через середину боковой стороны, отсекает от данного треугольника трапецию. Найдите ее периметр, если периметр данного треугольника равен 26 см, а основание относится к боковой стороне как 5 : 4.


Пример 2 

 

Докажите, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма ( теорема Вариньона ). 


Решение 

Рис. 3. Теорема Вариньона

Рассмотрим четырехугольник ABCDEFGH — середины сторон данного четырехугольника. Докажем, что EFGH — параллелограмм (рис. 3). 

 

В треугольнике ABCEF— средняя линия, значит, EFACEF=12AC. В треугольнике ADCGH — средняя линия, значит, GHACGH=12AC

 

Получили, что в четырехугольнике EFGH противоположные стороны EF=GH и EFGH, следовательно EFGH — параллелограмм, что и требовалось доказать.

 

Докажите теорему Вариньона для невыпуклого четырехугольника самостоятельно. 


Теорема ( свойство медиан треугольника

 

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. 


Доказательство 

Рис. 4. К доказательству свойства медиан

Рассмотрим треугольник ABCAEBFCD — медианы треугольника, медианы AE и CD пересекаются в точке O (рис. 4). 

 

Так как D — середина ABE — середина BC
то DE — средняя линия треугольника ABC, по свойству средней линии треугольника DE=12ACDEAC, тогда накрест лежащие углы при параллельных прямых равны: OAC=OEDOCA=ODE

 

Треугольники AOC и EOD подобны по двум углам, следовательно: 

 

ACDE=AOOE=COOD=21.

 

Таким образом, точка пересечения медиан AE и CD делит их в отношении 2 : 1 считая от вершины. 

 

Аналогично доказываем, что точка пересечения медиан BF и CD делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, значит совпадает с точкой O

 

Все три медианы пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, что и требовалось доказать. 


Контрольные вопросы 

 

  1. Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC (см. рис. 1). 
    а) определите вид четырехугольника ADEC.
    б) назовите медиану треугольника, проведенную из вершины A.
  2. Может ли средняя линия треугольника быть перпендикулярной его стороне; двум его сторонам?
  3. Могут ли средние линии треугольника быть равными 3 см, 4 см и 
    10 см? Почему?
  4. В треугольнике ABC проведена средняя линия DE, параллельная стороне AC. В каком отношении прямая DE делит медиану BM; высоту BH?


Ответы

Упражнение 1 

 

1. 6 см, 8 см, 10 см 

2. 24 м 

3. 23 см. 


Предыдущий урок
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов
Треугольники
Следующий урок
Теорема Пифагора. Прямая теорема Пифагора. Обратная теорема Пифагора
Треугольники
Урок подготовил(а)
teacher
Валерия Александровна
Учитель математики
Опыт работы: более 20 лет
Поделиться:
  • Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности

    Геометрия

  • Двусоставное предложение. Главные члены предложения. Подлежащее и способы его выражения

    Русский язык

  • Наука в современном обществе

    Обществознание

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке