Конспект урока: Разложение разности квадратов на множители

[header]Разложение разности квадратов на множители[/header]

[flex column='true'][row title='План урока']

• Разложение разности квадратов на множители;
• Решение упражнений по теме.

[/row][row title='Цели урока']

• Знать формулу разности квадратов двух выражений;
• Уметь раскладывать на множители по формуле разности квадратов двух выражений.

[/row][row title='Разминка' final='true']

• Чему равен квадрат суммы двух выражений?
• Чему равен квадрат разности двух выражений?
• Чему равно произведение разности двух выражений на их сумму?
• Какие способы разложения многочленов на множители вы знаете?
• Как разложить на множители многочлен вида $a^2+2ab+b^2$?
• Как разложить на множители многочлен вида $a^2-2ab+b^2$?

[/row][/flex]

Разложение разности квадратов на множители

Изучив формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений, мы уже применяли их для разложения многочленов вида $a^2+2ab+b^2$ и вида $a^2-2ab+b^2$ на множители:

[img url='/upload/6jfz5ZMQE927_Алгебра-39.png' width='80'][/img]

Очевидно, что формулы сокращенного умножения можно использовать не только для быстрого умножения многочлена на многочлен, но и для разложения многочлена на множители, если переписать их, поменяв местами правую и левую части. 

[line][/line]

[section icon='note']

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

[/section]

[line][/line]

[img url='/upload/AI83FWFZFyiI_%25D0%2590%25D0%25BB%25D0%25B3%25D0%25B5%25D0%25B1%25D1%2580%25D0%25B0-40.png' width='50'][/img]

Формула разности квадратов может быть получена и способом группировки. К выражению $a^2-b^2$ можно прибавить выражение $ab$ и отнять выражение $ab$. В этом случае ничего не изменится. Далее применим переместительное свойство сложения и получим:

$a^2-b^2=a^2-b^2+ab-ab=a^2+ab-b^2-ab=a\left(a+b\right)-b\left(b+a\right)=$

$=\left(a+b\right)\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

Разложение на множители с помощью формулы разности квадратов встречается довольно часто. Приведём примеры применения этой формулы.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 1

[/section]

Разложите на множители:

а) $4x^2-y^2$

б) $x^2-36$

в) $x^4-81y^6$

[line][/line]

Решение

а) Заметим, что $4x^2={\left(2x\right)}^2$. Тогда в формуле разности квадратов роль $a^2$ будет выполнять $4x^2$, а роль $b^2$ - $y^2$. Получим:

$4x^2-y^2={\left(2x\right)}^2-{\left(y\right)}^2=\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)$.

б) Учитывая, что $36=6^2$, получим:

$x^2-36={\left(x\right)}^2-6^2=\left(x-6\right)\left(x+6\right)$.

в) Заметим, что $x^4$ — это квадрат одночлена $x^2$; $81y^6$ — это квадрат $9y^3$.По формуле разности квадратов получим:

$x^4-81y^6={\left(x^2\right)}^2-{\left(9y^3\right)}^2=\left(x^2-9y^3\right)\left(x^2+9y^3\right)$.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 2

[/section]

Вычислите:

а) ${57}^2-{47}^2$

б) $34,6^2-24,6^2$

в) $\frac{{53}^2-{27}^2}{{79}^2-{51}^2}$

г) $\frac{{49}^2-2·49·29+{29}^2}{{49}^2-{19}^2}$

[line][/line]

Решение

а) Разложим на множители, использую формулу разности квадратов:

${57}^2-{47}^2=(57-47)(57+47)=10·104=1040$.

б) Так же, как и в пункте а:

$34,6^2-24,6^2=(34,6-24,6)(34,6+24,6)=10·59,2=592$.

в) И в числителе, и в знаменателе применим формулу разности квадратов:

$\frac{{53}^2-{27}^2}{{79}^2-{51}^2}=\frac{(53-27)(53+27)}{(79-51)(79+51)}=\frac{26·80}{28·130}=\frac{13·8}{14·13}=\frac{4}{7}$.

г) В этом примере в числителе нужно применить формулу квадрата разности, а в знаменателе – формулу разности квадратов:

$\frac{{49}^2-2·49·29+{29}^2}{{49}^2-{19}^2}=\frac{{(49-29)}^2}{(49-19)(49+19)}=\frac{{20}^2}{30·68}=\frac{10}{51}$.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 3

[/section]

Решите уравнение:

а) $x^2-9=0$

б) $25-4x^2=0$

в) $\frac{1}{9}{x}^2-16=0$

г) $x^2+36=0$

[line][/line]

Решение

а) Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:

$x^2-9=0$

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$.

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда:

$x-3=0$ или $x+3=0$

$x=3$ или $x=-3$.

б) Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:

$25-4x^2=0$

$5^2-{\left(2x\right)}^2=0$

$\left(5-2x\right)\left(5+2x\right)=0$

$5-2x=0$ или $5+2x=0$

$2x=5$ или $2x=-5$

$x=2,5$ или $x=-2,5$.

в)

 $\frac{1}{9}{x}^2-16=0$

$\left(\frac{1}{3}x-4\right)\left(\frac{1}{3}x+4\right)=0$

$\frac{1}{3}x-4=0$ или $\frac{1}{3}x+4=0$

$\frac{1}{3}x=4$или $\frac{1}{3}x=-4$

$x=12$ или $x=-12$.

г) 

$x^2+36=0$

В этом примере нельзя применить формулу разности квадратов. Получим, что $x^2=-36$. Мы знаем, что квадрат любого числа не может быть отрицательным. Поэтому данное уравнение не имеет решений.

[line][/line]

[section icon='example']

Пример 4

[/section]

Представить в виде произведения:

а) $16x^2-{(1+2x)}^2$

б) ${(2x+y)}^2-{(x-2y)}^2$

[line][/line]

Решение

Представить в виде произведения это то же, что и разложить на множители.

а) Для разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов. Роль $a^2$ принадлежит $16x^2$, а роль $b^2$ принадлежит ${(1+2x)}^2$. Тогда получим:

$16x^2-{\left(1+2x\right)}^2=\left(4x-\left(1+2x\right)\right)·\left(4x+\left(1+2x\right)\right)=\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$.

б) Применим формулу разности квадратов. Роль $a$ выполняет $\left(2x+y\right)$, а роль $b$ выполняет $\left(x-2y\right)$. Получим:

${\left(2x+y\right)}^2-{\left(x-2y\right)}^2=\left(2x+y-\left(x-2y\right)\right)·\left(2x+y+\left(x-2y\right)\right)=$

$=\left(x+3y\right)\left(3x-y\right).$

[line][/line]

[section icon='exercise']

Упражнение 1

[/section]

1. Разложите на множители:

а) $64x^2-36y^4$

б) $\frac{1}{9}{x}^2-\frac{1}{16}$

в) $x^6-100y^8$

г) $0,09x^{12}-16y^2$

2. Вычислите:

а) ${76}^2-{66}^2$

б) $21,3^2-21,2^2$

в) $\frac{{38}^2-{17}^2}{{47}^2-{19}^2}$

г) $\frac{{27}^2+2·27·13+{13}^2}{{47}^2-3^2}$

3. Решите уравнение:

а) $4x^2-16=0$

б) $81-9x^2=0$

в) $\frac{1}{25}{x}^2-1=0$

г) $4x^2+1=0$

4. Представить в виде произведения:

а) $9x^2-{(1-4x)}^2$

б) ${\left(3x-2y\right)}^2-{\left(2x-3y\right)}^2$

в) ${(5x-6)}^2-49x^2$

г) ${\left(4x-y\right)}^2-{\left(2x+3y\right)}^2$

[line][/line]

[section icon='question']

Контрольные вопросы

1. Напишите формулу разности квадратов двух выражений.

2. Приведите пример разложения многочлена на множители по формуле разности квадратов.

3. Может ли разность квадратов двух чисел быть больше суммы квадратов этих же чисел?

4. Получите формулу разности квадратов, применяя способ группировки.

[/section]

[line][/line]

[flex column='true'][row title='Ответы' final='true']

Упражнение 1

1. а) $\left(8x-6y^2\right)\left(8x+6y^2\right)=4\left(4x-3y^2\right)\left(4x+3y^2\right)$

б) $\left(\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4} \right)$   

в) $\left(x^3-10y^4\right)\left(x^3+10y^4\right)$   

г) $\left(0,3x^6-4y\right)\left(0,3x^6+4y\right)$  

2. а) $1420$ 

б) $4,25$  

в) $\frac{5}{8}$

г) $\frac{8}{11}$

3. а) $-2; 2$ 

б) $-3; 3$  

в) $-5; 5$ 

г) нет решений

4. а) $(7x-1)(1-x)$

б) $(x+y)(5x-5y)=5(x+y)(x-y)$

в) $(-2x-6)(12x-6)=-12(x+3)(2x-1)$ 

г) $(2x-4y)(6x+2y)=4(x-2y)(3x+y)$

[/row][/flex]