Конспект урока: Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

Мы уже говорили о важности умения раскладывать многочлены на множители. Пока мы изучили два метода для решения этой задачи. Это вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. Сегодня мы научимся раскладывать многочлены на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

До этого мы применяли эти формулы только для возведения в квадрат суммы или разности двух выражений. Однако, эти формулы можно использовать и для разложения на множители многочленов вида $a^2+2ab+b^2$ или $a^2-2ab+b^2$. 

Действительно, если формулы записать наоборот, то получим:

Это означает, что любой многочлен вида $a^2+2ab+b^2$ можно разложить на множители как $\left(a+b\right)\left(a+b\right)$, а многочлен вида $a^2-2ab+b^2$ можно представить в виде произведения $\left(a-b\right)\left(a-b\right)$.

Давайте посмотрим, как это работает на конкретных примерах.

Разложите на множители:

а) $4x^2+4xy+y^2$

б) $x^2-10x+25$

в) $x^4+12x^2{y}^3+36y^6$

г) 2$4xy-16x^2-9y^2$

Решение

а) Заметим, что первый член многочлена является квадратом выражения $2x$, третий член многочлена – это $y$, возведенный в квадрат. Второй член многочлена $4xy$ может быть представлен как удвоенное произведение $2x$ и $y$. Значит, данный многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

$4x^2+4xy+y^2={\left(2x\right)}^2+2·2x·y+y^2={(2x+y)}^2=\left(2x+y\right)\left(2x+y\right)$.

б) Этот многочлен можно представить в виде квадрата разности двух выражений:

$x^2-10x+25={\left(x\right)}^2-2·x·5+5^2={(x-5)}^2=\left(x-5\right)\left(x-5\right)$.

в) Заметим, что $x^4$ — это квадрат одночлена $x^2$; $36y^6$ — это квадрат $6y^3$; $12x^2{y}^3$ можно представить как удвоенное произведение $x^2$ и $6y^3$. Многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

$x^4+12x^2{y}^3+36y^6={\left(x^2\right)}^2+2·x^2·6y^3+{\left(6y^3\right)}^2={\left(x^2+6y^3\right)}^2=$

$=\left(x^2+6y^3\right)\left(x^2+6y^3\right)$.

г) В этом многочлене поменяем слагаемые местами и вынесем знак «минус» вперёд:

$24xy-16x^2-9y^2=-(16x^2-24xy+9y^2)$.

Теперь можно воспользоваться формулой квадрата разности двух выражений:

$24xy-16x^2-9y^2=-\left(16x^2-24xy+9y^2\right)=-\left({\left(4x\right)}^2-2·4x·3y+{\left(3y\right)}^2\right)=$

$=-{(4x-3y)}^2=-\left(4x-3y\right)\left(4x-3y\right)$.

Замените знак $*$ таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

$16x^2+24xy+*$

Решение

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений. 

Роль $a^2$ будет выполнять $16x^2$ (это квадрат одночлена $4x$). Роль удвоенного произведения достанется одночлену $24xy$. Первый множитель этого удвоенного произведения мы уже нашли - это $4x$. Тогда удвоенное произведение можно представить в виде:

$24xy=2·4x·3y$.

Теперь очевидно, что роль переменной $b$ в формуле квадрата суммы выполняет $3y$. На месте $*$ должен стоять $b^2$, значит $*={\left(3y\right)}^2=9y^2$.

1. Представьте в виде квадрата двучлена:

а) $4-20x+25x^2$

б) $81x^2-18xy+y^2$

в) $x^2{y}^2-2xy+1$

г) $x^4+2x^{2}y+y^2$

2. Замените знак $*$ таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

а) $*+12x+36$

б) $49-56x+*$

в) $25x^2+*+4y^2$

г) $0,01x^2-*+100y^2$