Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Формулы сокращенного умножения

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

План урока

  • Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
  • Решение упражнений по теме

Цели урока

  • Знать формулы квадрата суммы и разности двух выражений
  • Уметь представлять трёхчлен в виде квадрата двучлена с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Разминка

  • Чему равен квадрат суммы двух выражений?
  • Чему равен квадрат разности двух выражений?
  • Что означает разложить на множители?
  • Какие методы разложения на множители вы знаете?
  • В чём суть разложения на множители способом группировки?
  • В каких случаях группировка будет удачной, а в каких нет?

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

 

Мы уже говорили о важности умения раскладывать многочлены на множители. Пока мы изучили два метода для решения этой задачи. Это вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. Сегодня мы научимся раскладывать многочлены на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

До этого мы применяли эти формулы только для возведения в квадрат суммы или разности двух выражений. Однако, эти формулы можно использовать и для разложения на множители многочленов вида a2+2ab+b2 или a2-2ab+b2

 

Действительно, если формулы записать наоборот, то получим:

Это означает, что любой многочлен вида a2+2ab+b2 можно разложить на множители как (а+b)(а+b), а многочлен вида a2-2ab+b2 можно представить в виде произведения (а-b)(а-b).

 

Давайте посмотрим, как это работает на конкретных примерах.


Пример 1

Разложите на множители:

 

а) 4х2+4ху+у2

б) х2-10х+25

в) х4+12х2у3+36у6

г) 24ху-16х2-9у2


Решение

 

а) Заметим, что первый член многочлена является квадратом выражения 2х, третий член многочлена – это у, возведенный в квадрат. Второй член многочлена 4ху может быть представлен как удвоенное произведение 2х и у. Значит, данный многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

 

4х2+4ху+у2=(2х)2+2·2х·у+у2=(2х+у)2=(2х+у)(2х+у).

 

б) Этот многочлен можно представить в виде квадрата разности двух выражений:

 

х2-10х+25=(х)2-2·х·5+52=(х-5)2=(х-5)(х-5).

 

в) Заметим, что х4 — это квадрат одночлена х236у6 — это квадрат 6у312х2у3 можно представить как удвоенное произведение х2 и 6у3. Многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

 

х4+12х2у3+36у6=х22+2·х2·6у3+6у32=х2+6у32=

=х2+6у3х2+6у3.

 

г) В этом многочлене поменяем слагаемые местами и вынесем знак «минус» вперёд:

 

24ху-16х2-9у2=-(16х2-24ху+9у2).

 

Теперь можно воспользоваться формулой квадрата разности двух выражений:

 

24ху-16х2-9у2=-(16х2-24ху+9у2)=-(4х)2-2·4х·3у+(3у)2=

=-(4х-3у)2=-(4х-3у)(4х-3у).


Пример 2

Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

 

16х2+24ху+*


Решение

 

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений. 

Роль а2 будет выполнять 16х2 (это квадрат одночлена 4х). Роль удвоенного произведения достанется одночлену 24ху. Первый множитель этого удвоенного произведения мы уже нашли - это 4х. Тогда удвоенное произведение можно представить в виде:

24ху=2·4х·3у.

 

Теперь очевидно, что роль переменной b в формуле квадрата суммы выполняет 3у. На месте  должен стоять b2, значит *=(3у)2=9у2.

 


Упражнение 1

1. Представьте в виде квадрата двучлена:

 

а) 4-20х+25х2

б) 81х2-18ху+у2

в) х2у2-2ху+1

г) х4+2х2у+у2

 

2. Замените знак * недостающими одночленами, чтобы получилось верное равенство:

 

а) (*-2х)2=-12ху+*

б) (3х+*)2=*+*+49у2

 

3. Замените знак  таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

 

а) *+12х+36

б) 49-56х+*

в) 25х2+*+4у2

г) 0,01х2+100у2


Контрольные вопросы

 

1. Напишите формулу квадрата суммы двух выражений.

2. Напишите формулу квадрата разности двух выражений.

3. Приведите пример трехчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.

4. Приведите пример трехчлена, который можно представить в виде квадрата разности.


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) (2-5х)2  

б) (2-5х)2  

в) (ху-1)2

г) (х2+у)2

 

2. а)(3у-2х)2=9у2-12ху+4х2  

б) (3х+7у)2=9х2+42ху+49у2

 

3. а) х2 

б) 16х2  

в) 20ху  

г) 2ху

Разложение на множители суммы и разности кубов

Формулы сокращенного умножения
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История