Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Формулы сокращенного умножения

21.02.2024
1487
0

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

План урока

  • Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений;
  • Решение упражнений по теме.

Цели урока

  • Знать формулы квадрата суммы и разности двух выражений;
  • Уметь представлять трёхчлен в виде квадрата двучлена с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

Разминка

  • Чему равен квадрат суммы двух выражений?
  • Чему равен квадрат разности двух выражений?
  • Что означает разложить многочлен на множители?
  • Какие методы разложения на множители вы знаете?
  • В чём суть разложения на множители способом группировки?
  • В каких случаях группировка будет удачной, а в каких нет?

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

 

Мы уже говорили о важности умения раскладывать многочлены на множители. Пока мы изучили два метода для решения этой задачи. Это вынесение общего множителя за скобки и способ группировки. Сегодня мы научимся раскладывать многочлены на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.

До этого мы применяли эти формулы только для возведения в квадрат суммы или разности двух выражений. Однако, эти формулы можно использовать и для разложения на множители многочленов вида a2+2ab+b2 или a2-2ab+b2

 

Действительно, если формулы записать наоборот, то получим:

Это означает, что любой многочлен вида a2+2ab+b2 можно разложить на множители как a+ba+b, а многочлен вида a2-2ab+b2 можно представить в виде произведения a-ba-b.

 

Давайте посмотрим, как это работает на конкретных примерах.


Пример 1

Разложите на множители:

 

а) 4x2+4xy+y2

б) x2-10x+25

в) x4+12x2y3+36y6

г) 24xy-16x2-9y2


Решение

 

а) Заметим, что первый член многочлена является квадратом выражения 2x, третий член многочлена – это y, возведенный в квадрат. Второй член многочлена 4xy может быть представлен как удвоенное произведение 2x и y. Значит, данный многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

 

4x2+4xy+y2=(2x)2+2·2x·y+y2=(2x+y)2=2x+y2x+y.

 

б) Этот многочлен можно представить в виде квадрата разности двух выражений:

 

x2-10x+25=(x)2-2·x·5+52=(x-5)2=x-5x-5.

 

в) Заметим, что x4 — это квадрат одночлена x236y6 — это квадрат 6y312x2y3 можно представить как удвоенное произведение x2 и 6y3. Многочлен можно представить в виде квадрата суммы двух выражений:

 

x4+12x2y3+36y6=x22+2·x2·6y3+6y32=x2+6y32=

=x2+6y3x2+6y3.

 

г) В этом многочлене поменяем слагаемые местами и вынесем знак «минус» вперёд:

 

24xy-16x2-9y2=-(16x2-24xy+9y2).

 

Теперь можно воспользоваться формулой квадрата разности двух выражений:

 

24xy-16x2-9y2=-16x2-24xy+9y2=-(4x)2-2·4x·3y+(3y)2=

=-(4x-3y)2=-4x-3y4x-3y.


Пример 2

Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

 

16x2+24xy+*


Решение

 

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений. 

Роль a2 будет выполнять 16x2 (это квадрат одночлена 4x). Роль удвоенного произведения достанется одночлену 24xy. Первый множитель этого удвоенного произведения мы уже нашли - это 4x. Тогда удвоенное произведение можно представить в виде:

24xy=2·4x·3y.

 

Теперь очевидно, что роль переменной b в формуле квадрата суммы выполняет 3y. На месте * должен стоять b2, значит *=(3y)2=9y2.

 


Упражнение 1

1. Представьте в виде квадрата двучлена:

 

а) 4-20x+25x2

б) 81x2-18xy+y2

в) x2y2-2xy+1

г) x4+2x2y+y2

 

2. Замените знак * таким одночленом, чтобы полученное выражение можно было представить в виде квадрата двучлена:

 

а) *+12x+36

б) 49-56x+*

в) 25x2+*+4y2

г) 0,01x2-*+100y2


Контрольные вопросы

 

1. Напишите формулу квадрата суммы двух выражений.

2. Напишите формулу квадрата разности двух выражений.

3. Приведите пример трехчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.

4. Приведите пример трехчлена, который можно представить в виде квадрата разности.


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) (2-5x)2  

б) (9x-y)2  

в) (xy-1)2

г) (x2+y)2

 

2. а) x2 

б) 16x2  

в) 20xy  

г) 2xy

Предыдущий урок
Разложение на множители суммы и разности кубов
Формулы сокращенного умножения
Следующий урок
Применение различных способов для разложения на множители
Формулы сокращенного умножения
Поделиться:
  • Illegal activities. Преступления

    Английский язык

  • НЕ с разными частями речи. НЕ и НИ с местоимениями и наречиями

    Русский язык

  • Числовые выражения. Выражения с переменными

    Алгебра

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке