- Умножение разности двух выражений на их сумму
- Решение заданий по теме
- Знать формулу произведения разности двух выражений на их сумму
- Уметь выводить формулу произведения разности двух выражений на их сумму алгебраическим и геометрическим способами
- Уметь применять формулу произведения разности двух выражений на их сумму для решения заданий
- Назовите формулы сокращенного умножения, которые вы знаете
- Для чего нужны формулы сокращенного умножения?
- Что значит возвести число в квадрат?
- Чему равна площадь квадрата? Прямоугольника?
- Сформулируйте правило умножения многочленов
Умножение разности двух выражений на их сумму.
Мы уже изучили четыре формулы сокращенного умножения. Давайте вспомним их:
Теперь пришло время познакомиться с ещё одной формулой.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.
Эта формула позволит быстро умножить разность и сумму одних и тех же выражений и . Выведем эту формулу двумя способами.
1 способ. Алгебраический.
Умножим разность выражений на их сумму по правилу умножения многочленов. Получим:
.
2 способ. Геометрический.
Пусть и - некоторые положительные числа, такие, что . Рассмотрим прямоугольник со сторонами и (рис.1 слева). Площадь такого прямоугольника будет равна произведению . Теперь отрежем прямоугольник со сторонами и и приложим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 1 справа. Очевидно, что полученная фигура будет иметь ту же площадь, что и первоначальный прямоугольник. Но, с другой стороны, эту новую фигуру можно построить следующим способом: из квадрата со стороной равной вырезать квадрат со стороной равной . Значит, площадь новой фигуры будет равна . Таким образом, получили, что .
Приведем примеры применения этой формулы.
Пример 1
Выполните умножение:
а)
б)
в)
г)
Решение
а) Нужно умножить разность и 5 на их сумму. Воспользуемся формулой:
Роль будет выполнять , а роль выполняет 5. Тогда:
.
б) В данном примере нужно перемножить разность и сумму и . По формуле получим:
.
в) Аналогичным образом перемножим разность и сумму и . Вспомним, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.
.
г) Применим переместительное свойство сложения и раскроем скобки, используя формулу:
.
Пример 2
Впишите вместо знака одночлен так, чтобы получилось верное равенство:
а)
б)
Решение
а) Воспользуемся формулой произведения разности двух выражений на их сумму. Очевидно, что роль будет выполнять . Тогда роль выполняет . После возведения в квадрат получили . Так как , то .
б) Аналогичным образом находим, что – это , возведенный в квадрат. Так как , то .
Пример 3
Найдите значение выражения:
а)
б)
Решение
а) Нам нужно представить числа 27 и 33 в виде суммы и разности двух одинаковых чисел. Очевидно, что 27=30-3, а 33=30+3. Тогда по формуле умножения разности двух выражений на их сумму находим:
.
б) В этом примере найдем представление в виде суммы и разности для чисел 68 и 72. Понятно, что 68=70-2, а 72=70+2. Тогда:
.
Упражнение 1
1. Выполните умножение:
а)
б)
в)
г)
2. Впишите вместо знака одночлен так, чтобы получилось верное равенство:
а)
б)
3. Найдите значение выражения:
а)
б)
Контрольные вопросы
1. Напишите формулу для умножения разности и суммы двух выражений. Дайте её словесную формулировку.
2. Выведите формулу для умножения разности и суммы двух выражений алгебраическим способом.
3. Выведите формулу для умножения разности и суммы двух выражений геометрическим способом.
Упражнение 1
1. а)
б)
в)
г)
2. а)
б)
3. а)
б)