Конспект урока: Разложение разности квадратов на множители

Разложение разности квадратов на множители

Изучив формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений, мы уже применяли их для разложения многочленов вида $a^2+2ab+b^2$ и вида $a^2-2ab+b^2$ на множители:

Очевидно, что формулы сокращенного умножения можно использовать не только для быстрого умножения многочлена на многочлен, но и для разложения многочлена на множители, если переписать их, поменяв местами правую и левую части. 

Формула разности квадратов может быть получена и способом группировки. К выражению $a^2-b^2$ можно прибавить выражение $ab$ и отнять выражение $ab$. В этом случае ничего не изменится. Далее применим переместительное свойство сложения и получим:

$a^2-b^2=a^2-b^2+ab-ab=a^2+ab-b^2-ab=a\left(a+b\right)-b\left(b+a\right)=$

$=\left(a+b\right)\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

Разложение на множители с помощью формулы разности квадратов встречается довольно часто. Приведём примеры применения этой формулы.

Разложите на множители:

а) $4x^2-y^2$

б) $x^2-36$

в) $x^4-81y^6$

Решение

а) Заметим, что $4x^2={\left(2x\right)}^2$. Тогда в формуле разности квадратов роль $a^2$ будет выполнять $4x^2$, а роль $b^2$ - $y^2$. Получим:

$4x^2-y^2={\left(2x\right)}^2-{\left(y\right)}^2=\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)$.

б) Учитывая, что $36=6^2$, получим:

$x^2-36={\left(x\right)}^2-6^2=\left(x-6\right)\left(x+6\right)$.

в) Заметим, что $x^4$ — это квадрат одночлена $x^2$; $81y^6$ — это квадрат $9y^3$.По формуле разности квадратов получим:

$x^4-81y^6={\left(x^2\right)}^2-{\left(9y^3\right)}^2=\left(x^2-9y^3\right)\left(x^2+9y^3\right)$.

Вычислите:

а) ${57}^2-{47}^2$

б) $34,6^2-24,6^2$

в) $\frac{{53}^2-{27}^2}{{79}^2-{51}^2}$

г) $\frac{{49}^2-2·49·29+{29}^2}{{49}^2-{19}^2}$

Решение

а) Разложим на множители, использую формулу разности квадратов:

${57}^2-{47}^2=(57-47)(57+47)=10·104=1040$.

б) Так же, как и в пункте а:

$34,6^2-24,6^2=(34,6-24,6)(34,6+24,6)=10·59,2=592$.

в) И в числителе, и в знаменателе применим формулу разности квадратов:

$\frac{{53}^2-{27}^2}{{79}^2-{51}^2}=\frac{(53-27)(53+27)}{(79-51)(79+51)}=\frac{26·80}{28·130}=\frac{13·8}{14·13}=\frac{4}{7}$.

г) В этом примере в числителе нужно применить формулу квадрата разности, а в знаменателе – формулу разности квадратов:

$\frac{{49}^2-2·49·29+{29}^2}{{49}^2-{19}^2}=\frac{{(49-29)}^2}{(49-19)(49+19)}=\frac{{20}^2}{30·68}=\frac{10}{51}$.

Решите уравнение:

а) $x^2-9=0$

б) $25-4x^2=0$

в) $\frac{1}{9}{x}^2-16=0$

г) $x^2+36=0$

Решение

а) Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:

$x^2-9=0$

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)=0$.

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда:

$x-3=0$ или $x+3=0$

$x=3$ или $x=-3$.

б) Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов:

$25-4x^2=0$

$5^2-{\left(2x\right)}^2=0$

$\left(5-2x\right)\left(5+2x\right)=0$

$5-2x=0$ или $5+2x=0$

$2x=5$ или $2x=-5$

$x=2,5$ или $x=-2,5$.

в)

 $\frac{1}{9}{x}^2-16=0$

$\left(\frac{1}{3}x-4\right)\left(\frac{1}{3}x+4\right)=0$

$\frac{1}{3}x-4=0$ или $\frac{1}{3}x+4=0$

$\frac{1}{3}x=4$или $\frac{1}{3}x=-4$

$x=12$ или $x=-12$.

г) 

$x^2+36=0$

В этом примере нельзя применить формулу разности квадратов. Получим, что $x^2=-36$. Мы знаем, что квадрат любого числа не может быть отрицательным. Поэтому данное уравнение не имеет корней.

Представить в виде произведения:

а) $16x^2-{(1+2x)}^2$

б) ${(2x+y)}^2-{(x-2y)}^2$

Решение

Представить в виде произведения — это то же, что и разложить на множители.

а) Для разложения на множители воспользуемся формулой разности квадратов. Роль $a^2$ принадлежит $16x^2$, а роль $b^2$ принадлежит ${(1+2x)}^2$. Тогда получим:

$16x^2-{\left(1+2x\right)}^2=\left(4x-\left(1+2x\right)\right)·\left(4x+\left(1+2x\right)\right)=\left(2x-1\right)\left(6x+1\right)$.

б) Применим формулу разности квадратов. Роль $a$ выполняет $\left(2x+y\right)$, а роль $b$ выполняет $\left(x-2y\right)$. Получим:

${\left(2x+y\right)}^2-{\left(x-2y\right)}^2=\left(2x+y-\left(x-2y\right)\right)·\left(2x+y+\left(x-2y\right)\right)=$

$=\left(x+3y\right)\left(3x-y\right).$

1. Разложите на множители:

а) $64x^2-36y^4$

б) $\frac{1}{9}{x}^2-\frac{1}{16}$

в) $x^6-100y^8$

г) $0,09x^{12}-16y^2$

2. Вычислите:

а) ${76}^2-{66}^2$

б) $21,3^2-21,2^2$

в) $\frac{{38}^2-{17}^2}{{47}^2-{19}^2}$

г) $\frac{{27}^2+2·27·13+{13}^2}{{47}^2-3^2}$

3. Решите уравнение:

а) $4x^2-16=0$

б) $81-9x^2=0$

в) $\frac{1}{25}{x}^2-1=0$

г) $4x^2+1=0$

4. Представить в виде произведения:

а) $9x^2-{(1-4x)}^2$

б) ${\left(3x-2y\right)}^2-{\left(2x-3y\right)}^2$

в) ${(5x-6)}^2-49x^2$

г) ${\left(4x-y\right)}^2-{\left(2x+3y\right)}^2$