Конспект урока: Умножение разности двух выражений на их сумму

Умножение разности двух выражений на их сумму.

Мы уже изучили четыре формулы сокращенного умножения. Давайте вспомним их:

Теперь пришло время познакомиться с ещё одной формулой.

Эта формула позволит быстро умножить разность и сумму одних и тех же выражений $a$ и $b$. Выведем эту формулу двумя способами.

1 способ. Алгебраический.

Умножим разность выражений $a-b$ на их сумму $a+b$ по правилу умножения многочленов. Получим:

$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ba-b^2=a^2-b^2$.

2 способ. Геометрический.

Рис. 1. Геометрический смысл формулы

Пусть $a$ и $b$ - некоторые положительные числа, такие, что $a>b$. Рассмотрим прямоугольник со сторонами $a+b$ и $a-b$ (рис.1 слева). Площадь такого прямоугольника будет равна произведению $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Теперь отрежем прямоугольник со сторонами $b$ и $a-b$ и приложим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 1 справа. Очевидно, что полученная фигура будет иметь ту же площадь, что и первоначальный прямоугольник.  Но, с другой стороны, эту новую фигуру можно построить следующим способом: из квадрата со стороной равной $a$ вырезать квадрат со стороной равной $b$. Значит, площадь новой фигуры будет равна $a^2-b^2$. Таким образом, получили, что $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$.  

 

Приведем примеры применения этой формулы.

Выполните умножение:

а) $(x-5)(x+5)$

б) $(3x-2y)(3x+2y)$

в) $(x^2-y^3)(x^2+y^3)$

г) $\left(\frac{1}{3}x-y\right)\left(y+\frac{1}{3}x\right)$

Решение

а) Нужно умножить разность $x$ и 5 на их сумму. Воспользуемся формулой:

Роль $a$ будет выполнять $x$, а роль $b$ выполняет 5. Тогда:

$(x-5)(x+5)=x^2-25$.

б) В данном примере нужно перемножить разность и сумму $3x$ и $2y$. По формуле получим:

$\left(3x-2y\right)\left(3x+2y\right)={\left(3x\right)}^2-{\left(2y\right)}^2=9x^2-4y^2$.

в) Аналогичным образом перемножим разность и сумму $x^2$ и $y^3$. Вспомним, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.

$\left(x^2-y^3\right)\left(x^2+y^3\right)={\left(x^2\right)}^2-{\left(y^3\right)}^2=x^4-y^6$.

г) Применим переместительное свойство сложения и раскроем скобки, используя формулу:

$\left(\frac{1}{3}x-y\right)\left(y+\frac{1}{3}x\right)= \left(\frac{1}{3}x-y\right)\left(\frac{1}{3}x+y\right)={\left( \frac{1}{3}x\right)}^2-{\left(y\right)}^2=\frac{1}{9}{x}^2-y^2$.

Впишите вместо знака $*$ одночлен так, чтобы получилось верное равенство:

а) $(2x+*)(2x-*)=4x^2-100y^4$

б) $(*-3x)(3x+*)=0,04y^2-9x^2$

Решение

а) Воспользуемся формулой произведения разности двух выражений на их сумму. Очевидно, что роль $a$ будет выполнять $2x$. Тогда роль $b$ выполняет $*$. После возведения в квадрат получили $100y^4$. Так как ${\left(10y^2\right)}^2=100y^4$, то $*=10y^2$.

б) Аналогичным образом находим, что $0,04y^2$ – это $0,2y$, возведенный в квадрат. Так как $0,04y^2={(0,2y)}^2$, то $*=0,2y$.

Найдите значения выражения:

а) $27·33$

б) $68·72$

Решение

а) Нам нужно представить числа 27 и 33 в виде суммы и разности двух одинаковых чисел. Очевидно, что 27=30-3, а 33=30+3. Тогда по формуле умножения разности двух выражений на их сумму находим:

$27·33=(30-3)(30+3)={30}^2-3^2=900-9=891$.

б) В этом примере найдем представление в виде суммы и разности для чисел 68 и 72. Понятно, что 68=70-2, а 72=70+2. Тогда:

$68·72=(70-2)(70+2)={70}^2-2^2=4900-4=4896$.

1. Выполните умножение:

а) $(x-7)(x+7)$

б) $(4x-y)(4x+y)$

в) $\left(x^3-y^4\right)\left(x^3+y^4\right)$

г) $\left(\frac{1}{8}x+y\right)\left(y- \frac{1}{8}x\right)$

2. Впишите вместо знака $*$ одночлен так, чтобы получилось верное равенство:

а) $\left(4x+*\right)\left(4x-*\right)=16x^2-\frac{1}{4}{y}^2$

б) $\left(*-7x\right)\left(7x+*\right)=0,01y^8-49x^2$

3. Найдите значение выражения:

а) $201·199$

б) $84·76$