Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Умножение разности двух выражений на их сумму

Формулы сокращенного умножения

Умножение разности двух выражений на их сумму

План урока

  • Умножение разности двух выражений на их сумму;
  • Решение заданий по теме.

Цели урока

  • Знать формулу умножения разности двух выражений на их сумму;
  • Уметь выводить формулу умножения разности двух выражений на их сумму алгебраическим и геометрическим способами;
  • Уметь применять формулу умножения разности двух выражений на их сумму для решения заданий.

Разминка

  • Назовите формулы сокращенного умножения, которые вы знаете.
  • Для чего нужны формулы сокращенного умножения?
  • Что значит возвести число в квадрат?
  • Чему равна площадь квадрата? Прямоугольника?
  • Сформулируйте правило умножения многочленов.

Умножение разности двух выражений на их сумму.

 

Мы уже изучили четыре формулы сокращенного умножения. Давайте вспомним их:

Теперь пришло время познакомиться с ещё одной формулой.


Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.


Эта формула позволит быстро умножить разность и сумму одних и тех же чисел а и b. Выведем эту формулу двумя способами.

1 способ. Алгебраический.

 

Умножим разность чисел а-b на их сумму а+b по правилу умножения многочленов. Получим:

 

(а-b)(а+b)=а2+аb-bа-b2=а2-b2.

 

2 способ. Геометрический.

Рис. 1. Геометрический смысл формулы Рис. 1. Геометрический смысл формулы

Пусть а и b - некоторые положительные числа, такие, что а>b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а+b и а-b (рис.1 слева). Площадь такого прямоугольника будет равна произведению (а-b)(а+b). Теперь отрежем прямоугольник со сторонами b и а-b и приложим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 1 справа. Очевидно, что полученная фигура будет иметь ту же площадь, что и первоначальный прямоугольник.  Но, с другой стороны, эту новую фигуру можно построить следующим способом: из квадрата со стороной равной a вырезать квадрат со стороной равной b. Значит, площадь новой фигуры будет равна а2-b2. Таким образом, получили, что (а-b)(а+b)=а2-b2.  

 

Приведем примеры применения этой формулы.


Пример 1

Выполните умножение:

 

а) (х-5)(х+5)

б) (3х-2у)(3х+2у)

в) (х2-у3)(х2+у3)

г) 13х-уу+13х


Решение

 

а) Нужно умножить разность х и 5 на их сумму. Воспользуемся формулой:

Роль а будет выполнять х, а роль b выполняет 5. Тогда:

 

(х-5)(х+5)=х2-25.

 

б) В данном примере нужно перемножить разность и сумму 3х и 2у. По формуле получим:

 

(3х-2у)(3х+2у)=(3х)2-(2у)2=9х2-4у2.

 

в) Аналогичным образом перемножим разность и сумму х2 и у3. Вспомним, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.

(х2-у3)(х2+у3)=(х2)2-(у3)2=х4-у6.

 

г) Применим переместительное свойство сложения и раскроем скобки, используя формулу:

 

13х-уу+13х= 13х-у13х+у= 13х2-(у)2=19х2-у2.


Пример 2

Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось верное равенство:

 

а) (2х+*)(2х-*)=4х2-100у4

б) (*-3х)(3х+*)=0,04у2-9х2


Решение

 

а) Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму. Очевидно, что роль a будет выполнять 2х. Тогда роль b выполняет *. После возведения в квадрат получили 100у4. Так как 10у22=100у4, то *=10у2.

 

б) Аналогичным образом находим, что 0,04у2 – это 0,2y, возведенный в квадрат. Так как 0,04у2=(0,2у)2, то *=0,2у.


Пример 3

Найдите значения выражения:

 

а) 27·33

б) 68·72


Решение

 

а) Нам нужно представить числа 27 и 33 в виде суммы и разности двух одинаковых чисел. Очевидно, что 27=30-3, а 33=30+3. Тогда по формуле умножения разности двух выражений на их сумму находим:

 

27·33=(30-3)(30+3)=302-32=900-9=891.

 

б) В этом примере найдем представление в виде суммы и разности для чисел 68 и 72. Понятно, что 68=70-2, а 72=70+2. Тогда:

 

68·72=(70-2)(70+2)=702-22=4900-4=4896.


Упражнение 1

1. Выполните умножение:

 

а) (х-7)(х+7)

б) (4х-у)(4х+у)

в) х3-у4х3+у4

г) 18х+уу- 18х

 

2. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось верное равенство:

 

а) (4х+*)(4х-*)=16х2-14у2

б) (*-7х)(7х+*)=0,01у8-49х2

 

3. Найдите значение выражения:

 

а) 201·199

б) 84·76


Контрольные вопросы

 

1. Напишите формулу для умножения разности и суммы чисел. Дайте её словесную формулировку.

2. Выведите формулу для умножения разности и суммы чисел алгебраическим способом.

3. Выведите формулу для умножения разности и суммы чисел геометрическим способом.

4. Приведите пример упрощения вычислений с помощью формулы разности квадратов.


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) х2-49  

б) 16х2-у2  

в) х6-у8  

г) у2-164 х2

 

2. а) *=12у    

б) *=0,1у4

 

3. а) 39999  

б) 6384

Предыдущий урок
Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений
Формулы сокращенного умножения
Следующий урок
Вынесение общего множителя за скобки
Многочлены
  • Человек в обществе: труд и социальная лестница

    Обществознание

  • Г.Р. Державин. Лирика

    Литература

  • Морфология и синтаксис

    Русский язык

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке