Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений

Формулы сокращенного умножения

Возведение в квадрат и куб суммы и разности двух выражений

План урока

  • Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений
  • Возведение в куб суммы и разности двух выражений
  • Решение примеров по теме

Цели урока

  • Знать формулы квадрата суммы и разности двух выражений
  • Уметь выводить формулы квадрата суммы и разности двух выражений
  • Уметь возводить в квадрат сумму и разность двух выражений, используя формулы
  • Знать формулы куба суммы и разности двух выражений
  • Уметь выводить формулы куба суммы и разности двух выражений
  • Уметь возводить в куб сумму и разность двух выражений, используя формулы

Разминка

  • Что значит возвести число в квадрат? В куб?
  • Вспомните правило умножения многочленов.
  • Что значит привести подобные члены многочлена?
  • Чему равна площадь квадрата? Чему равна площадь прямоугольника?
  • Какие числа называются противоположными?

Мы с вами уже научились умножать многочлен на многочлен. Но имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к краткому, легко запоминающемуся результату. В этих случаях мы не будем каждый раз умножать один многочлен на другой, а будем пользоваться готовым результатом. Давайте рассмотрим такие случаи.

 

 

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

 

Прежде всего рассмотрим формулы для возведения в квадрат суммы и разности двух выражений.


Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.



Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.


Эти формулы облегчают процесс возведения в квадрат суммы или разности двух выражений. Выведем эти формулы двумя способами.

 

1 способ. Алгебраический.

 

Возведение выражения в квадрат означает умножение выражения само на себя два раза. Перемножим два многочлена по правилу и приведём подобные слагаемые:

 

(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2= a2+2ab+b2.

 

Аналогичным образом получаем формулу квадрата разности:

 

(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+b2= a2-2ab+b2.

Рис. 1. Геометрический смысл формулы квадрата суммы Рис. 1. Геометрический смысл формулы квадрата суммы

2 способ. Геометрический.

 

Рассмотрим квадрат со стороной a+b (рис. 1). Площадь этого квадрата будет равна (a+b)2. Разделим квадрат на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а2), квадрат со стороной b (его площадь равна b2) и два прямоугольника со сторонами а и b (их площадь равна аb).

 

Тогда площадь всего квадрата из четырёх частей будет:

 

(a+b)2=a2+ab+ab+b2= a2+2ab+b2.

Рис. 2. Геометрический смысл формулы квадрата разности Рис. 2. Геометрический смысл формулы квадрата разности

Теперь рассмотрим квадрат со стороной а (рис. 2). Будем считать, что числа а и b положительные и аb. Площадь такого квадрата будет равна а2. От угла квадрата отделим квадрат со стороной b и разделим весь квадрат на четыре части как показано на рисунке. Получили, что весь квадрат состоит из следующих фигур: квадрат со стороной b (его площадь равна b2), квадрат со стороной а-b (его площадь равна (а-b)2) и два равных прямоугольника со сторонами а-b и b (их площадь равна (а-b)b). Для того, чтобы найти площадь квадрата со стороной а-b, нужно из площади всего большого квадрата вычесть площадь маленького квадрата со стороной b и вычесть площади двух прямоугольников. Получим:

 

(а  b)2=а2-(а-b)b-(а-b)b- b2=а2-аb+ b2-аb+ b2-b2= 

= а2-2аb+ b2.

 

Рассмотрим примеры применения этих формул.


Пример 1

Раскройте скобки в выражении:

 

а) (2х+3у)2

б) (5х-1)2

в) (-4х-5)2

г) (-8х+7)2


Решение

 

а) Нужно возвести в квадрат сумму 2х и 3у. Воспользуемся формулой квадрата суммы. В данном случае, в роли a выступает 2х, а в роли b будет 3у. Получим:

б) Нужно возвести в квадрат разность 5х и 1. Воспользуемся формулой квадрата разности. В данном случае, в роли а выступает 5х, а в роли b будет 1. Получим:

(5х-1)2=(5х)2-2·5х·1+12=25х2-10х+1.

 

в) Выражение (-4х-5)2 будет тождественно равным выражению (4х+5)2, так как значения выражений -4х-5 и 4х+5, при любых значениях a, будут являться противоположными числами, а квадраты противоположных чисел равны. Тогда:

 

(-4х-5)2=(4х+5)2=(4х)2+2·4х·5+52=16х2+40х+25.

 

г) Выражение (-8х+7)2  будет тождественно равным выражению (7-8х)2, так как от перемены мест слагаемых, сумма не меняется. Тогда воспользуемся формулой квадрата разности:

 

(-8х+7)2 =(7-8х)2=72-2·7·8х+(8х)2=49-112х+64х2.


Пример 2

Представьте в виде многочлена:

3(2+х)2+4(2х-6)2


Решение

 

В данном примере нам понадобятся обе формулы:

 

3(2+х)2+4(2х-6)2=3(4+4х+х2)+4(4х2-24х+36)=

=12+12х+3х2+16х2-96х+144=19х2-84х+156.


Пример 3

Вычислите, используя формулы квадрата суммы и разности:

 

а) 452

б) 992


Решение

 

а) Число 45 можно представить в виде суммы двух слагаемых  40 и 5. Далее воспользуемся формулой квадрата суммы:

 

452=(40+5)2=402+2·40·5+52=1600+400+25=2025.

 

б) Число 99 можно представить в виде разности двух чисел 100 и 1. Далее воспользуемся формулой квадрата разности:

 

992=(100-1)2=1002-2·100·1+12=10000-200+1=9801.


Упражнение 1

1. Представьте в виде многочлена:

 

а) (х+2у)2

б) (2х2+у2)2

в) (ху)2

г) (-0,2х-5у)2

 

2. Упростите выражение:

 

(2х+у)2-(2х-у)2

 

3. Вычислите, используя формулы квадрата суммы и разности:

 

а) 312

б) 492


Возведение в куб суммы и разности двух выражений

 

Теперь, когда мы уже знаем формулы квадрата суммы и разности двух выражений, нам не составит труда получить формулы куба суммы и разности двух выражений.

 

(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=

=a3+a2b+2a2b+2ab2+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=(a-b)2(a-b)=(a2-2ab+b2)(a-b)=

=a3-a2b-2a2b+2ab2+b2a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3

Формулы квадрата суммы, квадрата разности, куба суммы и куба разности двух выражений называют формулами сокращенного умножения


Пример 4

Представьте в виде многочлена:

 

а) (х+2у)3

б) (х+у)3+(х-у)3


Решение

 

а) Воспользуемся формулой куба суммы. В роли a будет х, а в роли b будет 2у:

 

(х+2у)3=х3+3·х2·2у+3·х·(2у)2+(2у)3=х3+6х2у+12ху2+8у3.

 

б) Воспользуемся формулами куба суммы и разности:

 

(х+у)3+(х-у)3= х3+3х2у+3ху2+у3+ х3-3х2у+3ху2-у3=2х3+6ху2.


Упражнение 2

1. Представьте в виде многочлена:

 

а) (х+у)3

б) (х2-у2)3

 

2. Упростите выражение:

 

(х-1)3-(х+1)3

 

3. Вычислите, используя формулы куб суммы и разности:

а) 113

б) 193


Контрольные вопросы

 

1. Чему равен квадрат суммы двух выражений?

2. Выведите формулу квадрата суммы алгебраическим способом.

3. Чему равен квадрат разности двух выражений?

4. Выведите формулу квадрата разности алгебраическим способом.

5. Обоснуйте справедливость формулы квадрата суммы геометрическим способом.

6. Чему равен куб суммы и разности двух выражений?


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) х2+4ху+4у2 

б) 4х4+4х2у2+у4

в) х2-ху+у2 

г) 0,04х2+2ху+25у2

 

2. 8ху

3. а) 961  

б) 2401

 

Упражнение 2

 

1. а) х3+х2у+ху2+у3  

б) х6-3х4у2+3х2у4-у6

2. -6х2-2

3. а)1331 

б) 6859

Разложение разности квадратов на множители

Формулы сокращенного умножения
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Век демократизации. «Великие идеологии»

    История