Конспект урока: Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений

Мы с вами уже научились умножать многочлен на многочлен. Но имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к краткому, легко запоминающемуся результату. В этих случаях мы не будем каждый раз умножать один многочлен на другой, а будем пользоваться готовым результатом. Давайте рассмотрим такие случаи.

Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений

Прежде всего рассмотрим формулы для возведения в квадрат суммы и разности двух выражений.

Эти формулы облегчают процесс возведения в квадрат суммы или разности двух выражений. Выведем эти формулы двумя способами.

1 способ. Алгебраический.

Возведение выражения в квадрат означает умножение выражения само на себя два раза. Перемножим два многочлена по правилу и приведём подобные слагаемые:

${(a+b)}^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ba+b^2= a^2+2ab+b^2$.

Аналогичным образом получаем формулу квадрата разности:

${(a-b)}^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-ab-ba+b^2= a^2-2ab+b^2$.

Рис. 1. Геометрический смысл формулы квадрата суммы

2 способ. Геометрический.

 

Рассмотрим квадрат со стороной $a+b$ (рис. 1). Площадь этого квадрата будет равна ${(a+b)}^2$. Разделим квадрат на четыре части: квадрат со стороной $a$ (его площадь равна $a^2$), квадрат со стороной $b$ (его площадь равна $b^2$) и два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (их площади равны $ab$).

 

Тогда площадь всего квадрата из четырёх частей будет:

 

${(a+b)}^2=a^2+ab+ab+b^2= a^2+2ab+b^2$.

Рис. 2. Геометрический смысл формулы квадрата разности

Теперь рассмотрим квадрат со стороной $a$ (рис. 2). Будем считать, что числа $a$ и $b$ положительные и $a>b$. Площадь такого квадрата будет равна $a^2$. От угла квадрата отделим квадрат со стороной $b$ и разделим весь квадрат на четыре части как показано на рисунке. Получили, что весь квадрат состоит из следующих фигур: квадрат со стороной $b$ (его площадь равна $b^2$), квадрат со стороной $a-b$ (его площадь равна ${\left(a-b\right)}^2$) и два равных прямоугольника со сторонами $a-b$ и $b$ (их площадь равна $\left(a-b\right)b$). Для того, чтобы найти площадь квадрата со стороной $a-b$, нужно из площади всего большого квадрата вычесть площадь маленького квадрата со стороной $b$ и вычесть площади двух прямоугольников. Получим:

${\left(a– b\right)}^2=a^2-\left(a-b\right)b-\left(a-b\right)b- b^2=a^2-ab+ b^2-ab+ b^2-b^2=$

$=a^2-2ab+ b^2$.

Рассмотрим примеры применения этих формул.

Раскройте скобки в выражении:

а) ${(2x+3y)}^2$

б) ${(5x-1)}^2$

в) ${(-4x-5)}^2$

г) ${(-8x+7)}^2$

Решение

а) Нужно возвести в квадрат сумму $2x$ и $3y$. Воспользуемся формулой квадрата суммы. В данном случае, в роли $a$ выступает $2x$, а в роли $b$ будет $3y$. Получим:

б) Нужно возвести в квадрат разность $5x$ и $1$. Воспользуемся формулой квадрата разности. В данном случае, в роли а выступает $5x$, а в роли $b$ будет $1$. Получим:

${(5x-1)}^2={\left(5x\right)}^2-2·5x·1+1^2=25x^2-10x+1$.

в) Выражение ${\left(-4x-5\right)}^2$ будет тождественно равным выражению ${\left(4x+5\right)}^2$, так как значения выражений $-4x-5$ и $4x+5$, при любых значениях $x$, будут являться противоположными числами, а квадраты противоположных чисел равны. Тогда:

${(-4x-5)}^2={(4x+5)}^2={\left(4x\right)}^2+2·4x·5+5^2=16x^2+40x+25$.

г) Выражение ${(-8x+7)}^2$ будет тождественно равным выражению ${\left(7-8x\right)}^2$, так как от перемены мест слагаемых, сумма не меняется. Тогда воспользуемся формулой квадрата разности:

${(-8x+7)}^2 ={(7-8x)}^2=7^2-2·7·8x+{\left(8x\right)}^2=49-112x+64x^2$.

Представьте в виде многочлена:

$3{(2+x)}^2+4{(2x-6)}^2$

Решение

В данном примере нам понадобятся обе формулы:

$3{\left(2+x\right)}^2+4{\left(2x-6\right)}^2=3\left(4+4x+x^2\right)+4\left(4x^2-24x+36\right)=$

$=12+12x+3x^2+16x^2-96x+144=19x^2-84x+156$.

Вычислите, используя формулы квадрата суммы и разности:

а) ${45}^2$

б) ${99}^2$

Решение

а) Число 45 можно представить в виде суммы двух слагаемых  40 и 5. Далее воспользуемся формулой квадрата суммы:

${45}^2={(40+5)}^2={40}^2+2·40·5+5^2=1600+400+25=2025$.

б) Число 99 можно представить в виде разности двух чисел 100 и 1. Далее воспользуемся формулой квадрата разности:

${99}^2={(100-1)}^2={100}^2-2·100·1+1^2=10000-200+1=9801$.

1. Представьте в виде многочлена:

а) ${(x+2y)}^2$

б) ${(2x^2+y^2)}^2$

в) ${\left(x-\frac{1}{2}y\right)}^2$

г) ${(-0,2x-5y)}^2$

2. Упростите выражение:

${(2x+y)}^2-{(2x-y)}^2$

3. Вычислите, используя формулы квадрата суммы и разности:

а) ${31}^2$

б) ${49}^2$

Возведение в куб суммы и разности двух выражений

Теперь, когда мы уже знаем формулы квадрата суммы и разности двух выражений, нам не составит труда получить формулы куба суммы и разности двух выражений.

${(a+b)}^3={(a+b)}^2\left(a+b\right)=\left(a^2+2ab+b^2\right)\left(a+b\right)=$

$=a^3+a^{2}b+2a^{2}b+2a{b}^2+b^{2}a+b^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

${(a-b)}^3={(a-b)}^2\left(a-b\right)=\left(a^2-2ab+b^2\right)\left(a-b\right)=$

$=a^3-a^{2}b-2a^{2}b+2a{b}^2+b^{2}a-b^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

Формулы квадрата суммы, квадрата разности, куба суммы и куба разности двух выражений называют формулами сокращенного умножения . 

Представьте в виде многочлена:

а) ${(x+2y)}^3$

б) ${(x+y)}^3+{(x-y)}^3$

Решение

а) Воспользуемся формулой куба суммы. В роли $a$ будет $x$, а в роли $b$ будет $2y$:

${\left(x+2y\right)}^3=x^3+3·x^2·2y+3·x·{\left(2y\right)}^2+{\left(2y\right)}^3=x^3+6x^{2}y+12x{y}^2+8y^3$.

б) Воспользуемся формулами куба суммы и разности:

${\left(x+y\right)}^3+{\left(x-y\right)}^3= x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3+ x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3=2x^3+6x{y}^2$.

1. Представьте в виде многочлена:

а) ${\left(x+\frac{1}{3}y\right)}^3$

б) ${(x^2-y^2)}^3$

2. Упростите выражение:

${(x-1)}^3-{(x+1)}^3$

3. Вычислите, используя формулы куб суммы и разности:

а) ${11}^3$

б) ${19}^3$