Конспект урока: Применение различных способов для разложения на множители

Применение различных способов для разложения на множители

Мы уже неоднократно говорили о важности и трудности задачи разложения многочлена на множители. Напомним, что разложить многочлен на множители – это значит преобразовать его в произведение двух или нескольких множителей. Ранее мы уже рассматривали различные приемы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, применение формул сокращенного умножения. Но часто встречаются более сложные задачи, где для достижения цели приходится последовательно применять несколько приемов. Чтобы хорошо решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выбрать правильную последовательность их применения. Все эти умения развиваются благодаря вашему опыту и наблюдательности. Более того, есть многочлены, разложить которые на множители невозможно. Но все же мы дадим некоторые рекомендации, которые помогут вам при разложении многочленов на множители.

1. Сначала вынесите общий множитель за скобки, если он есть.

2. Попробуйте применить формулы сокращенного умножения. Например, если перед вами двучлен, то проверьте возможность применения формулы разности квадратов или формулы разности (суммы) кубов. Если перед вами трехчлен, то проверьте, можно ли свернуть его в квадрат суммы или квадрат разности двучлена.

3. Если не удалось применить формулы сокращенного умножения, то попробуйте способ группировки.

4. После разложения многочлена на множители, полезно проверить себя с помощью умножения.

В заключение напомним, что не все многочлены можно разложить на множители. Вот примеры таких многочленов: $x^2+y^2, x^2+1, 4x^2+2x+1$ и т.д.

А теперь рассмотрим примеры разложения многочленов на множители с применением нескольких приемов.

Разложите на множители:

$64x^3{y}^5-96x^5{y}^4+36x^7{y}^3$.

Решение

1 шаг. Сначала попробуем вынести общий множитель за скобки. Рассмотрим числовые коэффициенты: 64, 96, 36. Все они делятся на 4. Это их наибольший общий делитель. Все члены многочлена содержат переменную $x$. В первом члене многочлена – $x^3$, во втором – $x^5$, в третьем – $x^7$. Значит, за скобки можно вынести $x$ с наименьшим показателем степени – это $x^3$. Также во все члены многочлена входит переменная $y$ ($y^5$, $y^4$, $y^3$). Тут можно вынести $y^3$. Таким образом, за скобки вынесем $4x^3{y}^3$ и получим:

$64x^3{y}^5-96x^5{y}^4+36x^7{y}^3=4x^3{y}^3(16y^2-24x^{2}y+9x^4)$.

 2 шаг. Теперь рассмотрим многочлен $16y^2-24x^{2}y+9x^4$. 

$16y^2-24x^{2}y+9x^4={\left(4y\right)}^2-2·4y·3x^2+{\left(3x^2\right)}^2$.

Очевидно, что этот многочлен можно представить в виде квадрата разности двух выражений.

$16y^2-24x^{2}y+9x^4={\left(4y\right)}^2-2·4y·3x^2+{\left(3x^2\right)}^2={\left(4y-3x^2\right)}^2$.

Таким образом, мы последовательно использовали два приема – вынесение общего множителя за скобки и применение формул сокращенного умножения. Приведем полное решение: 

$64x^3{y}^5-96x^5{y}^4+36x^7{y}^3=4x^3{y}^3\left(16y^2-24x^{2}y+9x^4\right)=$

$=4x^3{y}^3\left({\left(4y\right)}^2-2·4y·3x^2+{\left(3x^2\right)}^2\right)=4x^3{y}^3{\left(4y-3x^2\right)}^2$.

Разложите на множители: $4x^2-y^2+4x+2y$.

Решение 

1 шаг. Посмотрим внимательно на числовые коэффициенты и на переменные, входящие в состав многочлена. Очевидно, что здесь нет общего множителя, который можно вынести за скобки. Попробуем применить способ группировки.  

$4x^2-y^2+4x+2y=\left(4x^2-y^2\right)+\left(4x+2y\right)$. 

Может показаться, что группировка не сработала, так как мы не получили общий множитель. Но если присмотреться, то можно заметить в первых скобках разность квадратов двух выражений. 

2 шаг. Применим формулу разности квадратов для выражений в первых скобках, а из вторых скобок вынесем общий множитель 2: 

$\left(4x^2-y^2\right)+\left(4x+2y\right)=\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)+2\left(2x+y\right)$. 

3 шаг. Теперь мы видим общий множитель, который можно вынести. Это выражение $\left(2x+y\right)$. Получим: 

$(2x-y)(2x+y)+2(2x+y)=(2x+y)(2x-y+2)$. 

Получается, мы использовали комбинацию приемов – группировка, применение формул сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки. 

Полное решение: 

$4x^2-y^2+4x+2y=\left(4x^2-y^2\right)+\left(4x+2y\right)=\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)+2\left(2x+y\right)=$

$=(2x+y)(2x-y+2)$.

Разложите на множители: $4x^2-4z^2+4xy+y^2$. 

Решение

1 шаг. Очевидно, что все члены этого многочлена не имеют общего множителя. Попробуем провести попарную группировку: 

$4x^2-4z^2+4xy+y^2=\left(4x^2-4z^2\right)+\left(4xy+y^2\right)=4\left(x^2- z^2\right)+y(4x+y)$. 

Получили неудачную группировку.

Другие варианты попарных группировок можете попробовать самостоятельно. Все они окажутся неудачными. 

Но все-таки в этом примере «спряталась» группировка. Объединим три слагаемых, которые содержат  переменные $x$ и $y$: 

$4x^2-4z^2+4xy+y^2=\left(4x^2+4xy+y^2\right)-4z^2$. 

2 шаг. Очевидно, что многочлен в скобках является квадратом суммы двух выражений: 

$4x^2+4xy+y^2={\left(2x\right)}^2+2·2x·y+y^2={\left(2x+y\right)}^2$.

3 шаг. Посмотрите, что мы получили: 

${\left(2x+y\right)}^2-4z^2$. 

Здесь «спряталась» разность квадратов. Преобразуем ее: 

${\left(2x+y\right)}^2-4z^2=\left(2x+y-2z\right)\left(2x+y+2z\right)$. 

Подведем итог. Мы использовали способ группировки, а затем дважды применили формулы сокращенного умножения. 

Окончательно решение выглядит так: 

$4x^2-4z^2+4xy+y^2=\left(4x^2+4xy+y^2\right)-4z^2={\left(2x+y\right)}^2-4z^2=$

$=\left(2x+y-2z\right)\left(2x+y+2z\right)$. 

Разложите на множители: $ax+ay+x^2+2xy+y^2$.

Решение 

1 шаг. Так как невозможно вынести общий множитель, применим способ группировки. Сгруппируем два первых и три последних слагаемых: 

$ax+ay+x^2+2xy+y^2= (ax+ay)+\left(x^2+2xy+y^2\right)$. 

2 шаг. Из первых скобок вынесем общий множитель $а$: 

$ax+ay=a\left(x+y\right)$. 

Многочлен во вторых скобках можно представить в виде квадрата суммы:

$x^2+2xy+y^2={\left(x+y\right)}^2$. 

3 шаг. Вынесем общий множитель $\left(x+y\right)$ за скобки: 

$a\left(x+y\right)+{\left(x+y\right)}^2=\left(x+y\right)\left(a+x+y\right)$. 

Использовали способ группировки, применение формул сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки. Полное решение: 

$ax+ay+x^2+2xy+y^2=\left(ax+ay\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)=a\left(x+y\right)+{\left(x+y\right)}^2 =$

$=(x+y)(a+x+y)$. 

Разложите на множители: $a^4+a^{2}b+a{b}^3+2a{b}^2+b^3$.

Решение 

1 шаг. Сгруппируем первый и третий члены многочлена, а также второй, четвертый и пятый: 

$a^4+a^{2}b+a{b}^3+2a{b}^2+b^3=\left(a^4+a{b}^3\right)+\left(a^{2}b+2a{b}^2+b^3\right)$.

2 шаг. Вынесем за скобки общие множители: 

$\left(a^4+a{b}^3\right)+\left(a^{2}b+2a{b}^2+b^3\right)=a\left(a^3+ b^3\right)+b\left(a^2+2ab+b^2\right)$. 

3 шаг. В первых скобках разложим сумму кубов по формуле, а многочлен из вторых скобок представим в виде квадрата двучлена: 

$a\left(a^3+b^3\right)+b\left(a^2+2ab+b^2\right)=a\left(a+ b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+b{\left(a+b\right)}^2$. 

4 шаг. Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки: 

$a\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+b{\left(a+b\right)}^2=\left(a+b\right)\left(a\left(a^2-ab+b^2\right)+b\left(a+b\right)\right)=$ 

$=\left(a+b\right)\left(a^3-a^{2}b+a{b}^2+ ba+b^2\right)$. 

Полное решение: 

$a^4+a^{2}b+a{b}^3+2a{b}^2+b^3=\left(a^4+a{b}^3\right)+\left(a^{2}b+2a{b}^2+b^3\right)=$ 

$=a\left(a^3+ b^3\right)+b\left(a^2+2ab+b^2\right)=a\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+b{\left(a+b\right)}^2=$ 

$=\left(a+b\right)\left(a\left(a^2-ab+b^2\right)+ b\left(a+b\right)\right)=\left(a+b\right)\left(a^3-a^{2}b+a{b}^2+ab+b^2\right)$.

1. Разложите на множители:

а) $5x^2-5$; 

б) $3x^2-12$; 

в) $3x^2+3y^2-6xy$;

г) $2x^2+2+4x$.

2. Разложите на множители: 

а) ${(x+y)}^2-a^2$;

б) ${\left(3x-y\right)}^2-4y^2$; 

в) ${\left(2x+y\right)}^2-{\left(2y-x\right)}^2$;

г) $6\left(x-y\right)+{\left(x-y\right)}^2$.

3. Разложите на множители: 

а) $\left(x^2-2xy+y^2\right)-16$; 

б) $4-x^2-2xy-y^2$; 

в) $x{y}^4-y^4+x{y}^3-y^3$; 

г) $60+6xy-30y-12x$.