Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Применение различных способов для разложения на множители

Формулы сокращенного умножения

Применение различных способов для разложения на множители

План урока

  • Применение различных способов для разложения на множители;
  • Решение заданий по теме.

Цели урока

  • Знать различные приемы разложения на множители;
  • Уметь применять различные комбинации приемов для разложения многочленов на множители.

Разминка

  • Что значит разложить многочлен на множители?
  • Какие приемы разложения на множители вы знаете?
  • Чему равен квадрат суммы двух выражений? Квадрат разности двух выражений?
  • Чему равна разность квадратов двух выражений?
  • Чему равна сумма и разность кубов двух выражений?

Применение различных способов для разложения на множители

 

 

Мы уже неоднократно говорили о важности и трудности задачи разложения многочлена на множители. Напомним, что разложить многочлен на множители – это значит преобразовать его в произведение двух или нескольких множителей. Ранее мы уже рассматривали различные приемы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, применение формул сокращенного умножения. Но часто встречаются более сложные задачи, где для достижения цели приходится последовательно применять несколько приемов. Чтобы хорошо решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выбрать правильную последовательность их применения. Все эти умения развиваются благодаря вашему опыту и наблюдательности. Более того, есть многочлены, разложить которые на множители невозможно. Но все же мы дадим некоторые рекомендации, которые помогут вам при разложении многочленов на множители.

 

1. Сначала вынесите общий множитель за скобки, если он есть.

2. Попробуйте применить формулы сокращенного умножения. Например, если перед вами двучлен, то проверьте возможность применения формулы разности квадратов или формулы разности (суммы) кубов. Если перед вами трехчлен, то проверьте, можно ли свернуть его в квадрат суммы или квадрат разности двучлена.

3. Если не удалось применить формулы сокращенного умножения, то попробуйте способ группировки.

4. После разложения многочлена на множители, полезно проверить себя с помощью умножения.

 

В заключение напомним, что не все многочлены можно разложить на множители. Вот примеры таких многочленов: х2+у2, х2+1, 4х2+2х+1 и т.д.

А теперь рассмотрим примеры разложения многочленов на множители с применением нескольких приемов.


Пример 1

Разложите на множители:

 

64х3у5-96х5у4+36х7у3.


Решение

 

1 шаг. Сначала попробуем вынести общий множитель за скобки. Рассмотрим числовые коэффициенты: 64, 96, 36. Все они делятся на 4. Это их наибольший общий делитель (НОД). Все члены многочлена содержат переменную х. В первом члене многочлена – х3, во втором – х5, в третьем – х7. Значит, за скобки можно вынести х в минимальной степени – это х3. Также во все члены многочлена входит переменная у (у5у4у3). Тут можно вынести у3. Таким образом, за скобки вынесем 4х3у3 и получим:

 

64х3у5-96х5у4+36х7у3=4х3у3(16у2-24х2у+9х4).

 

 2 шаг. Теперь рассмотрим многочлен 16у2-24х2у+9х4. Проверим, не будет ли он являться полным квадратом.  

 

16у2-24х2у+9х4=4у2-2·4у·3х2+3х22.

 

Действительно, этот многочлен есть полный квадрат, и мы можем его разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений: 

 

16у2-24х2у+9х4=(4у)2-2·4у·3х2+3х22=4у-3х22.

 

Таким образом, мы последовательно использовали два приема – вынесение общего множителя за скобки и применение формул сокращенного умножения. Приведем полное решение: 

 

64х3у5-96х5у4+36х7у3=4х3у316у2-24х2у+9х4=  

=4х3у34у2-2·4у·3х2+3х22=4х3у34у-3х22.


Пример 2 

Разложите на множители: 4х2-у2+4х+2у.


Решение 

 

1 шаг. Посмотрим внимательно на числовые коэффициенты и на переменные, входящие в состав многочлена. Очевидно, что здесь нет общего множителя, который можно вынести за скобки. Попробуем применить способ группировки.  

 

4х2-у2+4х+2у=4х2-у2+4х+2у

 

Может показаться, что группировка не сработала, так как мы не получили общий множитель. Но если присмотреться, то можно заметить в первой скобке разность квадратов двух выражений. 

 

2 шаг. Применим формулу разности квадратов для выражений в первой скобке, а из второй скобки вынесем общий множитель 2: 

 

4х2-у2+4х+2у=2х-у2х+у+22х+у

 

3 шаг. Теперь мы видим общий множитель, который можно вынести. Это выражение 2х+у. Получим: 

 

(2х-у)(2х+у)+2(2х+у)=(2х+у)(2х-у+2)

 

Получается, мы использовали комбинацию приемов – группировка, применение формул сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки. 

Полное решение: 

 

4х2-у2+4х+2у=4х2-у2+4х+2у=2х-у2х+у+22х+у=

=(2х+у)(2х-у+2).


Пример 3 

Разложите на множители: 4х2-4z2+4ху+у2


Решение

 

1 шаг. Очевидно, что все члены этого многочлена не имеют общего множителя. Попробуем провести попарную группировку: 

 

4х2-4z2+4ху+у2=4х2-4z2+4ху+у2=4х2- z2+у(4х+у)

 

Получили неудачную группировку.

Другие варианты попарных группировок можете попробовать самостоятельно. Все они окажутся неудачными. 

Но все-таки в этом примере «спряталась» группировка. Объединим три слагаемых, которые содержат  переменные х и у

 

4х2-4z2+4ху+у2=4х2+4ху+у2-4z2

 

2 шаг. Очевидно, что многочлен в скобках является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы двух выражений: 

 

4х2+4ху+у2=2х2+2·2х·у+у2=2х+у2.

 

3 шаг. Посмотрите, что мы получили: 

 

2х+у2-4z2

 

Здесь «спряталась» разность квадратов. Преобразуем ее: 

 

2х+у2-4z2=2х+у-2z2х+у+2z

 

Подведем итог. Мы использовали способ группировки, а затем дважды применили формулы сокращенного умножения. 

Окончательно решение выглядит так: 

 

4х2-4z2+4ху+у2=4х2+4ху+у2-4z2=2х+у2-4z2=

=2х+у-2z2х+у+2z


Пример 4 

Разложите на множители: ах+ау+х2+2ху+у2.


Решение 

 

1 шаг. Так как невозможно вынести общий множитель, применим способ группировки. Сгруппируем два первых и три последних слагаемых: 

 

ах+ау+х2+2ху+у2= (ах+ау)+х2+2ху+у2

 

2 шаг. В первой скобке вынесем общий множитель а

 

ах+ау=ах+у

 

Во второй скобке видим полный квадрат суммы. Применим формулу квадрата суммы двух выражений: 

 

х2+2ху+у2=х+у2

 

3 шаг. Вынесем общий множитель х+у за скобки: 

 

ах+у+х+у2=(х+у)(а+х+у)

 

Использовали способ группировки, применение формул сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки. Полное решение: 

 

ах+ау+х2+2ху+у2=ах+ау+х2+2ху+у2=ах+у+х+у2 =

=(х+у)(а+х+у)


Пример 5 

Разложите на множители: а4+а2b+ab3+2ab2+b3.


Решение 

 

1 шаг. Сгруппируем первый и третий члены многочлена, а также второй, четвертый и пятый: 

 

а4+а2b+ab3+2ab2+b3=а4+ab3+а2b+2ab2+b3.

 

2 шаг. Вынесем за скобки общие множители: 

 

а4+ab3+а2b+2ab2+b3=аа3+ b3+bа2+2ab+b2

 

3 шаг. В первой скобке разложим сумму кубов по формуле, а во второй скобке полный квадрат суммы представим в виде квадрата двучлена: 

 

аа3+b3+bа2+2ab+b2=аа+ bа2-аb+b2+bа+b2

 

4 шаг. Вынесем общий множитель (а+b) за скобки: 

 

аа+bа2-аb+b2+bа+b2=а+bаа2-аb+b2+bа+b= 

=а+bа3-а2b+аb2+ bа+b2

 

Полное решение: 

 

а4+а2b+ab3+2ab2+b3=а4+ab3+а2b+2ab2+b3= 

=аа3+ b3+bа2+2ab+b2=аа+bа2-аb+b2+bа+b2= 

=а+bаа2-аb+b2+ bа+b=а+bа3-а2b+аb2+bа+b2.


Упражнение 1

1. Разложите на множители:

 

а) 5х2-5

б) 3х2-12

в) 3х2+3у2-6ху;

г) 2х2+2+4х.

 

2. Разложите на множители: 

 

а) (х+у)2-а2;

б) 3х-у2-4у2

в) 2х+у2-2у-х2;

г) 6х-у+х-у2.

 

3. Разложите на множители: 

 

а) х2-2ху+у2-16

б) 4-х2-2ху-у2

в) ху4-у4+ху3-у3

г) 60+6ху-30у-12х


Контрольные вопросы 

 

1. Что значит разложить многочлен на множители? 

2. Какие приемы используют для разложения многочлена на множители? 

3. Какую лучше последовательность приемов соблюдать при разложении на множители? 

4. Приведите пример многочлена, который нельзя разложить на множители? 

5. Приведите пример многочлена, который можно разложить на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки, а затем применением формулы разности квадратов. 


Ответы

Упражнение 1 

 

1. а) 5(х-1)(х+1);

б) 3(х-2)(х+2);

в) 3(х-у)2;

г) 2(х+1)2.

 

2. а) (х+у-а)(х+у+а);

б) 3(х-у)(3х+у);

в) (3х-у)(х+3у);

г) (х-у)(6+х-у).

 

3. а) (х-у-4)(х-у+4);

б) (2-х-у)(2+х+у);

в) х-1у4+у3=у3х-1у+1;

г) 6(2-у)(5-х)=6(у-2)(х-5).

Предыдущий урок
Разложение на множители суммы и разности кубов
Формулы сокращенного умножения
Следующий урок
Решение задач с помощью систем уравнений
Системы уравнений и неравенств
  • Образ жизни и строение инфузорий. Строение простейших

    Биология

  • Начало Реформации в Европе. Обновление христианства

    История

  • Построение треугольников по трем элементам

    Геометрия

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке