Конспект урока: Разложение на множители суммы и разности кубов

Разложение на множители суммы и разности кубов

Продолжим изучение формул сокращенного умножения. Ещё раз вспомним формулы, которые мы уже знаем:

Теперь наша задача познакомиться с последней парой тождеств и научиться их применять.

Сначала убедимся в верности этих тождеств алгебраическим способом. Умножим два многочлена, стоящие в правой части формул.

Для формулы суммы кубов двух выражений.

$\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3-a^{2}b+a{b}^2+b{a}^2-a{b}^2+b^3=a^3+b^3$.

Для формулы разности кубов двух выражений.

$(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+a^{2}b+a{b}^2-b{a}^2-a{b}^2-b^3=a^3-b^3$.

Заметим, что в правой части формулы суммы кубов двух выражений стоит выражение $a^2-ab+b^2$, которое называется неполным квадратом разности выражений $a$ и $b$. Оно очень похоже на полный квадрат разности ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$, но отличается тем, что вместо удвоенного произведения выражений $a$ и $b$ стоит просто их произведение. Очевидно, что выражение $a^2+ab+b^2,$стоящее в правой части формулы разности кубов двух выражений, принято называть неполным квадратом суммы. Теперь мы можем дать словесную формулировку формулам суммы и разности кубов двух выражений.

Разложить на множители:

а) $27x^6+8y^3$

б) $125-x^{12}$

в) $64x^3+\frac{1}{8}{y}^6$

Решение

а) Имеем $27x^6={\left(3x^2\right)}^3$, $8y^3={\left(2y\right)}^3$. Значит, данный двучлен представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов и получим:

$27x^6+8y^3={\left(3x^2\right)}^3+{\left(2y\right)}^3=\left(3x^2+2y\right)\left({\left(3x^2\right)}^2-3x^2·2y+{\left(2y\right)}^2\right)=$

$=\left(3x^2+2y\right)\left(9x^4-6x^{2}y+4y^2\right)$.

б) Так как $125=5^3$, а $x^{12}={\left(x^4\right)}^3$, представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и применим формулу:

$125 – x^{12}=5^3– {\left(x^4\right)}^3=\left(5–x^4\right)\left(25+5x^4+x^8\right)$.

в) Учитывая, что $64x^3={\left(4x\right)}^3$, $\frac{1}{8}{y}^6={\left(\frac{1}{2}{y}^2\right)}^3$, получим сумму кубов:

$64x^3+\frac{1}{8}{y}^6={\left(4x\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}{y}^2\right)}^3=\left(4x+\frac{1}{2}{y}^2\right)\left(16x^2-2x{y}^2+\frac{1}{4}{y}^4\right)$.

Докажите, что значение выражение ${326}^3+{174}^3$ делится на 500.

Решение

Применим формулу суммы кубов:

${326}^3+{174}^3=(326+174)\left({326}^2-326·174+{174}^2\right)=$

$=500·\left({326}^2-326·174+{174}^2\right)$.

Теперь очевидно, что выражение делится на 500.

1. Разложить на множители:

а) $8x^3+y^3$

б) $64x^6–y^{12}$

в) $125x^3+\frac{1}{125}{y}^6$

2. Докажите, что значение выражение

а)  ${526}^3-{426}^3$ делится на 100

б) ${28}^3+{22}^3$ делится на 50.

1. а) $(2x+y)\left(4x^2-2xy+y^2\right)$ 

б) $\left(4x^2-y^4\right)\left(16x^4+4x^2{y}^4+y^8\right)$

в) $\left(5x+\frac{1}{5}{y}^2\right)\left(25x^2-x{y}^2+\frac{1}{25}{y}^4\right)$

2. а) $(526-426)\left({526}^2+526·426+{426}^2\right)=100·\left({526}^2+526·426+{426}^2\right)$

б) $( 28+22)\left({28}^2-28·22+{22}^2\right)=50·\left({28}^2-28·22+{22}^2\right)$