Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Разложение на множители суммы и разности кубов

Формулы сокращенного умножения

29.05.2024
2001
0

Разложение на множители суммы и разности кубов

План урока

  • Разложение на множители суммы и разности кубов
  • Решение заданий по теме

Цели урока

  • Знать формулы суммы и разности кубов двух выражений
  • Уметь раскладывать на множители сумму и разность кубов
  • Знать, что такое неполный квадрат суммы и неполный квадрат разности
  • Знать словесную формулировку формул суммы и разности кубов двух выражений

Разминка

  • Что значит возвести число в куб?
  • Чему равен квадрат суммы и квадрат разности двух выражений?
  • Чему равна разность квадратов двух выражений?
  • Чему равен куб суммы и куб разности двух выражений?

Разложение на множители суммы и разности кубов

 

Продолжим изучение формул сокращенного умножения. Ещё раз вспомним формулы, которые мы уже знаем:

Теперь наша задача познакомиться с последней парой тождеств и научиться их применять.

Сначала убедимся в верности этих тождеств алгебраическим способом. Умножим два многочлена, стоящие в правой части формул.

 

Для формулы суммы кубов двух выражений.

 

a+ba2-ab+b2=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3.

 

Для формулы разности кубов двух выражений.

 

(a-b)a2+ab+b2=a3+a2b+ab2-ba2-ab2-b3=a3-b3.

 

Заметим, что в правой части формулы суммы кубов двух выражений стоит выражение a2-ab+b2, которое называется  неполным квадратом разности  выражений a и b. Оно очень похоже на полный квадрат разности (a-b)2=a2-2ab+b2, но отличается тем, что вместо удвоенного произведения выражений a и b стоит просто их произведение. Очевидно, что выражение a2+ab+b2,стоящее в правой части формулы разности кубов двух выражений, принято называть  неполным квадратом суммы . Теперь мы можем дать словесную формулировку формулам суммы и разности кубов двух выражений.


Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.


Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.


Пример 1

Разложить на множители:

 

а) 27x6+8y3

б) 125-x12

в) 64x3+18y6


Решение

 

а) Имеем 27x6=3x238y3=(2y)3. Значит, данный двучлен представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов и получим:

 

27x6+8y3=3x23+(2y)3=3x2+2y3x22-3x2·2y+2y2=

=3x2+2y9x4-6x2y+4y2.

 

б) Так как 125=53, а x12=x43, представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и применим формулу:

 

125  x12=53 x43=5x425+5x4+x8.

 

в) Учитывая, что 64x3=(4x)318y6=12y23, получим сумму кубов:

 

64x3+18y6=(4x)3+12y23=4x+12y216x2-2xy2+14y4.


Пример 2

Докажите, что значение выражение 3263+1743 делится на 500.


Решение

 

 

Применим формулу суммы кубов:

 

3263+1743=(326+174)3262-326·174+1742=

=500·3262-326·174+1742.

 

Теперь очевидно, что выражение делится на 500.


Упражнение 1

1. Разложить на множители:

 

а) 8x3+y3

б) 64x6y12

в) 125x3+1125y6

 

2. Докажите, что значение выражение

 

а)  5263-4263 делится на 100

б) 283+223 делится на 50.


Контрольные вопросы

 

1. Чему равна сумма кубов двух выражений?

2. Докажите формулу суммы кубов двух выражений алгебраическим способом.

3. Чему равна разность кубов двух выражений?

4. Докажите формулу разности кубов двух выражений алгебраическим способом.

 5. Какое выражение называется неполным квадратом суммы двух выражений?

6. Какое выражение называется неполным квадратом разности двух выражений?


Ответы к упражнению 1

 

1. а) (2x+y)4x2-2xy+y2 

б) 4x2-y416x4+4x2y4+y8

в) 5x+15y225x2-xy2+125y4

 

2. а) (526-426)5262+526·426+4262=100·5262+526·426+4262

б) ( 28+22)282-28·22+222=50·282-28·22+222

 

Предыдущий урок
Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности
Формулы сокращенного умножения
Следующий урок
Преобразование целого выражения в многочлен
Формулы сокращенного умножения
Поделиться:
  • Антарктида. Географическое положение. Открытие и исследование Антарктиды. Природа

    География

  • Решение задач с помощью систем уравнений

    Алгебра

  • Страны Азии

    География

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке