Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Умножение разности двух выражений на их сумму

Формулы сокращенного умножения

02.12.2024
1949
0

Умножение разности двух выражений на их сумму

План урока

  • Умножение разности двух выражений на их сумму
  • Решение заданий по теме

Цели урока

  • Знать формулу произведения разности двух выражений на их сумму
  • Уметь выводить формулу произведения разности двух выражений на их сумму алгебраическим и геометрическим способами
  • Уметь применять формулу произведения разности двух выражений на их сумму для решения заданий

Разминка

  • Назовите формулы сокращенного умножения, которые вы знаете
  • Для чего нужны формулы сокращенного умножения?
  • Что значит возвести число в квадрат?
  • Чему равна площадь квадрата? Прямоугольника?
  • Сформулируйте правило умножения многочленов

Умножение разности двух выражений на их сумму.

 

Мы уже изучили четыре формулы сокращенного умножения. Давайте вспомним их:

Теперь пришло время познакомиться с ещё одной формулой.


Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.


Эта формула позволит быстро умножить разность и сумму одних и тех же выражений a и b. Выведем эту формулу двумя способами.

1 способ. Алгебраический.

 

Умножим разность выражений a-b на их сумму a+b по правилу умножения многочленов. Получим:

 

(a-b)(a+b)=a2+ab-ba-b2=a2-b2.

 

2 способ. Геометрический.

Рис. 1. Геометрический смысл формулы

Пусть a и b - некоторые положительные числа, такие, что a>b. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a+b и a-b (рис.1 слева). Площадь такого прямоугольника будет равна произведению a-ba+b. Теперь отрежем прямоугольник со сторонами b и a-b и приложим его к оставшейся части так, как показано на рисунке 1 справа. Очевидно, что полученная фигура будет иметь ту же площадь, что и первоначальный прямоугольник.  Но, с другой стороны, эту новую фигуру можно построить следующим способом: из квадрата со стороной равной a вырезать квадрат со стороной равной b. Значит, площадь новой фигуры будет равна a2-b2. Таким образом, получили, что a-ba+b=a2-b2.  

 

Приведем примеры применения этой формулы.


Пример 1

Выполните умножение:

 

а) (x-5)(x+5)

б) (3x-2y)(3x+2y)

в) (x2-y3)(x2+y3)

г) 13x-yy+13x


Решение

 

а) Нужно умножить разность x и 5 на их сумму. Воспользуемся формулой:

Роль a будет выполнять x, а роль b выполняет 5. Тогда:

 

(x-5)(x+5)=x2-25.

 

б) В данном примере нужно перемножить разность и сумму 3x и 2y. По формуле получим:

 

3x-2y3x+2y=(3x)2-(2y)2=9x2-4y2.

 

в) Аналогичным образом перемножим разность и сумму x2 и y3. Вспомним, что при возведении степени в степень показатели перемножаются.

x2-y3x2+y3=x22-y32=x4-y6.

 

г) Применим переместительное свойство сложения и раскроем скобки, используя формулу:

 

13x-yy+13x=13x-y13x+y= 13x2-(y)2=19x2-y2.


Пример 2

Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось верное равенство:

 

а) (2x+*)(2x-*)=4x2-100y4

б) (*-3x)(3x+*)=0,04y2-9x2


Решение

 

а) Воспользуемся формулой произведения разности двух выражений на их сумму. Очевидно, что роль a будет выполнять 2x. Тогда роль b выполняет *. После возведения в квадрат получили 100y4. Так как 10y22=100y4, то *=10y2.

 

б) Аналогичным образом находим, что 0,04y2 – это 0,2y, возведенный в квадрат. Так как 0,04y2=(0,2y)2, то *=0,2y.


Пример 3

Найдите значение выражения:

 

а) 27·33

б) 68·72


Решение

 

а) Нам нужно представить числа 27 и 33 в виде суммы и разности двух одинаковых чисел. Очевидно, что 27=30-3, а 33=30+3. Тогда по формуле умножения разности двух выражений на их сумму находим:

 

27·33=(30-3)(30+3)=302-32=900-9=891.

 

б) В этом примере найдем представление в виде суммы и разности для чисел 68 и 72. Понятно, что 68=70-2, а 72=70+2. Тогда:

 

68·72=(70-2)(70+2)=702-22=4900-4=4896.


Упражнение 1

1. Выполните умножение:

 

а) (x-7)(x+7)

б) (4x-y)(4x+y)

в) x3-y4x3+y4

г) 18x+yy- 18x

 

2. Впишите вместо знака * одночлен так, чтобы получилось верное равенство:

 

а) 4x+*4x-*=16x2-14y2

б) *-7x7x+*=0,01y8-49x2

 

3. Найдите значение выражения:

 

а) 201·199

б) 84·76


Контрольные вопросы

 

1. Напишите формулу для умножения разности и суммы двух выражений. Дайте её словесную формулировку.

2. Выведите формулу для умножения разности и суммы двух выражений алгебраическим способом. 

3. Выведите формулу для умножения разности и суммы двух выражений геометрическим способом.


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) x2-49  

б) 16x2-y2  

в) x6-y8  

г) y2-164 x2

 

2. а) *=12y    

б) *=0,1y4

 

3. а) 39999  

б) 6384

Предыдущий урок
Разложение разности квадратов на множители
Формулы сокращенного умножения
Следующий урок
Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности
Формулы сокращенного умножения
Поделиться:
  • Прямоугольные треугольники

    Геометрия

  • Класс Пресмыкающиеся или Рептилии. Отряды пресмыкающихся

    Биология

  • Индия, Китай и Япония. Начало европейской колонизации

    История

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке