Как поступить
в Онлайн-школу №1 и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

Конспект урока: Преобразование целого выражение в многочлен

Формулы сокращенного умножения

Преобразование целого выражения в многочлен

План урока

  • Преобразование целого выражения в многочлен
  • Решение примеров по теме

Цели урока

  • Знать, какие математические выражения называются целыми
  • Уметь приводить примеры целых и нецелых выражений
  • Уметь преобразовывать целые выражения в многочлен

Разминка

  • Что называется одночленом? Многочленом?
  • Что означает выражение «привести многочлен к стандартному виду»?
  • Как выполняется сложение двух многочленов? Что получается в результате? Приведите пример.
  • Как выполняется вычитание двух многочленов? Что получается в результате? Приведите пример.
  • Как выполняется умножение двух многочленов? Что получается в результате? Приведите пример.

Преобразование целого выражения в многочлен

 

Посмотрите на выражения, представленные ниже. Можем ли мы получить из них новые выражения, используя знаки сложения, вычитания и умножения?

 

(4+х),  (12х-3у),   (1-3ху), (х-5z),  (z+x).

 

Конечно, мы можем составить новое выражение. Например, 

 

(4+х)·(12х-3у)-(1-3ху)+(х-5z)·(z+x).

 

Такие выражения называются целыми.


Целыми выражениями  называют числа, переменные, а также всевозможные выражения, составленные из них при помощи действий сложения, вычитания и умножения (произведение одинаковых множителей может быть записано и в виде степени с натуральным показателем), которые также могут содержать скобки и деление на отличное от нуля число.


Приведем еще примеры целых выражений. Числа 4;-5; 0; 2,85; 16; -713 и другие, различные переменные х, у, z, k, m, n, a, b, c  и другие будут являться целыми выражениями. Все разнообразные суммы, разности и произведения, составленные из них, также будут целыми выражениями. Например, 4+х, 5-а3, (2у+5z)2-(y+z)(y-z) и т.д. К целым выражениям будут относиться и те выражения, которые содержат деление на какое-либо число, отличное от нуля. Например, (х:3), (16:2·5+а:2), х+2у8, тоже целые выражения.

 

Выражения х+2уу и (х2+2х+1):(х2+2) не являются целыми, так как содержат деление на выражение с переменной (первое - деление на переменную у, а второе - на выражение х2+2). 

 

Любые целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов. Все эти правила мы изучили на прошлых уроках. Давайте их вспомним.

 

1. Чтобы умножить два многочлена, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить. Результатом умножения будет снова многочлен.

 

(х+у)(а+b)=ха+хb+уа+уb

 

2. Суммой многочленов будет новый многочлен, членами которого являются все члены данных многочленов.

 

(х+у)+(а+b)= х+у+а+b

 

3. Разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и все члены вычитаемого, но взятые с противоположными знаками.

 

(х+у)-(а+b)= х+у-а-b

 

Выражения, полученные в результате этих действий, нужно приводить к стандартному виду.

 

Над целыми выражениями можно выполнять все основные тождественные преобразования,например, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.д. Рассмотрим как можно упростить целое выражение, составленное нами в самом начале. 

 

Упростите выражение (4+х)·(12х-3у)-(1-3ху)+(х-5z)·(z+x).

 

Выполним умножение многочленов и раскроем скобки, перед которыми стоит знак «минус» ( при раскрытии меняем знаки на противоположные).

 

48х-12у+12х2-3ху-1+3ху+хz+х2-5z2-5хz

 

Теперь приведем подобные слагаемые:

 

13х2-5z2+48х-12у-4хz-1.


Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.


Это утверждение следует из определения целого выражения и понятия действий с многочленами. Действительно, любое целое выражение можно рассматривать как многочлены, соединенные знаками действий сложения, вычитания и умножения. А мы знаем, что сумму, разность и произведение многочленов можно преобразовать в многочлен.

Для того, чтобы представить целое выражение в виде многочлена, нужно выполнить все действия с числами, одночленами и многочленами, составляющими это выражение, соблюдая порядок выполнения действий.

 

Помните, что при умножении многочленов и возведении их в степень целесообразно пользоваться формулами сокращенного умножения, чтобы облегчить процесс преобразования. Также все многочлены, входящие в состав целого выражения, следует предварительно приводить к стандартному виду. Это сделает последующие преобразования более рациональными.

Преобразование целого выражения в многочлен часто применяется при решении уравнений, доказательстве тождеств, доказательстве задач на делимость и других.


Пример 1

Преобразуйте в многочлен:

 

а) 3х(х-у)+3(х-у)2

б) (6+4х)(х-5)-3(х-1)2


Решение

 

а) Выполним умножение одночлена на многочлен и раскроем квадрат разности по формуле сокращенного умножения. В конце приведем подобные слагаемые: 

 

3х(х-у)+3(х-у)2=3х2-3ху+3х2-6ху+3у2=6х2-9ху+3у2.

 

б) Перемножим многочлены и раскроем квадрат разности по формуле:

 

(6+4х)(х-5)-3(х-1)2=6х-30+4х2-20х-3х2+6х-3=х2-8х-33.


Пример 2

Решите уравнение:

 

(3-х)2+3(х-2)(х+2)=4х2+9


Решение

 

а) Раскроем (3-х)2 по формуле квадрата разности двух выражений, а произведение (х-2)(х+2) представим в виде разности квадратов. Получим:

 

(3-х)2+3(х-2)(х+2)=4х2+9

  9-6х+х2+3х2-12=4х2+9

  4х2-6х-3=4х2+9

  -6х=12

  х=12:(-6)

  х=-2

 

Ответ: -2.


Пример 3

Докажите, что при любом натуральном значении а выражение (a-4)(a+8)-(a-2)(a+3)+35 делится на 3.


Решение

 

Умножим многочлены и приведем подобные слагаемые:

 

(a-4)(a+8)-(a-2)(a+3)+35=a2+8a-4a-32-(a2+3a-2a-6)+35

=a2+4a-32-a2-a+6+35=3a+9=3(a+3).

 

Выражение 3(a+3) делится на 3 при любых натуральных значениях переменной a.


Упражнение 1

1. Преобразуйте в многочлен:

 

а) (х-4)2+х(х+8)

б) (3х-1)(3х+1)-(х-5)(х+5)

в) (х-2)(х+2)(х2+4)

г) (х-у)(х+у)-(х-2у)2

 

2. Решите уравнение:

 

а) (6х-1)(6х+1)-4х(9х+2)=-1

б) 9х(х+6)-(3х+1)2=47

в) (х-1)(х+1)=2(х-3)2-х2+5

г) (х-1)(х2+х+1)=0

 

3. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

 

(х2-3)2-(х+2)(х2+4)(х-2)-6(5-х2)


Контрольные вопросы

 

1. Какие математические выражения называются целыми? Приведите примеры.

2. Какие выражения не будут являться целыми? Приведите примеры.

3. Являются ли одночлены целыми выражениями? 

4. Являются ли многочлены целыми выражениями?

5. Любое ли целое выражение можно представить в виде многочлена?


Ответы

Упражнение 1

 

1. а) 2х2+16  

б) 8х2+24 

в) х4-16  

г) -5у2+4ху

 

2. а) х=0  

б) х=1 

в) х=2  

г) х=1

 

3. х4-6х2+9-х4+16-30+6х2=-5

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Формулы сокращенного умножения
  • В поисках путей модернизации. Европа меняющаяся

    История

  • Повседневная жизнь и мировосприятие человека XIX века

    История

  • Экономическое развитие в XIX – начале ХХ века. Меняющееся общество

    История