Соотношения между сторонами и углами треугольника

План урока

Теорема о площади треугольника
Теорема синусов
Теорема косинусов
Решение треугольников
Измерительные работы

Цели урока

Знать теорему о площади треугольника, теорему синусов, теорему косинусов
Уметь применять теорему о площади треугольника, теорему синусов, теорему косинусов при решении задач
Уметь решать треугольник по трём элементам
Знать методы измерительных работ

Разминка

Как найти площадь треугольника?
Что такое синус, косинус, тангенс угла?

Теорема о площади треугольника

Теорема (о площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Рис. 1. Теорема о площади треугольника

Доказательство

Дан треугольник . Найдем его площадь.

Пусть сторона $B C = a, A C = b, ∠ C = α$

Введем систему координат с началом в точке $C$ (рис. 1). Тогда координаты точки $B$ равны: $x = a \cdot \cos α, y = a \cdot \sin α .$

Высота треугольника $A B C$ , проведенная к стороне $A C$ , равна $B H$ . Но, с другой стороны, $B H -$ это ордината точки $B$ т.е. $B H = a \cdot \sin α .$

Известно, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Тогда

${S_{Δ}}_{A B C} = \frac{1}{2} A C \cdot B H = \frac{1}{2} b \cdot (a \cdot s i n α) = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot s i n α .$

Таким образом, $S_{∆} = \frac{1}{2} a b s i n α$ , где $a$ , $b$ — стороны треугольника, $α$ — угол между ними.

Теорема доказана

Пример 1

Найдите площадь треугольника ABC, если $A B = 3 \sqrt{8} с м, A C = 2 с м, ∠ A = 45 ° .$

Рис. 2. Пример 1

Решение

Рассмотрим $∆ A B C$ , где $A B = 3 \sqrt{8} с м,$

$A C = 2 с м, ∠ A = 45 °$ (рис. 2).

$S_{Δ_{A B C}} = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot s i n A =$

$= \frac{1}{2} \cdot 3 \sqrt{8} \cdot 2 \cdot s i n 45 ° = 3 \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =$

$= 6 (с м^{2})$

Ответ: 6 cм².

Теорема синусов

Теорема (синусов)

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Рис. 3. Теорема синусов

Доказательство

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть $A B = c, A C = b, B C = a$ (рис. 3). Используя теорему о площади, найдем площадь треугольника $A B C$ разными способами:

$S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin C, S = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A,$ $S = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin B$

Приравняв первые два равенства, получим: $\frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A$ , откуда $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} .$ Таким же образом, приравняв второе и третье равенство, получим $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} .$

Таким образом, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ .

Теорема доказана

Пример 2

В треугольнике $O M K$ $\sin O = \frac{1}{4}$ , $O K = 8$ , $M K = 6$ .
Найти синус угла M.

Рис. 4. Пример 2

Решение

Рассмотрим треугольник $O M K$ , где $O K = 8, M K = 6, \sin O = \frac{1}{4}$ (рис. 4).

Применим к этому треугольнику теорему синусов: $\frac{M K}{\sin O} = \frac{O K}{\sin M}$ , отсюда $\frac{6}{\frac{1}{4}} = \frac{8}{\sin M}, \sin M = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Можно доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Таким образом, будет справедливо равенство:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R,$

где $a = B C, b = A C, c = A B$ – стороны треугольника $A B C, R -$ радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ .

Теорема косинусов

Теорема (косинусов)

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Рис. 5. Теорема косинусов

Доказательство

Пусть в треугольнике $A B = c, A C = b, C B = a$ .

Поместим треугольник $A B C$ в прямоугольную систему координат так, чтобы точка $A$ совпадала с началом координат, точка $B$ лежала на положительной полуоси
$O x$ , а точка $C$ располагалась в первой координатной четверти (рис. 5).

Точка $B$ будет иметь координаты $(c; 0)$ . Если из точки $C$ опустить перпендикуляр $C H$ , то $\sin A = \frac{C H}{A C}, \cos A = \frac{A H}{A C}$ , т.е. $C H = A C \sin A = b \sin A$ ,
$A H = A C \cos A = b \cos A$

$C H -$ это ордината точки $C$ , а $A H -$ абсцисса точки $C$ , поэтому точка $C$ имеет координаты $(b \cos A; b \sin A)$ .

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

$B C^{2} = a^{2} = {(b c o s A - c)}^{2} + b^{2} s i n^{2} A = b^{2} c o s^{2} A + b^{2} s i n^{2} A - 2 b c c o s A + c^{2} =$

$= b^{2} (c o s^{2} A + s i n^{2} A) - 2 b c c o s A + c^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c c o s A$

Теорема доказана

Пример 3

В треугольнике $A B C$ $\cos B = - \frac{1}{5}$ , $A B = 5$ , $B C = 4$ . Найдите сторону $A C$

Решение

Применим к треугольнику $A B C$ теорему косинусов: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot c o s B = 5^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot (- \frac{1}{5}) = 49 .$

Тогда $A C = \sqrt{49} = 7 .$

Ответ: 7.

Теорема косинусов — обобщенная теорема Пифагора. В самом деле, если угол $A$ прямой, то его косинус равен $0$ и тогда $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Решение треугольников

Решить треугольник – это значит найти все его стороны и углы по каким-нибудь трём данным элементам. Рассмотрим три задачи на решение треугольника.

Пусть дан треугольник $A B C$ , в котором $A B = c, B C = a, C A = b .$

Задача 1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Дано: $a, b, ∠ C .$

Найти: $c, ∠ A, ∠ B .$

Решение

Найдем сторону по теореме косинусов:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C}$

2. По теореме косинусов найдем угол

$c o s A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Зная косинус угла, можно найти сам угол с помощью таблицы или микрокалькулятора.

3. Теперь можем найти угол В. Сумма всех углов треугольника равна 180°, поэтому

$∠ B = 180 ° - ∠ A - ∠ C$

Таким образом, мы решили треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Задача 2 (решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам)

Дано: $a, ∠ B, ∠ C .$

Найти: $∠ A, b, c .$

Решение

1. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то $∠ A = 180 ° - ∠ B - ∠ C$

2. Теперь по теореме синусов найдем стороны $b$ и $c$ :

$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, c = \frac{a \sin C}{\sin A}$

Таким образом, мы решили треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.

Задача 3 (решение треугольника по трём сторонам)

Дано: $a, b, c$

Найти: $∠ A, ∠ B, ∠ C .$

Решение

Воспользуемся теоремой косинусов:

$c o s A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

Далее угол можно найти с помощью таблицы или микрокалькулятора.

2. Аналогичным образом найдем угол B:

$c o s B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$

3. Найдем угол C:

$∠ C = 180 ° - ∠ A - ∠ B$

Таким образом, мы решили треугольник по трём сторонам.

Пример 4

Решите треугольник ABC, если $A B = 4, B C = 6, ∠ B = 60 ° .$

Решение

Нужно решить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Найдем сторону по теореме косинусов:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cos B}$

$A C = \sqrt{4^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60 °} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

2. По теореме косинусов найдем угол A.

$c o s A = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2 \cdot A C \cdot A B}$

$c o s A = \frac{{(2 \sqrt{7})}^{2} + 4^{2} - 6^{2}}{2 \cdot 2 \sqrt 7 \cdot 4} = \frac{1}{2 \sqrt{7}} \approx 0, 189$

Значит, $∠ A = 79 ° .$

3. Теперь можем найти угол C. Сумма всех углов треугольника равна 180°, поэтому

$∠ C = 180 ° - ∠ A - ∠ C,$

$∠ C = 180 ° - 79 ° - 60 ° = 41 ° .$

Ответ: $A C = 2 \sqrt{7}, ∠ A = 79 °, ∠ C = 41 °$

Измерительные работы

Тригонометрические формулы используются при проведении различных измерительных работ на местности. Например, при измерении высоты предмета или измерении расстояния до недоступной точки.

Рис. 6 Измерение высоты предмета

Пример 5 (Измерение высоты предмета)

Найти высоту дерева (рис. 6).

Решение

Отметим точку $B$ на расстоянии $a$ от основания H дерева. Измерим угол $α .$ Тогда высоту предмета легко найти: $A H = a \cdot t g α .$

В случае, если основание дерева $H$ недоступно для измерения, нужно отметить две точки $B$ и $C$ на определенном расстоянии $a$ друг от друга. Измерим углы $a$ и $β$ . Тогда $∠ A B H -$ внешний угол треугольника $A B C$ и $∠ A = α - β .$ По теореме синусов находим $A B :$

$A B = \frac{a \sin β}{\sin (α - β)}$ .

Треугольник прямоугольный. Найдем высоту $A H :$

$A H = A B \cdot \sin α$

Таким образом, $A H = \frac{a \sin α \sin β}{\sin (α - β)}$ .

Пример 6 (Измерение расстояния до недоступной точки)

Нужно измерить расстояние $d$ от пункта $A$ до недоступного пункта $C$ .

Рис. 7. Измерение расстояния до недоступной точки

Решение

На местности выберем точку $B$ , измерим длину $c$ отрезка $A B$ и углы $A$ и $B : ∠ A = α, ∠ B = β$

Теперь найдем угол $C :$ $∠ С = 180 ° - α - β$

$\sin C = \sin (180 ° - α - β) =$

$= \sin (α + β)$ .

Далее воспользуемся теоремой синусов: $\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}, A C = d, A B = c,$ $∠ B = β,$ тогда $d = \frac{c \sin β}{\sin (α + β)}$

Пример 7

Найдите синус угла треугольника, если биссектриса, проведенная из вершины этого угла, делит противолежащую сторону на отрезки $21$ и $35$ , а разность двух сторон, прилежащих к этому углу равна $16$ .

Решение

Рис. 8. К решению примера 7

Пусть $A K$ — биссектриса угла $A$ треугольника $A B C$ , $B K = 21$ , $C K = 35$ . Пусть $A B = x$ , тогда
$A C = 16 + x$ .

По свойству биссектрисы угла:

$\frac{A B}{B K} = \frac{A C}{C K}$ ,

$\frac{x}{21} = \frac{16 + x}{35}$ ,

$35 x = 21 (16 + x)$ ,

$x = 24$ .

Тогда $A B = 24$ , $A C = 40$ , $B C = 56$ .

Используем в треугольнике $A B C$ теорему косинусов, и выразим косинус угла $A$ :

$\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}$ ,

$\cos A = \frac{576 + 1600 - 3136}{2 \cdot 24 \cdot 40} = - \frac{1}{2}$ .

Применив основное тригонометрическое тождество, получим $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Упражнение 1

1. Найдите площадь треугольника $A B C$ , если $A B = 4 с м, A C = 7 с м, ∠ A = 135 ° .$

2. В треугольнике $M P K$ $\sin M = \frac{1}{6}$ , $M K = 12$ , $P K = 4$ .
Найти синус угла $P .$

3. В треугольнике $A B D \cos D = - \frac{1}{15}, A D = 5, B D = 3 .$ Найдите сторону $A B .$

4. Решите треугольник $A B C$ , если $B C = 5 \sqrt{3} с м$ , $A B = 10 с м$ , $∠ B = 30 °$ .

Контрольные вопросы

По какой формуле можно вычислить площадь треугольника?
Сформулируйте теорему синусов
Сформулируйте теорему косинусов
Как найти радиус описанной окружности, используя теорему синусов?
Как решить треугольник, если известна сторона и два прилежащих к ней угла?
Как измерить расстояние до недоступной точки?

Ответы

Упражнение 1

1. 7 $\sqrt{2}$ см².

2. 0,5.

3. 6. 4. $A C = 5 с м, ∠ A = 60 °, ∠ C = 90 ° .$

Конспект урока: Соотношения между сторонами и углами треугольника

Треугольники

Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Теорема косинусов

Решение треугольников

Измерительные работы