Конспект урока: Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

[header]Синус, косинус, тангенс, котангенс угла[/header]

[flex column='true'][row title='Цели урока']

• Синус, косинус, тангенс, котангенс
• Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
• Формулы для вычисления координат точки

[/row][row title='План урока']

• Уметь строить единичную полуокружность.
• Знать, что такое синус и косинус угла $\alpha$ из промежутка 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º
• Знать понятие тангенс угла $\alpha$, для какого значения $\alpha$ тангенс не определён и почему
• Знать понятие котангенс угла $\alpha$, для какого значения $\alpha$ котангенс не определён и почему
• Знать и уметь доказывать основное тригонометрическое тождество
• Знать формулы приведения
• Уметь применять формулы приведения при решении задач
• Знать и уметь применять формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox

[/row][row title='Разминка' final='true']

• Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите синус меньшего острого угла этого треугольника
• Стороны прямоугольного треугольника равны 26 м, 24 м и 10 м. Найдите тангенс большего острого угла этого треугольника
• Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30°. Найдите гипотенузу этого треугольника

[/row][/flex]

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/9J5ofNJohjZt_1.png' name='Рис. 1. Прямоугольный треугольник' float='right' width='30']

Синус, косинус, тангенс, котангенс 

В курсе геометрии 8 класса вы познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Вспомним их:

[/img]

[line][/line][section icon='note']

Синусом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin \alpha =\frac{a}{c}=\frac{BC}{BD}$ (рис.1).

Косинусом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos \alpha =\frac{b}{c}=\frac{CD}{BD}$ (рис.1).

Тангенсом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: $tg\alpha =\frac{a}{b}=\frac{BC}{CD};$ $tg\alpha =\frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha }$ (рис.1).

Котангенсом острого угла $\alpha$ прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: $ctg\alpha =\frac{b}{a}=\frac{CD}{BC}; ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ (рис.1).

[/section][line][/line]

Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30°, 45° и 60°. Вспомним ее:

[table][tr][td]

угол, $\alpha$    

[/td][td]

30°           

[/td][td]

45°           

[/td][td]

60°           

[/td][/tr][tr][td]

sin $\alpha$

[/td][td]

$\frac{1}{2}$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

[/td][/tr][tr][td]

cos $\alpha$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

[/td][td]

$\frac{1}{2}$

[/td][/tr][tr][td]

tg $\alpha$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

[/td][td]

1

[/td][td]

$\sqrt{3}$

[/td][/tr][tr][td]

ctg $\alpha$

[/td][td]

$\sqrt{3}$

[/td][td]

1

[/td][td]

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

[/td][/tr][/table]

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/DmmRVnyrlTj4_2.png' name='Рис. 2 . Полуокружность' float='right' width='40']

Познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0° до 180º.

Построим в прямоугольной системе координат полуокружность, радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат (рис. 2). 

Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки O проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность в точке $М (x; y)$. Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за $\alpha$. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то угол $\alpha$  равен 0º. Если луч h совпадает с осью Oy, то $\alpha =90°$. Если луч h совпадает с отрицательной полуосью абсцисс, то $\alpha =180°$. 

Опустим из точки М перпендикуляр MD на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник OMD. Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM = 1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD = y, а ОD = x. Тогда $\sin \alpha =\frac{MD}{OM}=\frac{y}{1}=y, \cos \alpha =\frac{OD}{OM}=\frac{x}{1}= x$. Мы получили, что синус острого угла $\alpha$ равен ординате точки М, а косинус острого угла $\alpha$ равен абсциссе точки М.  

По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.

[/img]

[line][/line][section icon='note']

Для любого угла $\alpha$, 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º, синусом угла $\alpha$ называется ордината y точки M, а косинусом угла $\alpha$ - абсцисса x точки M, где $M\left(x; y\right)$ - произвольная точка единичной полуокружности 

[/section][line][/line]

Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменяться от 0 до 1, значит, и синус угла $\alpha$ из промежутка от 0° до 180º может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменяться от -1 до 1, то есть и косинус угла $\alpha$  из промежутка от 0° до 180º может изменяться от -1 до 1.

[line][/line][section icon='note']

0 ≤ y ≤ 1, следовательно, 0 ≤ $\sin \alpha$  ≤ 1;

-1 ≤ x ≤ 1, следовательно, -1 ≤ $\cos \alpha$ ≤ 1.

[/section][line][/line][section icon='example']

Пример 1

Может ли: 

а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равной 0,5; $\frac{1}{4};-\frac{1}{3}$; 5?  

б) ордината точки единичной полуокружности быть равной 0,7; $\frac{1}{3}; -\frac{1}{4};$ 7?

[/section][line][/line]

Решение

а) Поскольку полуокружность единичная, значит, абсцисса точки должна принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна 0,5; $\frac{1}{4}; -\frac{1}{3}$, но не может быть равна 5.

б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна 0,7; $\frac{1}{3}$, но не может быть равна $-\frac{1}{4}$; 7.

[line][/line]

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/XohN1C5feX1w_3.png' name='Рис. 3. Полуокружность' float='right' width='40']

Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА (рис. 3). На единичной полуокружности точка A имеет координаты 
(1; 0), значит, sin 0º = y = 0, а cos 0º = x = 1.

Найдем теперь значения sin 90º и 

cos 90º. Этот угол задается лучом OB. Координаты точки B равны (0; 1), значит, 

sin 90º = y = 1, cos 90º = x = 0.

Проводя аналогичные рассуждения, получим 

sin 180º = y = 0, а cos 180º = x = - 1.

Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:

[/img]

[table][tr][td]

угол, $\alpha$     

[/td][td]

30°          

[/td][td]

45°          

[/td][td]

60°          

[/td][td]

0°          

[/td][td]

90°          

[/td][td]

180°          

[/td][/tr][tr][td]

sin $\alpha$

[/td][td]

$\frac{1}{2}$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

[/td][td]

0

[/td][td]

1

[/td][td]

0

[/td][/tr][tr][td]

cos $\alpha$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

[/td][td]

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

[/td][td]

$\frac{1}{2}$

[/td][td]

1

[/td][td]

0

[/td][td]

$-$1

[/td][/tr][/table]

[line][/line][section icon='example']

Пример 2

Определить координаты точки M (x; y), лежащей на единичной полуокружности (рис.2), если:

а)  $\alpha$ = 30°; б)  $\alpha$ = 45°; в) $\alpha$ = 90°.

* $\alpha$ - угол между лучом OM и положительной полуосью Ox.

[/section][line][/line]

Решение

а) cos 30º = x = $\frac{\sqrt{3}}{2};$ sin 30º = y = $\frac{1}{2}$, следовательно, M ($\frac{\sqrt{3}}{2};$ $\frac{1}{2}$).

б) cos 45º = x = $\frac{\sqrt{2}}{2};$ sin 45º = y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, 

M ($\frac{\sqrt{2}}{2};$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$).

в) cos 90º = x = 0; sin 90º = y = 1, следовательно, M (0; 1).

Ответ: а) M($\frac{\sqrt{3}}{2};$ $\frac{1}{2}$); б) M($\frac{\sqrt{2}}{2};$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$); в) M(0; 1).

[line][/line]

Тангенсом острого угла мы называли отношение синуса этого угла к его косинусу, т.е. $tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.  Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 90º, то его косинус равен 0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы немного уточним определение тангенса.

[line][/line][section icon='note']

Тангенсом угла $\alpha$, где 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º, $\alpha$≠ 90º, называется отношение синуса этого угла к его косинусу

$\mathit{t}\mathit{g}\mathit{\alpha }\mathbf{=}\frac{\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{\alpha }}{\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{s}\mathbf{\alpha }}$

[/section]

[line][/line]

Котангенсом острого угла мы называли отношение косинуса этого угла к его синусу, т.е. $ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$. Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 0º или 180º, то синус этих углов равен 0, а, значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому $ctg 0°$ и  $ctg 180°$ не существует. Таким образом, уточним определение котангенса.

[line][/line][section icon='note']

Котангенсом угла $\alpha$, где 0° < $\alpha$<180º, называется отношение косинуса этого угла к его синусу

$ctg\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

[/section][line][/line]

Дополним известную нам таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:

[table][tr][td]угол, $\alpha$   [/td]

[td]30°      [/td]

[td]45°      [/td]

[td]60°      [/td]

[td]0°        [/td]

[td]90°      [/td]

[td]180°    [/td][/tr]

[tr][td]sin $\alpha$[/td]

[td]$\frac{1}{2}$[/td]

[td]$\frac{\sqrt{2}}{2}$[/td]

[td]$\frac{\sqrt{3}}{2}$[/td]

[td]0[/td]

[td]1[/td]

[td]0[/td][/tr][tr]

[td]cos $\alpha$[/td]

[td]$\frac{\sqrt{3}}{2}$[/td]

[td]$\frac{\sqrt{2}}{2}$[/td]

[td]$\frac{1}{2}$[/td]

[td]1[/td]

[td]0[/td]

[td]$-$1[/td][/tr]

[tr][td]tg $\alpha$[/td]

[td]$\frac{\sqrt{3}}{3}$[/td]

[td]1[/td]

[td]$\sqrt{3}$[/td]

[td]0[/td]

[td]-[/td]

[td]0[/td][/tr][tr][td]

ctg $\alpha$[/td]

[td]$\sqrt{3}$[/td]

[td]1[/td]

[td]$\frac{\sqrt{3}}{3}$[/td]

[td]-[/td]

[td]0[/td]

[td]-[/td][/tr][/table]

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/ydPHg6l1o9RE_4.png' name='Рис. 4. Окружность (O; 1)' float='right' width='40']

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

Вспомним уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x₀; y₀): ${(x-x₀)}^2+{(y-y₀)}^2=r^2$.

Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид: x² + y² = r².

Наша единичная полуокружность – это часть окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис.4). Тогда уравнение этой окружности можно записать в виде 
x² + y² = 1.

То есть координаты всех точек должны удовлетворять этому уравнению.

Но координаты точки окружности есть не что иное, как косинус и синус угла, который соответствует этой точке. 

Тогда ${\sin }^2\alpha + {\cos }^2\alpha =1.$

[/img]

[line][/line][section icon='note']

Равенство ${\sin }^2\alpha + {\cos }^2\alpha =1$, $0° \le \alpha \le 180º$, называется основным тригонометрическим тождеством.

[/section][line][/line][section icon='example']

Пример 3

Найдите sin$\alpha$, если cos$\alpha$  =  $\frac{1}{2}.$

[/section][line][/line]

Решение

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$ 

$si{n}^2\alpha =1-co{s}^2\alpha$;

 $si{n}^2\alpha =1–{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

[line][/line]

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/yoC9Q7rbChtb_5.png' name='Рис. 5. Полуокружность (O; 1)' float='right' width='40']

Вернемся к единичной полуокружности и проведем два луча ОМ и OB (рис. 5).

Из точки М опустим два перпендикуляра к осям Oy и Ox и обозначим точки пересечения этих прямых с осями точками C и D соответственно.

Очевидно, ∠DOB = 90°.  Если ∠DOM = $\alpha ,$ то ∠BOM = 90° - $\alpha$. Рассмотрим $∆$DОМ и 
$∆$МОC. Это прямоугольные треугольники с общей гипотенузой ОМ: $\sin \alpha =\frac{DM}{OM}, \cos \alpha =\frac{OD}{OM},$$\sin (90°-\alpha )=\frac{CM}{OM}$,  CM = OD, следовательно, $\sin (90°-\alpha )=\frac{OD}{OM},$ $\cos (90°-\alpha )=\frac{OC}{OM}$, OC = DM, следовательно, $\cos (90°-\alpha )=\frac{DM}{OM}$ 

Посмотрим на полученные равенства. 

Итак, если 0° ≤ $\alpha$ ≤ 90º, то $\sin (90°-\alpha )=\cos \alpha ; \cos (90°-\alpha )=\sin \alpha$

Аналогично выводятся формулы $\cos (180°-\alpha )=- \cos \alpha$, $\sin (180°-\alpha ) =\sin \alpha$ для всех углов $\alpha$ из промежутка от 0º до 180º. Эти формулы называются формулами приведения.

Итак,

[/img]

[line][/line][section icon='note']

Если 0° ≤ $\alpha$ ≤ 90º, то

$\sin (90°-\alpha )=\cos \alpha ; \cos (90°-\alpha )=\sin \alpha$.

Если 0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º, то

$\sin (180°-\alpha )=\sin \alpha , \cos (180°-\alpha )=- \cos \alpha$.

[/section]

Проверим выполнение этих формул на конкретном примере.

[line][/line][section icon='example']

Пример 4

Вычислите а) sin 30º; б) sin 120º. 

[/section][line][/line]

Решение

а) $\sin 30°=\sin (90°-60°)=\cos 60°=\frac{1}{2};$

б) $\sin 120°= \sin (180°-60°)= \sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Ответ: a)$\frac{1}{2}$; б)$\frac{\sqrt{3}}{2}.$

[line][/line]

[img url='https://onlineschool-1.hb.bizmrg.com/I2GwnCTWa28C_6.png' name='Рис. 6. Полуокружность (O; 1)' float='right' width='40']

Формулы для вычисления координат точки

Рассмотрим задачу: необходимо определить координаты точки A, которая расположена в верхней координатной полуплоскости. Построим в этой полуплоскости единичную полуокружность. Соединим точку A с центром полуокружности, обозначим за М точку пересечения отрезка ОА и полуокружности. 

Координаты точки M равны $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$ соответственно (рис. 6). Вектор $\overrightarrow{OM}$ имеет те же координаты (как радиус-вектор точки), что и точка M, т. е. $\overrightarrow{OM}\left\{\cos \alpha ; \sin \alpha \right\}$. 

$\overrightarrow{OM}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{\left|OM\right|}=1$, тогда $\overrightarrow{OA}=OA·\overrightarrow{OM}$, $\overrightarrow{OA}\left\{OA·\cos \alpha ; OA·\sin \alpha \right\}$. Но, с другой стороны, у вектора $\overrightarrow{OA}$ координаты $x$ и $y$ соответственно. Тогда $x=OA·\cos \alpha$, $y=OA·\sin \alpha$, т. е. $A\left(OA·\cos \alpha ; OA·\sin \alpha \right)$.

Проанализируем знаки координат точки A. Координаты точки зависят от величины отрезка ОА, (а это всегда положительное число), и от знака синуса и косинуса угла $\alpha$. Синус произвольного угла из промежутка от 0°до 180º находится в промежутке от 0 до 1, то есть принимает неотрицательные значения. Косинус угла может принимать значения от -1 до 1, то есть быть как положительным, так и отрицательным. Значит, можно записать, что y ≥ 0 при 
0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º; x ≥ 0 при 0° ≤ $\alpha$ ≤ 90º и x < 0 при 90° < $\alpha$ ≤ 180º.

[/img]

[line][/line][section icon='example']

Пример 5

Угол между лучом OA, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен $\alpha$. Найдите координаты точки 
A (x; y), если OA = 3 и $\alpha$ =45º.

[/section][line][/line]

Решение

1. $x=OA·\cos \alpha ; y=OA·\sin \alpha ;$

2. $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},$значит, $y=3 · \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2};$

3. $\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, значит, $x=3 · \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2};$

4. A ($\frac{3\sqrt{2}}{2}$; $\frac{3\sqrt{2}}{2}$).

Ответ: A ($\frac{3\sqrt{2}}{2}$; $\frac{3\sqrt{2}}{2}$).

[line][/line][section icon='exercise']

Упражнение 1

1. Может ли: а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равной 0,6; $\frac{1}{7}$; $-\frac{1}{4}$; 4?  

б) ордината точки единичной полуокружности быть равна 0,5; $\frac{1}{6}$; $-\frac{1}{5}$; 6?

2. Определите координаты точки M (x; y), лежащей на единичной полуокружности (рис.2), если:

а)  $\alpha$ = 60°; б)  $\alpha$ = 180°.

*$\alpha$ - угол между лучом OM и положительной полуосью Ox

3. Вычислите  а) cos 30º; б) cos 120º.

4. Угол между лучом OA, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен $\alpha$. Найдите координаты точки 
A (x; y), если OA = 2 и $\alpha$ = 30º.

[/section][line][/line][section icon='question']

Контрольные вопросы

1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.

2. Объясните, что такое синус и косинус угла $\alpha$ из промежутка 
0° ≤ $\alpha$ ≤ 180º. 

3. Что называется тангенсом угла $\alpha$? Для какого значения $\alpha$ тангенс не определён и почему?

4. Что называется котангенсом угла $\alpha$? Для какого значения $\alpha$ котангенс не определён и почему?

5. Докажите основное тригонометрическое тождество.

6. Напишите формулы приведения.

7. Назовите формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox.

[/section][line][/line]

Ответы
 

1. а) 0,6; $\frac{1}{7}$; $-\frac{1}{4}$  - может; 4 – не может; б) 0,5; $\frac{1}{6}$ – может; $-\frac{1}{5}$; 6 – не может.
2. а) M ($\frac{1}{2}$; $\frac{\sqrt{3}}{2}$); б) M (-1; 0).
3. а) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; б) $-\frac{1}{2}$.
4. A($\sqrt{3}$; 1).