Конспект урока: Объём шара | Геометрия 11 класс

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Цели урока

Синус, косинус, тангенс, котангенс
Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения
Формулы для вычисления координат точки

План урока

Уметь строить единичную полуокружность.
Знать, что такое синус и косинус угла $α$ из промежутка 0° ≤ $α$ ≤ 180º
Знать понятие тангенс угла $α$ , для какого значения $α$ тангенс не определён и почему
Знать понятие котангенс угла $α$ , для какого значения $α$ котангенс не определён и почему
Знать и уметь доказывать основное тригонометрическое тождество
Знать формулы приведения
Уметь применять формулы приведения при решении задач
Знать и уметь применять формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox

Разминка

Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите синус меньшего острого угла этого треугольника
Стороны прямоугольного треугольника равны 26 м, 24 м и 10 м. Найдите тангенс большего острого угла этого треугольника
Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30°. Найдите гипотенузу этого треугольника

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Синус, косинус, тангенс, котангенс

В курсе геометрии 8 класса вы познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов прямоугольного треугольника. Вспомним их:

Синусом острого угла $α$ прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin α = \frac{a}{c} = \frac{B C}{B D}$ (рис.1).

Косинусом острого угла $α$ прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos α = \frac{b}{c} = \frac{C D}{B D}$ (рис.1).

Тангенсом острого угла $α$ прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: $t g α = \frac{a}{b} = \frac{B C}{C D};$ $t g α = \frac{\sin α}{\cos α}$ (рис.1).

Котангенсом острого угла $α$ прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему: $c t g α = \frac{b}{a} = \frac{C D}{B C}; c t g α = \frac{\cos α}{\sin α}$ (рис.1).

Еще мы с вами учили таблицу синусов, косинусов для углов в 30°, 45° и 60°. Вспомним ее:

угол, $α$	30°	45°	60°
sin $α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos $α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tg $α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$
ctg $α$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Рис. 2 . Полуокружность

Познакомимся с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла из промежутка от 0° до 180º.

Построим в прямоугольной системе координат полуокружность, радиус которой равен 1 так, чтобы центр этой полуокружности совпадал с началом координат (рис. 2).

Такую полуокружность мы назовем единичной полуокружностью. Из точки O проведем произвольный луч h. Этот луч пересекает полуокружность в точке $М (x; y)$ . Угол между лучом h и положительным направлением оси Ox обозначим за $α$ . Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то угол $α$ равен 0º. Если луч h совпадает с осью Oy, то $α = 90 °$ . Если луч h совпадает с отрицательной полуосью абсцисс, то $α = 180 °$ .

Опустим из точки М перпендикуляр MD на ось Ox и рассмотрим прямоугольный треугольник OMD. Запишем элементы этого треугольника. Поскольку радиус полуокружности равен 1, значит, ОM = 1. Так как координаты точки М равны x и y, то, очевидно, что МD = y, а ОD = x. Тогда $\sin α = \frac{M D}{O M} = \frac{y}{1} = y, \cos α = \frac{O D}{O M} = \frac{x}{1} = x$ . Мы получили, что синус острого угла $α$ равен ординате точки М, а косинус острого угла $α$ равен абсциссе точки М.

По этим же формулам вычисляются синус и косинус для углов в 90º и 180º.

Для любого угла $α$ , 0° ≤ $α$ ≤ 180º, синусом угла $α$ называется ордината y точки M, а косинусом угла $α$ - абсцисса x точки M, где $M (x; y)$ - произвольная точка единичной полуокружности

Поскольку речь у нас идет о единичной полуокружности, то ордината точки может изменяться от 0 до 1, значит, и синус угла $α$ из промежутка от 0° до 180º может принимать значения от 0 до 1. Абсцисса точки М может изменяться от -1 до 1, то есть и косинус угла $α$ из промежутка от 0° до 180º может изменяться от -1 до 1.

0 ≤ y ≤ 1, следовательно, 0 ≤ $\sin α$ ≤ 1;

-1 ≤ x ≤ 1, следовательно, -1 ≤ $\cos α$ ≤ 1.

Пример 1

Может ли:

а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равной 0,5; $\frac{1}{4}; - \frac{1}{3}$ ; 5?

б) ордината точки единичной полуокружности быть равной 0,7; $\frac{1}{3}; - \frac{1}{4};$ 7?

Решение

а) Поскольку полуокружность единичная, значит, абсцисса точки должна принадлежать промежутку от -1 до 1, то есть абсцисса точки может быть равна 0,5; $\frac{1}{4}; - \frac{1}{3}$ , но не может быть равна 5.

б) Поскольку полуокружность располагается выше оси Ox, то ординаты точек могут быть только из промежутка от 0 до 1, то есть ордината точки может быть равна 0,7; $\frac{1}{3}$ , но не может быть равна $- \frac{1}{4}$ ; 7.

Рис. 3. Полуокружность

Для определения sin 0º и cos 0º давайте рассмотрим луч ОА (рис. 3). На единичной полуокружности точка A имеет координаты
(1; 0), значит, sin 0º = y = 0, а cos 0º = x = 1.

Найдем теперь значения sin 90º и

cos 90º. Этот угол задается лучом OB. Координаты точки B равны (0; 1), значит,

sin 90º = y = 1, cos 90º = x = 0.

Проводя аналогичные рассуждения, получим

sin 180º = y = 0, а cos 180º = x = - 1.

Дополним известную нам таблицу синусов косинусов:

угол, $α$	30°	45°	60°	0°	90°	180°
sin $α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	0	1	0
cos $α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	0	$-$ 1

Пример 2

Определить координаты точки M (x; y), лежащей на единичной полуокружности (рис.2), если:

а) $α$ = 30°; б) $α$ = 45°; в) $α$ = 90°.

* $α$ - угол между лучом OM и положительной полуосью Ox.

Решение

а) cos 30º = x = $\frac{\sqrt{3}}{2};$ sin 30º = y = $\frac{1}{2}$ , следовательно, M ( $\frac{\sqrt{3}}{2};$ $\frac{1}{2}$ ).

б) cos 45º = x = $\frac{\sqrt{2}}{2};$ sin 45º = y = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , следовательно,

M ( $\frac{\sqrt{2}}{2};$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ).

в) cos 90º = x = 0; sin 90º = y = 1, следовательно, M (0; 1).

Ответ: а) M( $\frac{\sqrt{3}}{2};$ $\frac{1}{2}$ ); б) M( $\frac{\sqrt{2}}{2};$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ); в) M(0; 1).

Тангенсом острого угла мы называли отношение синуса этого угла к его косинусу, т.е. $t g α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 90º, то его косинус равен 0, а значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому для угла в 90º тангенс не существует. Таким образом, мы немного уточним определение тангенса.

Тангенсом угла $α$ , где 0° ≤ $α$ ≤ 180º, $α$ ≠ 90º, называется отношение синуса этого угла к его косинусу

$t g α = \frac{s i n α}{c o s α}$

Котангенсом острого угла мы называли отношение косинуса этого угла к его синусу, т.е. $c t g α = \frac{\cos α}{\sin α}$ . Эта же формула справедлива для произвольного угла от 0º до 180º. Однако, если угол равен 0º или 180º, то синус этих углов равен 0, а, значит, мы получим дробь, в знаменателе которой находится 0. Но на 0 делить нельзя, поэтому $c t g 0 °$ и $c t g 180 °$ не существует. Таким образом, уточним определение котангенса.

Котангенсом угла $α$ , где 0° < $α$ <180º, называется отношение косинуса этого угла к его синусу

$c t g α = \frac{\cos α}{\sin α}$

Дополним известную нам таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов:

угол, $α$	30°	45°	60°	0°	90°	180°
sin $α$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	0	1	0
cos $α$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	0	$-$ 1
tg $α$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	0	-	0
ctg $α$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	-	0	-

Рис. 4. Окружность (O; 1)

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

Вспомним уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x₀; y₀): ${(x - x ₀)}^{2} + {(y - y ₀)}^{2} = r^{2}$ .

Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид: x² + y² = r².

Наша единичная полуокружность – это часть окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис.4). Тогда уравнение этой окружности можно записать в виде
x² + y² = 1.

То есть координаты всех точек должны удовлетворять этому уравнению.

Но координаты точки окружности есть не что иное, как косинус и синус угла, который соответствует этой точке.

Тогда $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 .$

Равенство $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ , $0 ° \leq α \leq 180 º$ , называется основным тригонометрическим тождеством.

Пример 3

Найдите sin $α$ , если cos $α$ = $\frac{1}{2} .$

Решение

$s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1$

$s i n^{2} α = 1 - c o s^{2} α$ ;

$s i n^{2} α = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin α = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Рис. 5. Полуокружность (O; 1)

Вернемся к единичной полуокружности и проведем два луча ОМ и OB (рис. 5).

Из точки М опустим два перпендикуляра к осям Oy и Ox и обозначим точки пересечения этих прямых с осями точками C и D соответственно.

Очевидно, ∠DOB = 90°. Если ∠DOM = $α,$ то ∠BOM = 90° - $α$ . Рассмотрим $∆$ DОМ и
$∆$ МОC. Это прямоугольные треугольники с общей гипотенузой ОМ: $\sin α = \frac{D M}{O M}, \cos α = \frac{O D}{O M},$ $\sin (90 ° - α) = \frac{C M}{O M}$ , CM = OD, следовательно, $\sin (90 ° - α) = \frac{O D}{O M},$ $\cos (90 ° - α) = \frac{O C}{O M}$ , OC = DM, следовательно, $\cos (90 ° - α) = \frac{D M}{O M}$

Посмотрим на полученные равенства.

Итак, если 0° ≤ $α$ ≤ 90º, то $\sin (90 ° - α) = \cos α; \cos (90 ° - α) = \sin α$

Аналогично выводятся формулы $\cos (180 ° - α) = - \cos α$ , $\sin (180 ° - α) = \sin α$ для всех углов $α$ из промежутка от 0º до 180º. Эти формулы называются формулами приведения.

Итак,

Если 0° ≤ $α$ ≤ 90º, то

$\sin (90 ° - α) = \cos α; \cos (90 ° - α) = \sin α$ .

Если 0° ≤ $α$ ≤ 180º, то

$\sin (180 ° - α) = \sin α, \cos (180 ° - α) = - \cos α$ .

Проверим выполнение этих формул на конкретном примере.

Пример 4

Вычислите а) sin 30º; б) sin 120º.

Решение

а) $\sin 30 ° = \sin (90 ° - 60 °) = \cos 60 ° = \frac{1}{2};$

б) $\sin 120 ° = \sin (180 ° - 60 °) = \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Ответ: a) $\frac{1}{2}$ ; б) $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

Рис. 6. Полуокружность (O; 1)

Формулы для вычисления координат точки

Рассмотрим задачу: необходимо определить координаты точки A, которая расположена в верхней координатной полуплоскости. Построим в этой полуплоскости единичную полуокружность. Соединим точку A с центром полуокружности, обозначим за М точку пересечения отрезка ОА и полуокружности.

Координаты точки M равны $\cos α$ и $\sin α$ соответственно (рис. 6). Вектор $\vec{O M}$ имеет те же координаты (как радиус-вектор точки), что и точка M, т. е. $\vec{O M} \{\cos α; \sin α\}$ .

$\vec{O M} ↑ ↑ \vec{O A}$ , $\vec{|O M|} = 1$ , тогда $\vec{O A} = O A \cdot \vec{O M}$ , $\vec{O A} \{O A \cdot \cos α; O A \cdot \sin α\}$ . Но, с другой стороны, у вектора $\vec{O A}$ координаты $x$ и $y$ соответственно. Тогда $x = O A \cdot \cos α$ , $y = O A \cdot \sin α$ , т. е. $A (O A \cdot \cos α; O A \cdot \sin α)$ .

Проанализируем знаки координат точки A. Координаты точки зависят от величины отрезка ОА, (а это всегда положительное число), и от знака синуса и косинуса угла $α$ . Синус произвольного угла из промежутка от 0°до 180º находится в промежутке от 0 до 1, то есть принимает неотрицательные значения. Косинус угла может принимать значения от -1 до 1, то есть быть как положительным, так и отрицательным. Значит, можно записать, что y ≥ 0 при
0° ≤ $α$ ≤ 180º; x ≥ 0 при 0° ≤ $α$ ≤ 90º и x < 0 при 90° < $α$ ≤ 180º.

Пример 5

Угол между лучом OA, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен $α$ . Найдите координаты точки
A (x; y), если OA = 3 и $α$ =45º.

Решение

1. $x = O A \cdot \cos α; y = O A \cdot \sin α;$

2. $\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2},$ значит, $y = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2};$

3. $\cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , значит, $x = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2};$

4. A ( $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ; $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ).

Ответ: A ( $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ; $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ).

Упражнение 1

1. Может ли: а) абсцисса точки единичной полуокружности быть равной 0,6; $\frac{1}{7}$ ; $- \frac{1}{4}$ ; 4?

б) ордината точки единичной полуокружности быть равна 0,5; $\frac{1}{6}$ ; $- \frac{1}{5}$ ; 6?

2. Определите координаты точки M (x; y), лежащей на единичной полуокружности (рис.2), если:

а) $α$ = 60°; б) $α$ = 180°.

* $α$ - угол между лучом OM и положительной полуосью Ox

3. Вычислите а) cos 30º; б) cos 120º.

4. Угол между лучом OA, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ox равен $α$ . Найдите координаты точки
A (x; y), если OA = 2 и $α$ = 30º.

Контрольные вопросы

1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокружность.

2. Объясните, что такое синус и косинус угла $α$ из промежутка
0° ≤ $α$ ≤ 180º.

3. Что называется тангенсом угла $α$ ? Для какого значения $α$ тангенс не определён и почему?

4. Что называется котангенсом угла $α$ ? Для какого значения $α$ котангенс не определён и почему?

5. Докажите основное тригонометрическое тождество.

6. Напишите формулы приведения.

7. Назовите формулы, выражающие координаты точки A с неотрицательной ординатой через длину отрезка OA и угол между лучом OA и положительной полуосью Ox.

Ответы

а) 0,6; $\frac{1}{7}$ ; $- \frac{1}{4}$ - может; 4 – не может; б) 0,5; $\frac{1}{6}$ – может; $- \frac{1}{5}$ ; 6 – не может.
а) M ( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ); б) M (-1; 0).
а) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ; б) $- \frac{1}{2}$ .
A( $\sqrt{3}$ ; 1).

Конспект урока: Синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Треугольники

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения

Формулы для вычисления координат точки