Все уроки по всем предметам школьной программы ФГОС

Начальные сведения из стереометрии. Многогранники

План урока

Предмет стереометрии;
Многогранники;
Призма;
Параллелепипед;
Объем тела;
Свойства прямоугольного параллелепипеда.

Цели урока

Знать, что изучает стереометрия;
Знать, что представляют собой многогранники, из чего они состоят;
Знать определение и виды призм, их основные элементы;
Знать свойства объемов;
Знать определение и виды параллелепипедов;
Знать свойства прямоугольного параллелепипеда;
Уметь применять свойства объемов, свойства прямоугольного параллелепипеда к решению задач.

Разминка

Что изучает геометрия?
Какие фигуры мы уже изучили?
Какие фигуры на плоскости считаются простейшими?
Назовите сходства и отличия между квадратом, прямоугольником и параллелограммом? Каким свойством обладают диагонали этих фигур?

Предмет стереометрии

Геометрию в школе делят на две части: планиметрию и стереометрию. Планиметрия изучает свойства плоских фигур; ей мы занимались раньше. Стереометрия изучает свойства таких фигур, которые не помещаются на одной плоскости.

Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией.

Рис. 1. Куб

Слово «стереометрия» происходит от древнегреческих слов «стерео» - объемный, пространственный и «метрео» - измерение. Простейшие фигуры стереометрии – это точки, прямые и плоскости. Из этих фигур образованы геометрические тела и поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых представляют собой многоугольники. Такие тела называются многогранниками. Многоугольники, из которых состоит многогранник, называются его гранями. Простейшим многогранником будет являться куб (рис. 1). Он состоит из шести квадратов.

Рис. 2. Шар

Земля имеют форму шара. Такую же форму имеет и мяч (рис. 2).

Рис. 3. Цилиндр

Бочка, колонна здания, хлопушка имеют цилиндрическую форму (рис. 3).

Рис. 4. Сечение шара

Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Например, границей шара будет сфера.

Плоскость, по обе стороны от которой находятся точки данного тела, называется секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела с секущей плоскостью, называется сечением тела. Например, сечением шара будет круг (рис. 4).

Многогранники

В планиметрии мы изучали многоугольник, который представлял собой часть плоскости, ограниченной пересекающимися прямыми. Отрезки этих прямых называются сторонами многоугольника, точки пересечения – вершинами. Аналогично образуются и многогранники.

Геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников, называется многогранником. Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются гранями, стороны этих многоугольников – рёбрами, а вершины - вершинами многогранника.

Рис. 5. Примеры многогранников: тетраэдр, прямоугольный параллелепипед, октаэдр

Многогранник не может иметь меньше четырех граней. Посмотрите на примеры многогранников – тетраэдр, прямоугольный параллелепипед, октаэдр (рис. 5).

Тетраэдр состоит из четырех треугольников, прямоугольный параллелепипед образуют шесть прямоугольников, октаэдр образован восьмью треугольниками.

Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

Рис. 6. Выпуклые и невыпуклые многогранники

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой грани, в противном случае многогранник называется невыпуклым (рис. 6).

Призма

Рис. 7. Определение призмы

Многогранник, составленный из двух равных $n -$ угольников, лежащих в параллельных плоскостях (т.е. таких плоскостях, которые не имеют общих точек), и $n$ параллелограммов, которые образовались при соединении вершин $n -$ угольников отрезками параллельных прямых, называется $n -$ угольной призмой (рис. 7). Равные $n -$ угольники называются основаниями призмы. Стороны многоугольников называются рёбрами оснований. Параллелограммы называются боковыми гранями призмы. Параллельные отрезки между основаниями называются боковыми рёбрами призмы.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости.

Рис. 8. Виды призм

Призма называется прямой, если все боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований. В противном случае призма называется наклонной. Если в основаниях прямой призмы лежат правильные многоугольники, то такая призма называется правильной (рис. 8).

Высотой призмы называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.

Параллелепипед

Рис. 9. Параллелепипед

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом. Параллелепипеды могут быть прямыми и наклонными.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

Прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами называется кубом (рис. 9).

Из этих определений следует:

У параллелепипеда все шесть его граней - параллелограммы;
У прямого параллелепипеда четыре боковые грани - прямоугольники, а два основания – параллелограммы;
У прямоугольного параллелепипеда все шесть граней – прямоугольники;
У куба все грани – квадраты.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются его измерениями. Одно из них можно рассматривать как длину, другое как ширину, и последнее как высоту.

Объем тела

За единицу измерения объёмов примем куб, ребро которого равно единице измерения длины. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается как см³. Аналогично определяются кубический метр (м³), кубический миллиметр (мм³) и т. д. Объем одного кубического дециметра жидкости называется литром.

Объем пустого тела можно измерить, наливая в него жидкость мерной посудой, например имеющей объем 1 литр. Объем твердого тела можно измерить, погружая его в жидкость, наполняющую какой-нибудь сосуд до краев. Далее необходимо измерить объем вылившейся жидкости. Однако эти приемы не всегда практичны. Поэтому важно уметь находить объем тел различной формы с помощью измерений и последующих вычислений.

Назовём основные свойства объемов:

Равные тела имеют равные объемы;
Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел.

Аналогичными свойствами обладают длины отрезков и площади многоугольников.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда.

Теорема 1 (о диагоналях параллелепипеда)

Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке (центр симметрии) и делятся этой точкой пополам.

Доказательство

Рис. 10. Теорема 1 о диагоналях параллелепипеда

Рассмотрим параллелепипед $K L M N K_{1} L_{1} M_{1} N_{1}$ (рис. 10). Выберем две диагонали, например $N L_{1}$ и $M K_{1}$ . Построим вспомогательные прямые $N K_{1}$ и $M L_{1}$ . Рёбра параллелепипеда $N M$ и $K_{1} L_{1}$ равны и параллельны ребру $K L$ . Значит, эти рёбра равны и параллельны между собой. (Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны.) Получается, что фигура $N K_{1} L_{1} M$ – это параллелограмм, в котором $N L_{1}$ и $M K_{1}$ являются диагоналями. По свойству параллелограмма его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Выберем теперь одну из этих диагоналей, например $N L_{1}$ и поставим в пару с третьей диагональю, положим, с $K M_{1}$ . Аналогичным образом мы можем доказать, что они тоже делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, диагонали $N L_{1}$ и $K M_{1}$ и пара диагоналей $N L_{1}$ и $M K_{1}$ , которые мы брали сначала, пересекаются в одной и той же точке, которая будет являться серединой $N L_{1}$ .

Теперь возьмем эту же диагональ $N L_{1}$ с четвертой диагональю $L N_{1}$ и также докажем, что они делятся пополам точкой пересечения и точка пересечения этой пары диагоналей лежит в середине $N L_{1}$ .

Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Теорема доказана.

Теорема 2 (о диагоналях прямоугольного параллелепипеда)

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

Доказательство

Рис. 11. Теорема 2 о диагоналях прямоугольного параллелепипеда

Проведем диагональ параллелепипеда $K_{1} M$ и диагональ основания $K M$ (рис. 11). Рассмотрим треугольник $K N M$ , лежащий в основании. Так как параллелепипед прямоугольный, то в основании лежит прямоугольник, а значит треугольник $K N M$ прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:

$K M^{2} = K N^{2} + N M^{2}$ (1)

Рассмотрим треугольник $K_{1} K M$ . Так как параллелепипед прямой, следовательно, ребро $K K_{1}$ перпендикулярно к основанию. Значит, треугольник $K_{1} K M$ - прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:

$K_{1} M^{2} = K {K_{1}}^{2} + K M^{2}$ . (2)

В равенство (2) вместо $K M^{2}$ подставим равенство (1):

$K_{1} M^{2} = K {K_{1}}^{2} + K N^{2} + N M^{2}$ .

Таким образом, получили, что квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений.

Теорема доказана.

Следствие

В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Теорема 3 (об объёме прямоугольного параллелепипеда)

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Рис. 12. Теорема 3 об объёме прямоугольного параллелепипеда

По теореме 3 получаем, что $V = a \cdot b \cdot h$ (рис. 12). Заметим, что произведение $a \cdot b$ равно площади основания, т.е. $S = a \cdot b$ . Тогда $V = S \cdot h$ .

Таким образом, получили, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Заметим, что такая же формула имеет место для любой призмы.

Пример 1

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 1, 1 и 2.

Решение

Воспользуемся теоремой 2, по которой квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

$d^{2} = a^{2} + b^{2} + h^{2}$

$d^{2} = 1^{2} + 1^{2} + 2^{2}$

$d^{2} = 6$

$d = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

Пример 2

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8, 12 и 18. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Решение

1. Найдем объем параллелепипеда, как произведение трех его измерений:

$V = a b c$

$V = 8 \cdot 12 \cdot 18 = 1728$

2. Объем куба равен $V = a^{3}$ , где $a$ – ребро куба, т.е.

$a^{3} = 1728$

$a = 12$ .

Ответ: 12.

Упражнение 1

1. Сколько граней, ребер и вершин имеет прямоугольный параллелепипед?

2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 9, 8 и 12.

3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и 9. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Контрольные вопросы

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Какие поверхности называются многогранниками? Приведите примеры.

3. Какая призма называется прямой? Правильной?

4. Дайте определение прямоугольного параллелепипеда.

5. Сформулируйте основные свойства объема.

6. Назовите свойства прямоугольного параллелепипеда.

Ответы

Упражнение 1

1. 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.

2. 17.

3. 6

Конспект урока: Начальные сведения из стереометрии. Многогранники

Общие сведения из стереометрии