Знаки препинания в бессоюзном сложном предложении. Запятая и точка с запятой

Движения. Понятие движения

План урока

Отображение плоскости на себя;
Понятие движения;
Параллельный перенос;
Поворот.

Цели урока

Знать, что такое отображение плоскости на себя, движение, параллельный перенос, поворот;
Знать свойства движения;
Уметь выполнять параллельный перенос;
Уметь выполнять поворот.

Разминка

Что такое плоскость?
Какие виды симметрии вы знаете?
Как на плоскости отметить точку, симметричную данной, относительно оси Оx? Какой это вид симметрии?
Как на плоскости отметить точку, симметричную данной, относительно начала координат? Какой это вид симметрии?

Одна из основных задач геометрии состоит в том, чтобы дать точное обоснование правила для построения фигур с заданными свойствами. Изучая геометрию, мы решили эту задачу в основном для треугольников. Для более сложных фигур мы пока не имеем определения их равенства. Реальные построения обычно предполагают построение равных фигур, в частности фигур, обладающих свойствами симметрии. Например, фасады домов чаще всего симметричны и окна расположены в правильном порядке. Как начертить план такого фасада и как, начертив на плане одно из окон, получить на плане изображения остальных окон? Решение подобных задач связано с преобразованием фигур.

Отображение плоскости на себя

Симметрия – это сохранение свойств расположения элементов фигур относительно центра или оси симметрии в неизменном состоянии при каких-либо преобразованиях. Существует большое количество видов симметрии, но все они неизменно отвечают одному правилу: при некотором преобразовании симметричный объект неизменно совмещается сам с собой.

Пусть задана некоторая плоскость. Представим себе, что каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. В таком случае говорят, что дано отображение плоскости на себя .

Рис. 1. Осевая симметрия

Ранее мы уже встречались с отображением плоскости на себя. Примером такого отображения будет осевая симметрия (рис.1).

Докажем, что это отображение плоскости на себя.

Пусть имеется прямая $l$ , которая является осью симметрии. Выберем произвольную точку $X$ и поставим ей в соответствие точку $X_{1}$ следующим образом: из точки $X$ нужно провести перпендикулярную прямую к прямой $l$ , и от точки пересечения этих прямых $Y$ отложить на прямой $Y X$ отрезок $Y X_{1}$ , равный $Y X$ . Точка $X_{1}$ - искомая точка. Таким образом, любой точке $X$ можно сопоставить точку $X_{1}$ , так как от любой точки можно провести перпендикуляр на данную прямую. В том случае, если точка $X$ лежит на прямой $l$ , то она сопоставляется сама себе.

Мы доказали, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

Рис. 2. Центральная симметрия

Рассмотрим теперь центральную симметрию (рис.2).

Если точка $O$ - центр симметрии, $X$ - произвольная точка плоскости, то точке $X$ будем сопоставлять точку $X_{1}$ по следующему правилу: соединим точки $O$ и $X$ отрезком и продолжим его за точку $O$ на расстояние, равное $O X$ , отметим точку $X_{1}$ . Точка $X_{1}$ - искомая точка. Таким образом, любой точке $X$ можно сопоставить симметричную ей точку $X_{1}$ , а точка $O$ будет симметрична сама себе.

Понятие движения

Вам знакомо слово «движение». Обычно его связывают с представлением о движении реальных твердых тел, когда тело меняет свое положение без деформаций, т.е. без изменений расстояний в нем. В геометрии движение - это отвлеченный образ реальных движений. Геометрическую фигуру нельзя передвинуть, это можно проделать только с самой бумагой, но не с рисунком на ней.

Дадим определение движения.

Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками, называется движением плоскости. Точнее говоря, преобразование плоскости называется движением, если оно всякие две точки $A$ и $B$ отображает на такие две точки $A_{1}$ и $B_{1}$ , что $A_{1} B_{1} = A B$ .

Пример 1

Докажите, что осевая симметрия является движением.

Рис. 3. Пример 1

Пусть точка $A \to A_{1}$ , точка $B \to B_{1}$ , $B B_{1} ⊥ a$ , $A A_{1} ⊥ a$ . Точку пересечения $A A_{1}$ и прямой $a$ обозначим буквой $K$ , точку пересечения $B B_{1}$ и прямой $a$ обозначим буквой $O$ при этом $A K = K A_{1}$ , $B O = O B_{1}$ (рис. 3). Нужно доказать, что сохраняется расстояние между точками, т.е. что $A B = A_{1} B_{1}$ .

Рис. 4. Пример 1

Построим отрезок $A H$ , перпендикулярный $B B_{1}$ . Так как мы рассматриваем осевую симметрию, то точка $H$ отобразится в точку $H_{1}$ . Рассмотрим прямоугольные треугольники $A H B$ и $A_{1} H_{1} B_{1}$ . По построению имеем:

$B H = B O - H O B_{1} H_{1} = B_{1} O - H_{1} O$

Так как при осевой симметрии $B O = B_{1} O$ , $H O = H_{1} O$ , то $B O - H O = B_{1} O - H_{1} O$ .

Следовательно, $B H = B_{1} H_{1}$ .

Так как $B B_{1} ⊥ a$ , $A A_{1} ⊥ a$ , то $B B_{1} ∥ A A_{1}$ (две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой).

Перпендикулярные отрезки, заключенные между параллельными прямыми, равны, поэтому:

$A H = A_{1} H_{1}$ .

Тогда $∆ A H B = ∆ A_{1} H_{1} B_{1}$ по двум катетам.

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит $A B = A_{1} B_{1}$ .

Таким образом, расстояние между точками сохраняется. Осевая симметрия является движением.

Упражнение 1

Докажите, что центральная симметрия является движением.

Теорема

При движении отрезок отображается на отрезок

Доказательство

Рис. 5. Теорема

Пусть дан отрезок $A B$ , при движении точка $A \to A_{1}$ , точка $B \to B_{1}$ . Нужно доказать, что при движении отрезок $A B$ отображается в отрезок $A_{1} B_{1}$ .

Пусть $P$ - произвольная точка на отрезке $A B$ , которая при движении отображается в точку $P_{1}$ . Так как $P \in A B$ , то $A P + P B = A B$ . При движении сохраняется расстояние между двумя точками, поэтому $A B = A_{1} B_{1}$ , $A P = A_{1} P_{1}$ , $P B = P_{1} B_{1}$ . Тогда $A_{1} P_{1} + P_{1} B_{1} = A P + P B = A B = A_{1} B_{1}$ , т.е. $A_{1} P_{1} + P_{1} B_{1} = A_{1} B_{1}$ , а это значит, что $P_{1} \in A_{1} B_{1}$ . Итак, точки отрезка $A B$ отображаются в точки отрезка $A_{1} B_{1}$ .

Докажем, что в каждую точку $P_{1}$ отрезка $A_{1} B_{1}$ отображается какая-нибудь точка $P$ отрезка $A B$ . Так как $P_{1} \in A_{1} B_{1}$ , то $A_{1} B_{1} = A_{1} P_{1} + P_{1} B_{1} = A P + P B = A B$ , т.е. $P \in A B$ .

Теорема доказана.

Следствие 1 (свойство движения)

При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Действительно, по только что доказанной теореме при движении каждая сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, поэтому треугольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т.е. на равный треугольник.

Следствие 2 (свойство движения)

При движении луч переходит в луч, прямая – в прямую.

Следствие 3 (свойство движения)

Движение сохраняет величины углов.

Следствие 4 (свойство движения)

При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

Свойства движения показывают, что две фигуры, полученные одна из другой движением, совершенно одинаковые.

Две фигуры равны, если между их точками есть соответствие, сохраняющее расстояния. Другими словами, фигура F’ равна фигуре F, если фигуру F’ можно получить некоторым движением фигуры F.

Пример 2

Докажите, что при движении угол отображается на равный ему угол.

Решение

Пусть угол $A O B$ отображается на угол $A_{1} O_{1} B_{1}$ , причем точки $A, O, B$ отображаются соответственно в точки $A_{1}, O_{1}, B_{1}$ . Так как при движении сохраняется расстояние между точками, то $A O = A_{1} O_{1}$ , $O B = O_{1} B_{1}$ . Если угол $A O B$ неразвернутый, то $∆ A O B = ∆ A_{1} O_{1} B_{1}$ по трем сторонам, а значит $∠ A O B = ∠ A_{1} O_{1} B_{1}$ . Если угол $A O B$ развернутый, то и угол $A_{1} O_{1} B_{1}$ развернутый.

Параллельный перенос

Параллельным переносом на вектор $\vec{a}$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M_{1}$ , что вектор ${\vec{M M}}_{1}$ равен вектору $\vec{a}$ (рис. 6)

Теорема

Параллельный перенос является движением.

Рис. 6. Параллельный перенос

Доказательство

Пусть при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ точка $M$ отображается в точку $M_{1}$ , точка $N$ отображается в точку $N_{1}$ (рис. 6). Так как $\vec{M M_{1}} = \vec{a}$ , $\vec{N N_{1}} = \vec{a}$ , то $\vec{M M_{1}} = \vec{N N_{1}}$ . Тогда $M M_{1} ∥ N N_{1}$ и $M M_{1} = N N_{1}$ , поэтому $M M_{1} N_{1} N$ - параллелограмм. Следовательно, $M N = M_{1} N_{1}$ . Таким образом, расстояние между точками $M$ и $N$ равно расстоянию между точками $M_{1}$ и $N_{1}$ . Значит, параллельный перенос является движением.

Теорема доказана.

Рис. 7. Пример 3

Пример 3

Построить образ треугольника $A B C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 7)

Решение

От каждой вершины треугольника $A B C$ откладываем вектор $\vec{a}$ . Полученные точки соединяем, получаем треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ (см. рис. 7)

Поворот

Рис. 8. Поворот

Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол $α$ называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M_{1}$ , что $O M = O M_{1}$ , $∠ M O M_{1} = α$ (рис. 8).

Теорема

Поворот является движением.

Рис. 9. Теорема

Доказательство

Возьмем точки $M$ и $N$ и осуществим поворот данных точек на угол $a$ (рис. 9). Образы точек $M$ и $N$ назовем $M_{1}$ и $N_{1}$ соответственно. Докажем, что поворот сохраняет расстояние между точками.

Рассмотрим треугольники $O M N$ и $O M_{1} N_{1}$ .

По определению поворота

$O M = O M_{1}$ ,

$O N = O N_{1}$ ,

$∠ M O N = ∠ M O M_{1} - ∠ N O M_{1} =$

$= α - ∠ N O M_{1},$

$∠ M_{1} O N_{1} = ∠ N O N_{1} - ∠ N O M_{1} =$

$= α - ∠ N O M_{1}$ ,

следовательно,

$∆ O M N = ∆ O M_{1} N_{1}$

по двум сторонам и углу между ними. Значит, $M N = M_{1} N_{1}$ . Таким образом, при повороте сохраняется расстояние, а значит, поворот есть движение.

Теорема доказана.

Пример 4

Рис. 10. Пример 4

Построить образ треугольника $A B C$ при повороте вокруг точки $A$ на 45° по часовой стрелке (рис. 10).

Решение

1. Построим угол $B A B_{1} = 45 °$ , $A B = A B_{1}$ (рис. 10).

2. Построим угол $C A C_{1} = 45 °$ , $A C = A C_{1}$ .

3. Построим треугольник $A B_{1} C_{1}$ .

Рис. 11. Упражнение 2

Упражнение 2

Постройте треугольник, в который переходит треугольник $A B C$ при повороте его вокруг вершины $C$ на угол 60° по часовой стрелке (рис. 11).

Контрольные вопросы

1. Что называется отображением плоскости на себя?

2. Что называется движением?

3. Является ли осевая симметрия движением?

4. Является ли центральная симметрия движением?

5. В какую фигуру при движении отображается отрезок? Луч? Угол?

6. Что называется параллельным переносом?

7. Какое отображение плоскости называется поворотом?

Ответы

Упражнение 1

Рис.12

Пусть точка $A \to A_{1}$ , точка $B \to B_{1}$ , при этом $A O = O A_{1}$ , $B O = O B_{1}$ (рис. 12).

Нужно доказать, что сохраняется расстояние между точками, т.е. что $A B = A_{1} B_{1}$ .

Рассмотрим треугольники $A O B$ и $A_{1} O B_{1}$ . Они равны, т.к.:

1. $A O = O A_{1}$ по построению центральной симметрии;

2. $B O = O B_{1}$ по построению центральной симметрии;

3. $∠ A O B = ∠ A_{1} O B_{1}$ как вертикальные.

Тогда $∆ A O B = ∆ A_{1} O B_{1}$ по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, значит $A B = A_{1} B_{1}$ .

Таким образом, расстояние между точками сохраняется. Центральная симметрия является движением.

Упражнение 2

Конспект урока: Движения

Преобразования на плоскости и в пространстве

Отображение плоскости на себя

Понятие движения

Параллельный перенос

Поворот