Как поступить
в Онлайн-школу и получить аттестат?

Подробно расскажем о том, как перевестись на дистанционный формат обучения, как устроены онлайн-уроки и учебный процесс, как улучшить успеваемость и повысить мотивацию!

Нажимая на кнопку, я соглашаюсь на обработку персональных данных

  • Окружность

  • Векторы на плоскости и в пространстве

  • Сфера и шар

  • Пирамида

  • Треугольники

  • Общие сведения из стереометрии

  • Цилиндр

  • Преобразования на плоскости и в пространстве

  • Конус

Конспект урока: Конус

Конус

Конус

План урока

  • Конус;
  • Вычисление площади боковой поверхности и объема конуса.

Цели урока

  • Знать, что такое конус, его составные элементы;
  • Знать формулу нахождения объема конуса;
  • Уметь вычислять объем конуса;
  • Знать формулу площади боковой поверхности конуса;
  • Уметь вычислять площадь боковой поверхности конуса.

Разминка

  • Как образуются тела и поверхности вращения?
  • Что такое цилиндр?
  • Какие составные элементы цилиндра вы знаете?
  • Что такое образующая цилиндра?
  • Что такое цилиндрическая поверхность?
  • Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?
  • Как найти объем цилиндра?

Конус

 

Возьмем прямоугольный треугольник SOA и будем вращать его вокруг катета SO(рис. 1). В результате получим тело вращения, называемое конусом.


Конус  – фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.


Рис. 1. Конус Рис. 1. Конус

Поверхность, описанная прямой SА при ее вращении около оси SO, называется конической поверхностью конуса или боковой поверхностью конуса.

 

Прямая SА называется образующей (обозначается l) конической поверхности или образующей конуса. 

 

Катет ОА вращающегося треугольника SОА описывает круг, называемый основанием конуса

 

Длина h неподвижного катета SO называется высотой конуса.

 

Таким образом, можно сказать, что конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Ось вращения SO называется осью конуса. Неподвижная вершина S острого угла называется вершиной конуса.

Рис. 2. Сечение конуса Рис. 2. Сечение конуса

Осевое сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 2). Всякое сечение конуса, перпендикулярное к оси, будет круг. Радиус этого круга возрастает по мере удаления от вершины пропорционально расстоянию сечения от вершины.

Вычисление площади боковой поверхности и объема конуса


Объем конуса равен одной трети произведения основания на высоту

 

V=13·S·h

 

Так как основанием конуса является круг, а его площадь равна πR2, то объем конуса также можно вычислить по формуле:

 

V=13πR2h


Пример 1

 

Найдите объем конуса, если диаметр его основания равен 8 см, а высота равна 6 см (π=3,14).


Решение

 

Сначала найдем радиус основания, как половину диаметра:

 

R=8:2=4 см.

 

Найдем объем конуса по формуле:

 

V=13πR2h

V=13·3,14·42·6=100,48 см3.

 

Ответ: 100,48 см3.


Рис. 3. Развёртка боковой поверхности конуса Рис. 3. Развёртка боковой поверхности конуса

Развёрткой боковой поверхности конуса будет круговой сектор (рис. 3).

 

Радиус этого сектора равен образующей конуса l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2πR

 

Площадь Sбок боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, т.е.

 

Sбок=πl2360α,

 

где α- градусная мера дуги сектора, l- образующая.

Длина дуги окружности с градусной мерой α и радиусом равным l будет равна πlα180. Но, с другой стороны, длина дуги равна 2πR, т.е. 

 

πlα180=2πR,

поэтому 

 

Sбок=πlα180·l2=2πR·l2=πRl.


Площадь Sбок боковой поверхности конуса выражается формулой:

 

Sбок=πRl,

 

где l - образующая конуса, R - радиус основания.


Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Таким образом:

 

S=Sбок+Sосн=πRl+πR2.


Пример 2

 

Найдите площадь боковой поверхности конуса, у которого диаметр основания равен 13 см, а образующая равна 20 см. Чему будет равна площадь всей поверхности конуса (π=3,14)?


Решение

 

Сначала найдем радиус основания, как половину длины диаметра:

 

R=13:2=6,5 см.

 

Найдем площадь боковой поверхности конуса по формуле Sбок=πRl:

 

Sбок=3,14·6,5·20=408,2 см2.

 

Найдем площадь основания конуса S=πR2:

 

S=3,14·6,52=132,665 см2.

 

Найдем площадь поверхности конуса как сумму площади боковой поверхности и площади основания:

 

S= Sбок + Sосн=408,2+132,665=540,865 см2.

 

Ответ: 408,2 см2, 540,865 см2.


Пример 3

 

Площадь полной поверхности конуса равна 45π дм2. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой 60°. Найдите объем конуса.


Решение

 

Воспользуемся формулой площади боковой поверхности конуса Sбок=πl2360α:

 

Sбок=πl2360·60=πl26

 

С другой стороны, по формуле Sбок=πRl получим, что:

 

πl26=πRl.

 

Отсюда l=6R.

Из формулы S= Sбок + Sосн выразим, чему равна площадь основания:

 

Sосн=S-Sбок=45π-πl26

 

Основанием является круг, площадь которого равна πR2. Тогда:

 

45π-πl26=πR2.

 

Подставим l=6R и получим: R2=457.

 

Чтобы вычислить объем, нам нужно знать высоту конуса. Ее можно найти по теореме Пифагора как неизвестный катет:

 

h=l2-R2=36R2-R2=35·457=15 дм.

 

 Вычислим объем конуса по формуле V=13πR2h:

 

V=13 π·457·15=2257π  дм3.

 

Ответ: 2257π   дм3.


Упражнение 1

 

1. Найдите объем конуса, если диаметр его основания равен 14 см, а высота равна 9 см (π=3,14).

2. Найдите площадь боковой поверхности конуса, у которого диаметр основания равен 14 см, а образующая равна 18 см. Чему будет равна площадь всей поверхности конуса (π=3,14)?

3. Осевым сечением конуса является правильный треугольник со стороной 6 см. Найдите объем конуса.


Контрольные вопросы

 

1. Какая фигура называется конусом?

2. Что такое образующая конуса?

3. Чему равен объем конуса?

4. Чему равна площадь боковой поверхности конуса?

5. Чему равна общая площадь поверхности конуса?


Ответы

Упражнение 1

 

1. 461,58 см3. 2. 395,64 см2, 549,5 см2. 3 93π

Предыдущий урок
Движения
Преобразования на плоскости и в пространстве
  • Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

    Алгебра

  • Пищевые связи в экосистеме. Экологические пирамиды

    Биология

  • Агроэкосистема (агроценоз) как искусственное сообщество организмов

    Биология

Зарегистрируйся, чтобы присоединиться к обсуждению урока

Добавьте свой отзыв об уроке, войдя на платфому или зарегистрировавшись.

Отзывы об уроке:
Пока никто не оставил отзыв об этом уроке