Конспект урока: Конус

Конус

Возьмем прямоугольный треугольник $SOA$ и будем вращать его вокруг катета $SO$(рис. 1). В результате получим тело вращения, называемое конусом.

Рис. 1. Конус

Поверхность, описанная прямой $SА$ при ее вращении около оси $SO$, называется конической поверхностью конуса или боковой поверхностью конуса.

 

Прямая $SА$ называется образующей (обозначается $l$) конической поверхности или образующей конуса. 

 

Катет $ОА$ вращающегося треугольника $SОА$ описывает круг, называемый основанием конуса. 

 

Длина $h$ неподвижного катета $SO$ называется высотой конуса.

 

Таким образом, можно сказать, что конус – это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Ось вращения $SO$ называется осью конуса. Неподвижная вершина $S$ острого угла называется вершиной конуса.

Рис. 2. Сечение конуса

Осевое сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 2). Всякое сечение конуса, перпендикулярное к оси, будет круг. Радиус этого круга возрастает по мере удаления от вершины пропорционально расстоянию сечения от вершины.

Вычисление площади боковой поверхности и объема конуса

Решение

Сначала найдем радиус основания, как половину диаметра:

$R=8:2=4$ см.

Найдем объем конуса по формуле:

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

$V=\frac{1}{3}·3,14·4^2·6=100,48$ см³.

Ответ: 100,48 см³.

Рис. 3. Развёртка боковой поверхности конуса

Развёрткой боковой поверхности конуса будет круговой сектор (рис. 3).

 

Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна $2\pi R$. 

 

Площадь $S_{бок}$ боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, т.е.

 

$S_{бок}=\frac{\pi l^2}{360}\alpha$,

 

где $\alpha$- градусная мера дуги сектора, $l$- образующая.

Длина дуги окружности с градусной мерой $\alpha$ и радиусом равным $l$ будет равна $\frac{\pi l\alpha }{180}$. Но, с другой стороны, длина дуги равна $2\pi R$, т.е. 

 

$\frac{\pi l\alpha }{180}=2\pi R$,

поэтому 

 

$S_{бок}=\frac{\pi l\alpha }{180}·\frac{l}{2}=2\pi R·\frac{l}{2}=\pi Rl$.

Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Таким образом:

$S=S_{бок}+S_{осн}=\pi Rl+\pi R^2$.

Решение

Сначала найдем радиус основания, как половину длины диаметра:

$R=13:2=6,5$ см.

Найдем площадь боковой поверхности конуса по формуле $S_{бок}=\pi Rl$:

$S_{бок}=3,14·6,5·20=408,2$см².

Найдем площадь основания конуса $S=\pi R^2$:

$S=3,14·6,5^2=132,665$ см².

Найдем площадь поверхности конуса как сумму площади боковой поверхности и площади основания:

$S= S_{бок} + S_{осн}=408,2+132,665=540,865$см².

Ответ: 408,2 см², 540,865 см².

Решение

Воспользуемся формулой площади боковой поверхности конуса $S_{бок}=\frac{\pi l^2}{360}\alpha$:

$S_{бок}=\frac{\pi l^2}{360}·60=\frac{\pi l^2}{6}$

С другой стороны, по формуле $S_{бок}=\pi Rl$получим, что:

$\frac{\pi l^2}{6}=\pi Rl$.

Отсюда $l=6R$.

Из формулы $S= S_{бок} + S_{осн}$ выразим, чему равна площадь основания:

$S_{осн}=S-S_{бок}=45\pi -\frac{\pi l^2}{6}$

Основанием является круг, площадь которого равна $\pi R^2$. Тогда:

$45\pi -\frac{\pi l^2}{6}=\pi R^2$.

Подставим $l=6R$ и получим: $R^2=\frac{45}{7}$.

Чтобы вычислить объем, нам нужно знать высоту конуса. Ее можно найти по теореме Пифагора как неизвестный катет:

$h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{36R^2-R^2}=\sqrt{35·\frac{45}{7}}=15$ дм.

 Вычислим объем конуса по формуле $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$:

$V=\frac{1}{3} \pi ·\frac{45}{7}·15=\frac{225}{7}\pi$дм³.

Ответ: $\frac{225}{7}\pi$ дм³.